Másodfokú egyenletek Készítette: Orémusz Angelika

Tartalomjegyzék Bevezetés Másodfokú függvények alapfüggvény általános alak kiegészítés teljes négyzetté transzformációk Másodfokú egyenlet megoldása grafikus megoldás 1 2 3 különleges esetek diszkrimináns fogalom, példák jelentése 1 2 megoldóképlet levezetés 1 2 használat 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Gyöktényezős alak Viéte formulák 1 2 Paraméteres egyenletek 1 2 Másodfokúra redukálható egyenletek 1 2 Feladatgyűjtemény

Bevezetés Másodfokú egyenletek alkalmazásával számos feladat és gyakorlati probléma megoldható. A Mezopotániában Kr. E. 2000 táján kiégetett ékírásos agyagtáblák alapján megállapítható, hogy abban az időben már nagy biztonsággal oldották meg ezeket a faladattípusokat. Ebből az időből származik a következő feladat A feladatban szereplő négyzetoldalt x-szel jelölve, a következő egyenletet kapjuk eredményül:   

Másodfokú függvények Alapfüggvény Fogalom: Az alapfüggvény: f(x) = x2 Az olyan függvényt, amelyben a független változó az x a második hatványon szerepel, másodfokú függvénynek nevezzük. Az alapfüggvény: f(x) = x2 Grafikon Jellemzés: ÉT: x R ÉK: y 0 Képe: parabola, ehhez viszonyítjuk a többi másodfokú függvényt Menete: x=0-ig szigorúan monoton csökkenő, x=0-tól szigorúan monoton növekvő Zérushelye: x=0 Szélsőértéke: minimum x=0 helyen y=0. Paritása: páros Korlátosság: alulról korlátos Folytonos a függvény

Másodfokú függvények Általános alak Általános alak: A másodfokú függvény általános alakja: f(x) = ax2+bx+c, ahol a, b, c R, de a 0 Az ilyen típusú függvények a teljes négyzetté kiegészítés módszerével a következő alakra hozhatók: f(x) = a(x - u)2+v, ahol a, u, v R, de a 0 Minden másodfokú függvény képe parabola, amelynek tengelye párhuzamos az y tengellyel. Csúcspontja: C(u;v)

Másodfokú kifejezések Kiegészítés teljes négyzetté 1. Példa 2. 3. 4.

Másodfokú függvények Transzformáció x tengely mentén u-val, y tengely mentén v-vel tolódik el; ha a >1, akkor nyúlik; ha 0 < a < 1, akkor zsugorodik az y tengely mentén; ha a < 0, akkor tükröződik az x tengelyre Az y = (x-1)2 függvény Az y = x2-2 függvény

Megoldás Általános alak Általános alak: ax2 + bx + c = 0, Az egyismeretlenes másodfokú egyenlet általános alakja: ax2 + bx + c = 0, ahol az a, b, c adott valós számok, és a 0 Általános alakra hozás: Az egyenletet mindig ax2 + bx + c = 0 alakra hozzuk, ahol a > 0 (ezt -1-gyel való szorzással mindig elérhetjük) és a Z+ (megfelelő beszorzással szabadulunk a tizedes számoktól

Megoldás Grafikus megoldás 1. módszer Ha az egyenlet ún. nullára redukált alakú, akkor a baloldalt az ismeretlen függvényének tekintjük. A függvényt teljes négyzetté alakítjuk: f(x) = a(x - u )2+ v Az így kapott alakot transzformációs lépések segítségével ábrázoljuk koordináta-rendszerben. Ahol a grafikon metszi vagy érinti az x tengelyt, az lesz a zérushely. A zérushelyek adják a megoldást. Ha nincs zérushely, akkor nincs megoldás sem. Példa x2 + 4x = -3 x2 + 4x + 3 =0 f(x) = x2 + 4x + 3 f(x) = (x +2)2 - 1 Megoldás: x = -1 és x = -3

Megoldás Grafikus megoldás 2. módszer Ennek a módszernek lényege, hogy a másodfokú egyenletet olyan alakra hozzuk, hogy az egyenlet egyik oldalán a másodfokú tag (x2) szerepeljen, a másik oldalon pedig az elsőfokú tag a konstans taggal (számmal). Az egyenlet bal oldalán levő másodfokú függvényt, és a jobb oldalon levő elsőfokú függvényt ábrázolva megkeressük a két függvény metszéspontját. (lehet 0; 1 vagy 2 metszéspont). Ezek a metszéspontok lesznek az egyenlet megoldásai. Példa x2 - x - 2 =0 Megoldás: x = -1 és x = 2 x2 =x +2 f(x) = x2 g(x) =x +2

Megoldás Grafikus megoldás Feladat Oldd meg grafikusan (mindkét módszerrel) az alábbi egyenletet: 1. módszer Megoldás:

Megoldás Grafikus megoldás 2. módszer Megoldás: g f

Megoldás Különleges esetek Konstans tag nélküli másodfokú egyenlet Példa Megoldás Tiszta másodfokú egyenlet Példa Megoldás

Megoldás Diszkrimináns Példák Az egyenletet mindig ax2 + bx + c =0 alakra hozzuk, ahol a > 0 (ezt -1-gyel való szorzással mindig elérhetjük) és a Z+ (megfelelő beszorzással szabadulunk meg a tizedes számoktól). A b2 - 4ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük és D-vel jelöljük. Példák 4x2 - 5x + 3 = 0 x2 - 5x + 6 = 2 x2 - 5x + 4 = 0 x2 - 4x + 4 = 0

Megoldás Diszkrimináns Jelentés A diszkriminánstól függ, hogy a másodfokú egyenletnek hány megoldása lehet a valós számok körében. Az ax2 + bx + c = 0 (a 0) másodfokú egyenletnek: két valós van, ha D = b2 - 4ac > 0 egy valós van, ha D = b2 - 4ac < 0 nincs valós gyöke, ha D = b2 - 4ac = 0

Megoldás Diszkrimináns két valós gyök egy valós gyök nincs valós gyök A másodfokú függvények képe, a hozzájuk tartozó egyenletek diszkriminánsa és az egyenletek gyökei közötti kapcsolat D>0 D=0 D<0 két valós gyök egy valós gyök nincs valós gyök

Megoldás Megoldóképlet Megoldóképlet levezetése A másodfokú egyenlet megoldóképlete: Bizonyítás Mivel, oszthatjuk az egyenlet mindkét oldalát vele, majd vigyük át a konstanst a jobb oldalra és adjunk mindkét oldalhoz -tet. A bal oldalon teljes négyzet áll: A jobb oldali tört előjele a számlálójától függ, jelöljük ezt D-vel. Ha D < 0, akkor az egyenletnek nincs valós megoldása.

Megoldás Megoldóképlet vagy Ha D = 0, akkor a jobb oldalon 0 áll, így egy megoldás van, az Ha D > 0, akkor két lehetőség van: Ezekből: Ezzel az állítást bebizonyítottuk. vagy

Megoldás Példák Megoldás Megoldás -25 < 0, tehát nincs valós gyöke

Megoldás Példák Megoldás Megoldás , tehát nincs valós gyöke

Megoldás Példák Megoldás Megoldás -45 < 0, tehát nincs valós gyöke

Megoldás Példák Megoldás

Megoldás Példák Megoldás

Megoldás Példák Ha két brigád együtt dolgozik, akkor a munkával 14 nap alatt készülnek el. Ha csak egy brigád dolgozik, akkor az elsőnek 8 nappal többre van szüksége, mint a másiknak. Hány napig tart a munka külön-külön mindegyik brigádnak? Megoldás A második brigád x nap alatt készül el a munkával, az első x + 8 nap alatt. Egy nap alatt az első brigád a munka részét, a második pedig részét végzi el A két brigád együtt naponta a munka részét végzi el. 14 nap alatt elkészül a munka, tehát az egész munka részével egyenlő az egynapi munka

Megoldás Példák A feladat megoldása tehát: Az első brigád 32,56 nap, a második brigád pedig 24,56 nap alatt végzi el a munkát

Megoldás Példák Egy derékszögű háromszög két befogójának aránya 3 : 4. Milyen hosszúak a befogók, ha az átfogó 100 cm? Megoldás 100 a = 3x b = 4x

Megoldás Példák Mennyi idő alatt esik le 200 m magasból egy kő? A levegő ellenállását nem vesszük figyelembe; a mozgás szabad mozgás esés: s = 200m; g = 10 m/s2; Tehát a kő 6,3 másodperc alatt érkezik le.

Gyöktényezős alak Példák A gyöktényezős alak Az alakot a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakjának nevezzük. 1. példa 2. példa Alakítsuk szorzattá a 2x2 – 3x – 2 polinomot 1. Megkeressük a 2x2 – 3x – 2 = 0 egyenlet gyökeit. 2. 3. 4.

Viéte-féle formulák Példák Viéte formulák Az ax2 + bx + c = 0 másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között fennállnak a következő összefüggések: Ezeket az összefüggéseket Viéte-féle formuláknak nevezzük. 1. példa A valós számok halmazán adott az x2 + x - 6 = 0 egyenlet. A gyökök kiszámítása nélkül határozza meg a gyökeinek a négyzetösszegét!

