Evolúciósan stabil stratégiák 5. előadás Populációdinamika (ismételt játék darwini evolúcióval) Q stratégia (faj), N→∞ játékossal i=1, …, Q stratégiát Ni játékos követi. Sűrűségvektor: ρ=(ρ1, ρ2, …, ρQ), ahol Az A nyereménymátrix a fajok (játékosok) utódlétrehozó képességét (fitneszét) jellemzi, amivel egymásra gyakorolt kölcsönhatásukat modellezzük. ρ* evolúciósan stabil stratégia (ESS), ha minden ρ’ mutáció életképtelen, azaz ha kis perturbáció a populációban Egyenlőség esetén gyenge ESS.

Behelyettesítés után: Tetszőleges ε–nál ez csak akkor teljesülhet, ha ρ* eredményesebb mind a saját, mind pedig a mutáns populációjában. ρ* ESS, ha lokális maximumot biztosít a populációban. A játékokban lehet több ESS vagy egy sem.

állapot evolúciós stabilitását. Héja-galamb játék Három NE: Vizsgáljuk a állapot evolúciós stabilitását. Legyen ρ nyereménye: ρ-tól független! gyenge NE

ρ nyereménye ρ* ellenében független ρ-tól, azaz ρ* gyenge NE ESS második kritériuma szerint: vagyis ρ* ESS

Replikátor dinamika Taylor és Jonker (1978) N stratégia (faj) ρi (i=1, …, N) hányadban van jelen a teljes populációban. A darwini kiválasztásnak megfelelően változik a populáció ρi(t) összetétele, azaz a sikeres szaporodik a kevésbé sikeres kárára. Taylor formula: Maynard-Smith formula (más az időskála) A nyugalmi (állandósult) helyzetek megegyeznek. Minden homogén állapot (csak egy faj létezik) nyugalmi állapot, mert vagy a nyereménykülönbség tűnik el, vagy ρi=0.

Nyugalmi helyzetek osztályozása Nyugalmi helyzetben (fixpont) ρ*: ρ* stabil, ha tetszőleges (kicsi) nyílt U nyílt környezetéhez ρ* instabil, ha nem stabil ρ* vonzó, ha létezik nyílt U környezete úgy, hogy (instabil fixpont is lehet vonzó) legnagyobb U a vonzási körzet ρ* aszimptotikusan stabil (attraktor), ha stabil és vonzó

Nash-egyensúly Megoldási lehetőségek megoszlása Replikátor dinamika Tipikus megoldások Q=2-nél: Társadalmi dilemmák Nash-egyensúly Megoldási lehetőségek megoszlása

Kő-Papír-Olló (ciklikus Q=3) szimmetria esetén: Replikátor dinamika Kő-Papír-Olló (ciklikus Q=3) szimmetria esetén: Koncentrikus pályák spirál befelé spirál kifelé Közös tulajdonságok Négy állandósult megoldás: 1-3) ρ1=1; ρ2=ρ3=0, stb. 4) ρ1=ρ2=ρ3=1/3 Tetszőleges nyereménymátrixnál a szisztematikus osztályozás túl sok lehetőséget mutat Sőt, Q>3-nál kaotikus viselkedés is lehetséges.

Dinamikus stabilitás versus NE a.) NE-ok nyugalmi helyzetek. b.) Szigorú NE-ok attraktorok. nem minden attraktor szigorú NE c.) Ha egy belső pálya konvergál ρ*-hoz, akkor ρ* NE. d.) Ha egy nyugalmi helyzet stabil, akkor NE. Dinamikus vs. evolúciós stabilitás a.) ESS-ek attraktorok. b.) Belső ESS globális attraktor. szig. NE ESS ↓ c.) Potenciális játékoknál a nyugalmi helyzet ESS akkor és csak akkor, ha attraktor c.) 2x2-es mátrixjátékoknál a nyugalmi helyzet ESS akkor és csak akkor, ha attraktor

Moran folyamat (1958) Replikátor dinamika véges számú játékosnál (a játékosok száma: N) Két stratégia: A és B, a két stratégiát i illetve (N-i) játékos követi, azaz a rendszer állapotát i jellemzi (0 ≤ i ≤ N) Dinamika: egy véletlenül kiválasztott játékos átveszi egy másik (szintén véletlenül kiválasztott) játékos stratégiáját. Az eredmény: i → (i-1) vagy i → (i+1) vagy i nem változik. Ha a folyamat mindkét irányban azonos vsz.-gel történik, akkor az átmeneti vsz.-ek: Következmény: i=0 és i=N abszorbáló állapotok, azaz a rendszer itt marad örökké, ha egyszer elérte ezt az állapotot. A rendszer viselkedése megegyezik az egydimenziós bolyongással véges rácson két abszorbáló határral.

Kérdés: Egy adott kezdőállapotból milyen vsz-gel és mikor éri el a rendszer az abszorbáló állapotok valamelyikét? Az i állapotból indulva a rendszer xi vsz-gel éri el az N (mindenki B) állapotot és (1-xi) vsz-gel a 0 (mindenki A) állapotot Egyenletrendszer xi-re: Az egyenletrendszer megoldása: xi=i/N . Általánosabb jelölésrendszerben (βi=pi,i-1, αi=pi,i+1) az egyenletrendszer alakja: A „középső” egyenlet átalakítható: yi=xi-xi-1 új változóval, ami kielégíti a következő feltételt:

Az yi-re kapott egyenletrendszer egyszerűsödik: Az yi összegzési feltételéből kapjuk: Mivel x0=0 ezért xi-re adódik: Azaz: Ez a kifejezés akkor is igaz, ha az egyik faj terjedése előnyt élvez a másikkal szemben. (aszimmetrikus bolyongás)

Mutáns elterjedése Egy idegen elem (A vagy B) van a homogén (B vagy A) populációban. Az A (B) mutáns elterjedésének valószínűsége ρA=x1 , illetve ρB=1-xN-1: A kettő aránya: Mutánsok terjedése eltérő fitnesznél: (A fitnesze r, B fitnesze 1) Változás az újratermelődésnél: , illetve egy sikeres A mutáns (r>1) elterjedésének vsz-e, ha N →∞: Ebben az esetben: