A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI 1. Matematika v2.2 kiegészített verzió ÓE-KVK-MTI 2009-2010.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Számhalmazok Természetes számok: N Egész számok: Z (N + 0 + negatív számok) Racionális számok: Q (Z + véges törtek) Valós számok: R (Q + irracionális számok) Komplex számok: C (R + képzetes számok)

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Számhalmazok Természetes számok: 1;2;3... Egész számok: ...;-2;-1;0;1;2;... Racionális számok: 1; ½; -23/56; 0,01 Valós számok: 1; ½; 3,1415...; 2,71828... Komplex számok: 1; -½; i (j); 2+3i; ejπ Ha egy buszon 4 ember utazik, és leszáll 6, akkor hány embernek kell felszállnia, hogy senki ne legyen a buszon?

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Műveletek tulajdonságai kommutativitás: összeadás: a+b=b+a szorzás: ab=ba asszociativitás: összeadás: (a+b)+c=a+(b+c) szorzás: (ab)c=a(bc) disztributivitás: szorzás az összeadásra nézve: a(b+c)=ab+ac

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Nevezetes szorzatok (a+b)2 =a2+b2+2ab (a-b)2 =a2+b2-2ab (a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3 (a-b)3 =a3-3a2b+3ab2-b3 (a+b)(a-b) =a2-b2 Zárójel felbontása: a-(b+c-d)=a-b-c+d (a-b)(c-d)=ac-bc-ad+bd

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Műveletek törtekkel Törtek összevonása: Megkeressük a nevezők legkisebb közös többszörösét. Az összevonandó tagokat egyenként úgy bővítjük, hogy a meghatározott legkisebb közös többszörös legyen a nevező. Az eredmény számlálóját az így kapott számlálok összevonásával kapjuk, a nevező a meghatározott legkisebb közös többszörös lesz.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Műveletek törtekkel Törtek összevonása: 1. példa: A legkisebb közös többszörös meghatározása: 9=3*3, 6=2*3; 2*3*3=18 Az összevonás eredménye:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Műveletek törtekkel Törtek összevonása: 2. példa: A legkisebb közös többszörös meghatározása: 9=3*3, 6=2*3, 4=2*2; 2*2*3*3=36 Az összevonás eredménye:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Műveletek törtekkel Törtek összevonása: 3. példa: A legkisebb közös többszörös meghatározása: a-b, (a2-b2)=(a+b)*(a-b); (a+b)*(a-b)=a2-b2 Az összevonás eredménye:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Műveletek törtekkel Törtek szorzása: Az eredő számláló a számlálók szorzata, az eredő nevező pedig a nevezők szorzata lesz. 1. példa 2. példa

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Műveletek törtekkel Törtek osztása: Az osztandót az osztó reciprokával szorozzuk. 1. példa 2. példa

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet Általános alakja: ax+b=0 , ahol a≠0 Az egyenlet akkor megoldott, ha az egyik oldalon az ismeretlen, a másikon pedig csak ismert mennyiség van. Ezt rendezéssel érhetjük el. ax+b=0 l (-b) ax=-b l :a x=-b/a az egyenlet megoldása

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet A gyök (megoldás) akkor helyes, ha azt az egyenlet eredeti alakjában behelyettesítve egyenlőséget kapunk. x=-b/a az egyenlet megoldása. Behelyettesítve: a(-b/a)+b=0 -ab/a+b=0 -b+b=0 0=0

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet 1. példa: 2x-22+x+11=2x-5-x összevonás 3x-11=x-5 l (-x+11) 2x= 6 l :2 x=3 Ellenőrzés: 2*3-22+3+11=2*3-5-3 6-22+3+11=6-5-3 -2=-2 egyenlőség!

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet 2. példa: 2x-(22+x+11)=2x-(5-x) l zárójel felbontás 2x-22-x-11=2x-5+x l összevonás x-33=3x-5 l (-3x+33) -2x=+28 l :(-2) x=-14 Ellenőrzés: 2*(-14)-(22-14+11)=2*19-(5-(-14) -28-(19)=-28-5-14 -47=-47 egyenlőség!

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet 3. példa: 2x-(22+x+11)=2x-(5-x) l zárójelek felbontása 2x-22-x-11=2x-5+x l összevonás x-33=3x-5 l (-3x+33) -2x=+28 l :(-2) x=-14 Ellenőrzés: 2*(-14)-(22-14+11)=2*19-(5-(-14) -28-(19)=-28-5-14 -47=-47 egyenlőség!

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet 4. példa: (9x+7)/2+(x-2)/7=36+x l A nevezők legkisebb közös többszörösével szorzunk, most 2*7=14 (9x+7)*7+(x-2)*2=(36+x)14 l zárójelek felbontása 63x+49+2x-4=504+14x l -49+4-14x és összevonás 51x=459 l :(51) x=459/51=9 Ellenőrzés: (9*9+7)/2+(9-2)/7=36+9 88/2+7/7=45 45=45 egyenlőség!

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet 5. példa: 16/(5x-3)=8/x l A nevezők szorzatával szorzunk, most (5x-3)*x , feltéve, hogy x≠0 és x≠3/5 16x=8(5x-3) l zárójelek felbontása 16x=40x-24 l-40x és összevonás -24x=-24 l:(-24) x=1 Ellenőrzés: 16/(5*1-3)=8/1 16/2=1 8=8 egyenlőség!

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet Az egyenlet megoldásának lehetséges lépései: - eltávolítjuk a törteket, - elvégezzük a kijelölt műveleteket, felbontjuk a zárójeleket, - rendezzük az egyenletet, - összevonunk, - elosztjuk az ismeretlen együtthatójával mindkét oldalt, - elvégezzük az ellenőrzést.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenletek rendezésének szabályai: a.) Valamely számot vagy algebrai egész kifejezést az egyenlet mindkét oldalához hozzáadva vagy mindkét oldalból kivonva az eredetivel egyenértékű kifejezést kapunk. x-a=c l(+a) x-a+a=c+a x=c+a Példa: x-12=27 l(+12) x-12+12=27+12 x=39

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenletek rendezésének szabályai: b.) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nullától különböző számmal szorozva vagy osztva az eredetivel egyenértékű kifejezést kapunk. x/a=c l( *a) (x/a)(*a)=c(*a) x=ca Példa: x/12=27 l(*12) (x/12)*12=27*12 x=324 12x=36 l(:12) 12x/12=36/12 x=3

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenletek rendezésének szabályai: c.) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal az algebrai kifejezéssel szorozva eredményül az eredeti egyenlet következményét kapjuk, nem esik ki gyök. x-1=0 l ( *(x+1)) (x-1)(x+1)=0 egyenletnek gyöke az x1=1 , de gyöke az x2=-1 is. Nem esett ki gyök, de van egy másik gyök is, a két egyenlet nem egyenértékű. Új gyök nem lép fel mindig! Példa: 3x/(x+2)=2 l (*(x+2) 3x=2*(x+2) 3x=2x+4 Ekkor az x=4 gyököt kapjuk , ami az eredeti egyenletnek is gyöke.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet Általános alakja: ax2+bx+c=0 , ahol a#0 A fenti alakot vegyes másodfokú egyenletnek nevezzük. Ha b=0, akkor kapjuk a tiszta másodfokú egyenletet: ax2+c=0 Ha c=0, akkor kapjuk a hiányos másodfokú egyenletet: ax2+bx=0

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A tiszta másodfokú egyenlet megoldása: ax2+c=0 x2=-c/a rendezés után A két gyököt különválasztva: Az „a” mindig pozitív, így c<0 esetén két valós gyök van, c>0 esetén nincs valós gyök.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A tiszta másodfokú egyenlet megoldása: Példa: 5x2-12=0 x2=12/5=2,4 rendezés után A két gyököt különválasztva:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A hiányos másodfokú egyenletet: ax2+bx=0 az egyenletből x-et kiemelve x(ax+b)=0 kapunk, szorzat csak akkor lehet nulla, ha vagy az egyik vagy a másik tényezője nulla: x1=0 az egyik gyök, vagy ax+b=0 x2=-b/a a másik gyök.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A hiányos másodfokú egyenletet: 3x2+5x=0 az egyenletből x-et kiemelve x(3x+5)=0 kapunk, szorzat csak akkor lehet nulla, ha vagy az egyik vagy a másik tényezője nulla: x1=0 az egyik gyök, vagy 3x+5=0 x2=-3/5 a másik gyök.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A vegyes másodfokú egyenlet: ax2+bx+c=0 , ahol a#0 Az egyenlet megoldó képlete: A két gyök:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A vegyes másodfokú egyenlet: 8x2+2x-1=0 Az egyenlet megoldó képlete: A két gyök:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A vegyes másodfokú egyenlet gyökeinek jellegét a diszkrimináns, a b2-4ac kifejezés határozza meg: a.) ha b2-4ac>0 két egymástól különböző valós gyök van b.) ha b2-4ac=0 a gyökök egymással egyenlők c.) ha b2-4ac<0 nincsenek valós gyökök (csak komplexek)

