1 Fertőzés terjedése egydimenziós rácson (Contact Process) Az ismétlődő elemi folyamatok véletlenül választott x rácspontokon: gyógyulás: s x =1→0 1/(1+λ) valószínűséggel fertőzés:s x =0→1 mλ/z(1+λ) valószínűséggel, (z szomszéd) m a fertőzött szomszédok száma vagy fertőződés valamelyik szomszédtól λ/(1+λ) vsz.-gel, ha az fertőzött volt. Egy- és kétpontos konfigurációs valószínűségek paraméterezése:

2 Elemi folyamatok járuléka a konfigurációs valószínűségek deriváltjához Járulékok az egypontos konfigurációs valószínűségek változásához, ha z=2: Összesítve Középső pont változásának járuléka

3 Kétpontos konfigurációs valószínűségek változása (járulékok): Összesítve A többi kétpontos konfig. vsz. deriváltját felesleges meghatározni Minden tagban megjelentek magasabb rendű konfig. vsz.-ek vagy származtatunk további mozgásegyenleteket vagy közelítést használunk a p 3 (s 1,s 2,s 3 ) kifejezéseknél

4 Egypontos (átlagtér) közelítés Elég az első mozgásegyenlet: Stacionáris megoldás: Triviális megoldás: Nem-triviális megoldás: Stabilitás elemzés és időfüggés (házi feladat)

5 Doménfalmozgás sebessége (rácsállanó = 1) aktív tart. absz. tart.(Aktív tartományban X=0 vagy 1 (1-c) ill. c vsz-gel.) XXXXXXX állapot változásának járuléka a v frontsebességhez Fertőzés: XXXXXXX Gyógyulás: XXXXXX XXXXX XXXX Járulék a sebességhez:

6 Kétpontos (pár-) közelítés Két mozgásegyenlet kell származtatni, amelyek Paraméterezett formában: Időfüggetlen (stacionáris) megoldás:

7 Triviális megoldás: Nem-triviális megoldás: Stabilitáselemzés: az aktív (c>0) megoldás stabil, ha λ>2 az abszorbáló (c=0) megoldás stabil, ha λ<2

8 A számolás magasabb rendben is elvégezhető: az egyenletek felírása algoritmizálható numerikus megoldáspélda Pascalban Az eredmények összehasonlítása: (MC szim., egy-, két- és hárompontos köz.) n növelésével javul a pontosság Szimuláció: DP típusú kritikus átmenet divergáló korrelációs hossz. korrelációs idő fluktuáció Határérték becsülhető

9 Az egyenletrendszer numerikus megoldása Q egyenlet Nyugalmi helyzetben: 1. Iterációs megoldás (Newton-módszer): x 0 →x 1 →x 2 → etc. A derivált mátrix invertálásához célszerű könyvtári programokat használni Nagypontosságú változók használata javallott Az eredmény csak akkor konvergál a valós megoldáshoz, ha közelről indulunk. 2. Numerikus integrálás: ismételjük a következő lépést: Határciklus esetén ez az egyetlen lehetőség. dt jó megválasztása fontos!

10 Fertőzés terjedés d-dimenziós rácson Két elemi folyamat: 1) fertőzés spontán gyógyulása (kihalás) () 2) megfertőződés a szomszédtól arányos a fertőzött szomszédok számával Szimulációs eredmények: d=1(●), 2(□), és 3(▲) dimenziós rácson átlagtér közelítés eredménye: folytonos vonal, kritikus viselkedés λ c közelében

11 Kritikus viselkedés Rendparaméter: Rendparaméter fluktuációja: Korrelációs függvény: Egyidejű: Egyhelyű: Időfüggő viselkedés: hogyan terjed a fertőzés egy fertőzött pontból? Túlélés vsz-e: Túlélők átlagos száma: Elfoglalt terület (R 2 ): Exponensek definíciója Folytonos átmenet az abszorbáló állapotból (ρ=0) a fertőzöttbe (ρ>0), ha N→∞.

12 Az exponensek csak a tér d dimenziójától függenek (univerzális viselkedés): Exp.d=1d=2d=3d=4 λ c (2)1.6488(1)1.3169(1) β (4)0.583(4)0.805(10)1 γ (7)0.35(1)0.19(1)0 ν p (3)1.295(6)1.105(5)1 ν m (6)0.733(4)0.581(5)½ δ (3)0.4505(10)0.730(4)1 η (3)0.2295(10)0.114(4)0 z (3)1.1325(10)1.052(3)1 Átlagtér jellegű a viselkedés, ha d≥4

13 Skálahipotézisből származtatható összefüggések az exponensek között: Ez az általános viselkedés jellemzi a DP (directed percolation) univerzalitási osztályt. (itt figyelték meg először ezt a jelenséget) DP típusú viselkedést várunk a kritikus pont közelében (az N→∞ határesetben), ha - a rendszerben van (legalább egy) abszorbáló állapot - a kölcsönhatás rövidtávú - az átlagtér-jellegű közelítések CP-hez hasonló viselkedést jósolnak (extra szimmetriák a dinamikában eltérő viselkedést eredményezhetnek) - a háttér homogén inhomogén háttéren Griffith-fázis jelenhet meg, ami lassú (hatványfüggvény-jellegű) konvergenciát jósol a egyensúlyhoz

14 Házi feladat 9.1. Igazoljuk, hogy az egydimenziós kinetikus Ising modellnél (Glauber dinamikát feltételezve) a dinamikus párközelítés visszaadja az egzakt egyensúlyi eloszlást Végezzük el az egydimenziós „Contact Process”-re kapott átlagtér-közelítés eredményének stabilitás-elemzését.