Viéte-féle formulák Példák 2. példa Adja meg azt a másodfokú egyenletet, amelynek gyökei: Megoldás:

Paraméteres egyenletek Példák 1. példa Állapítsa meg a c értékét az x2 - 4x + c =0 egyenletben úgy, hogy a másodfokú egyenlet egyik gyöke a másik négyszerese legyen. Megoldás Viéte formulákból következik: A feladatból következik: Akkor:

Paraméteres egyenletek Példák 2. példa Határozza meg a c paraméter értékét úgy, hogy a 2x2 -4x +c =0 másodfokú egyenletnek két pozitív gyöke legyen! Megoldás Az egyenletnek akkor lesz két valós gyöke, ha: Másik oldalról a Viéte formulák alapján: Mindkét gyök akkor és csak akkor lesz pozitív, ha a gyökök összege és szorzata pozitív. A felírt összefüggések szerint az összeg pozitív, a szorzat pedig akkor lesz pozitív, ha: Tehát az egyenletnek akkor lesz mindkét gyöke pozitív, ha

Másodfokúra redukálható egyenletek Megoldás Általános alak: Megoldás: Ismeretlennek xn-t választjuk, és meghatározása után már csak tiszta n-ed fokú egyenletet kell megoldanunk. Példa 1

Másodfokúra redukálható egyenletek Példa Példa 2

Feladatokhoz kattints ide!!!

Feladatgyűjtemény Oldd meg az egyenletek a valós számok halmazán! Tovább Feladatgyűjtemény Oldd meg az egyenletek a valós számok halmazán! Megoldás x = 0 és x = 7 Megoldás x = 0 és x = - 4 Megoldás x = 2 és x = - 2 Megoldás Nincs megoldás Megoldás y= 7 és y = - 7 Megoldás x = 3 és x = 0,2 Megoldás x = 2,5 és x = 1,75 Megoldás x = 1 és x = - 6

Feladatgyűjtemény Oldd meg az egyenletek a valós számok halmazán! Tovább Feladatgyűjtemény Oldd meg az egyenletek a valós számok halmazán! Megoldás x = 0 és x = 0,4 Megoldás x = 1 és x = 0,5 Megoldás x = 5 és x = - 5 Bontsd fel elsőfokú tényezők szorzatára a polinomokat! Megoldás (2 – 3x)(x – 1) Megoldás (x – 3)(2x + 1) Megoldás 2(x – 3)(x + 1)

Tovább Feladatgyűjtemény Add meg a következő gyökök másodfokú egyenletét gyöktényezős alakban! Megoldás (x – 3)(x – 7) = 0 Megoldás (x + 2)(x – 10) = 0 Mennyi a egyenlet valós gyökei reciprokának az összege? Megoldás - 1 Mennyi az egyenlet valós gyökeinek a négyzetösszege? Megoldás 29

Tovább Feladatgyűjtemény Két szomszédos egész szám négyzetének a különbsége 51. Melyek ezek a számok? Megoldás - 26 és -25 A labdarúgó-bajnokság őszi és tavaszi fordulójában összesen 306 mérkőzést játszottak a csapatok. Hány csapat mérkőzött? Megoldás Az egyenlet: x(x – 1) =306; 18 csapat mérkőzött. 630 facsemetét két négyzet alakú parcellába akartak ültetni. Az egyik négyzet oldala mentén 5 fával kevesebbet ültettek, mint a másik mentén, és így 5 csemete megmaradt. Hány fát ültettek egy-egy parcellába? Megoldás Az egyenlet: x2 + (x – 5)2 = 625; 400 és 225 fát ültettek Egy szabályos sokszögnek 54 átlója van. Mekkora a sokszög egy szöge? Megoldás 150°

Tovább Feladatgyűjtemény Egy víztároló két csövön át 18 óra alatt telik meg. Ha a víz csak egy csövön át folyik, akkor a második csövön át 15 órával több idő alatt telik meg, mint az első csövön át. Hány óra alatt tölti meg a víztárolót külön-külön mindegyik cső? Megoldás Első cső 30 óra, második cső 45 óra alatt tölti meg a víztárolót Állapítsa meg m értékét az x2 - 5x + m =0 egyenletben úgy, hogy az egyik gyök 6-tal nagyobb legyen, mint a másik. Megoldás A p valós paraméter mely értékei mellett lesz az x2 + px +3 = 0 egyenlet gyökeinek különbsége 2; négyzetösszege 19 a) Megoldás b) Megoldás

Feladatgyűjtemény Oldja meg a következő egyenleteket a való számok halmazán. a) Megoldás 1; -1; 0,25; -0,25 Megoldás 1; -1; b) c) Megoldás 2; -1; Az m paraméter mely értékeire van az alábbi egyenletnek két különböző valós gyöke Megoldás