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet Összefüggés a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között: ha az ax2+bx+c=0 egyenlet diszkriminánsa pozitív, akkor az egyenletnek két gyöke van: Adjuk össze a két gyököt: x1+x2=-b/a szorozzuk össze őket: x1*x2=c/a ha az egyenletet a-val osztjuk, akkor: x2+(b/a)x+c/a=0 egyenlethez jutunk.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A fentiek alapján, ha ismerjük egy másodfokú egyenlet gyökeit, magát az egyenletet egyszerűen felírhatjuk: legyen x1=4, x2=-2 4+(-2)=-b/a; 2=-b/a 4*(-2)= c/a -8=c/a Tehát a másodfokú egyenlet a következőképpen írható fel: x2+(b/a)x+c/a=0 , azaz x2+(-2)x+(-8)=0 x2 -2x -8=0

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja: az x2+(b/a)x+c/a=0 egyenlet szorzattá alakítható a fenti összefüggések alapján: x2+(-(x1+x2))x+x1*x2=0 megfelelő átalakítások után: ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) a-val osztva: x2+(b/a)x+c/a = (x-x1)(x-x2) a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A fentiek alapján, ha ismerjük egy másodfokú egyenlet gyökeit, magát az egyenletet egyszerűen felírhatjuk: legyen x1=4, x2=-2 Tehát a másodfokú egyenlet a következőképpen írható fel: x2+(b/a)x+c/a=(x-x1)(x-x2)=0 , azaz x2+(b/a)x+c/a=(x-4)(x-(-2))=0 x2+(b/a)x+c/a=(x-4)(x+2)=0 x2+(b/a)x+c/a=x2-4x+2x-8=0 x2+(b/a)x+c/a=x2 -2x-8=0 tehát a másodfokú egyenlet: x2 -2x-8=0

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Polinomok Polinom: olyan kifejezés, melyben csak számok és változók egész kitevőjű hatványainak szorzatai illetve ilyenek összegei szerepelnek. Példa: ax3+bx2+cx+d Ha a polinomot nullával tesszük egyenlővé, egyenletet vagy függvényt kapunk. Pl. ax3+bx2+cx+d=0. Az egyenlet megoldásait nevezzük a polinom gyökeinek (vagy zérushelyeinek). Az algebra alaptétele: A komplex számok körében egy nem konstans polinomnak pontosan annyi gyöke van, ahányad fokú. (A fokszám a legnagyobb hatványkitevő.) A fenti példának tehát 3 gyöke van. A gyökök között lehetnek azonosak is (multiplicitás).

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek általános alakja: a1x+b1y=d1 a2x+b2y=d2 Az egyenletrendszer csak akkor oldható meg egyértelműen, ha a két egyenlet egymástól független (vagyis az egyik nem hozható létre a másikból konstanssal való szorzással) és nincs ellentmondásban egymással.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása - Helyettesítő módszer: valamelyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent és azt behelyettesítjük a másikba, majd az így kapott egyismeretlenes egyenletet megoldjuk. Az így kapott eredményt bármelyik egyenletbe behelyettesítve, kiszámítjuk a másik ismeretlent. Utolsó lépésként mindkét egyenletbe behelyettesítjük az eredményeket, így elvégezzük a próbát.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (I) x-2y=-4 (II) 2x+y=-3 Az első egyenletből kifejezzük az x-et x=2y-4 és behelyettesítjük a (II)-be 2(2y-4)+y=-3 4y-8+y=-3

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (folytatás): 4y-8+y=-3 l összevonás 5y-8=-3 l +8 5y=5 l :5 y=1 --------------- behelyettesítés az (I) egyenletbe: x-2(1)=-4 x-2=-4 l +4 x=-2

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (próba): (I) (-2)-2(1)=-4 l zárójel felbontás -2-2=-4 -4=-4 (II) 2(-2)+1=3 l zárójel felbontás -4+1=-3 -3=-3 tehát az egyenlet gyökei: x=-2 ; y=1

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása - Az egyenlő együtthatók módszer: Az egyenleteket egy-egy alkalmasan megválasztott számmal úgy szorozzuk meg, hogy a kiküszöbölendő ismeretlen együtthatója mindkét egyenletben azonos legyen. Ezután a két egyenlet megfelelő oldalait összevonjuk, így egyismeretlenes egyenletet kapunk, megoldjuk az egyenletet, amely megoldását a másikba behelyettesítjük és azt is megoldjuk. Utolsó lépésként mindkét egyenletbe behelyettesítjük az eredményeket, így elvégezzük a próbát.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (I) 5x+3y=19 (II) 6x-2y= 6 ------ -------------- minkét egyenletet megszorozzuk egy alkalmas számmal, az (I)-et 6-tal a (II)-öt 5-tel: (I) 5x+3y=19 l*6 (II) 6x-2y= 6 l*5 ------ --------------

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (folytatás): (I) 30x+18y=114 (II) 30x-10y= 30 l*5 ------ -------------- (I)-ből vonjuk ki a (II)-öt 28y=84 l :28 y=3 behelyettesítés az eredeti (I)-be 5x+3*(3)=19 5x+9=19 l -9 5x=10 l :5 x=2

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (próba): (I) 5(2)+3(3)=19 l zárójel felbontás 10+9=19 19=19 (II) 6(2)-2(3)=6 l zárójel felbontás 12-6=6 6=6 tehát az egyenlet gyökei: x=2 ; y=3

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Egyenlőtlenségek Egyenlőtlenségnek két olyan kifejezés kapcsolatát nevezzük, amelyek az alábbi jelek valamelyikével vannak összekötve: > nagyobb < kisebb ≠ nem egyenlő > < nagyobb vagy kisebb ≤ nagyobb vagy egyenlő ≥ kisebb vagy egyenlő >, < és ≠ szigorú egyenlőtlenségek, a többi nem szigorú.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Egyenlőtlenségek Példák: a>b a<b a≠b a> <b a≤b a≥b

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Egyenlőtlenségek Az a>b és a<b típusú egyenlőtlenségek tulajdonságai: 1. Megfordítás: Ha a>b, akkor b<a. 2. Tranzitivitás: Ha a>b és b>c, akkor a>c 3. Ugyanazon mennyiség hozzáadása vagy kivonása mindkét oldalból: Ha a>b, akkor a+c>b+c és a-c>b-c

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Egyenlőtlenségek Az a>b és a<b típusú egyenlőtlenségek tulajdonságai: 4. Egyenlőtlenségek összeadása: Ha a>b és c>d, akkor a+c>b+d (megegyező értelmű kiinduló egyenlőtlenségek) 5. Egyenlőtlenségek kivonása: Ha a>b és c<d, akkor a-c>b-d (ellenkező értelmű kiinduló egyenlőtlenségek!)

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Egyenlőtlenségek Az a>b és a<b típusú egyenlőtlenségek tulajdonságai: 6. Egyenlőtlenségek szorzása és osztása: Ha a>b és c>0, akkor ac>bc és a/c>b/c (pozitív szorzótényező: megegyező értelmű eredmény) Ha a>b és c<0, akkor ac<bc és a/c<b/c (negatív szorzótényező: ellenkező értelmű eredmény)

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Egyenlőtlenségek Az a>b és a<b típusú egyenlőtlenségek megoldása: Az egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy megkeressük az ismeretlen azon értékeit, amelyekre az egyenlőtlenség igaz. Példa 1: 5x+3<8x+1 5x-8x+3<1 5x-8x<1-3 -3x<-2 x>2/3

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Egyenlőtlenségek Az a>b és a<b típusú egyenlőtlenségek megoldása: Példa 2: x2+6x+15>0 x2+6x+9+6>0 (x+3)2+6>0 (x+3)2>-6 Az egyenlőtlenség x minden értékére igaz, mert bármely szám négyzete nagyobb -6-nál.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Egyenlőtlenségek Az a>b és a<b típusú egyenlőtlenségek megoldása: Példa 3: -2x2+14x-20>0 x2-7x+10<0 (x-7/2)2-49/4+40/4<0 (x-7/2)2<9/4 -3/2<x-7/2<3/2 -3/2+7/2<x<3/2+7/2 2<x<5

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometria A trigonometria azokkal az összefüggé-sekkel foglalkozik, amelyek segítségével a a háromszögek ismert elemeiből az isme-retlen elemeket számítással meghatároz-hatjuk. Minden egyenesekkel határolt síkidom háromszögekre és minden háromszög derékszögű háromszögekre bontható, ezért a derékszögű háromszögek vizsgálata meghatározóan fontos.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometrikus függvények (hegyes szögek) Az ábrán látható derékszögű háromszögek oldalainak aránya állandó (hasonló há-romszögek!) a/c=a1/c1=a2/c2 b/c=b1/c1=b2/c2 a/b=a1/b1=a2/b2 b/a=b1/a1=b2/a2

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometrikus függvények A háromszögek megfelelő oldalainak aránya csak az α szögtől függ. Ezeket az arányokat szögfüggvényeknek nevezzük. Az egyes arányok külön megnevezést és jelölést kaptak. Ezek: -szinusz: sin α= a/c=(a szöggel szembeni befogó)/átfogó b/c=b1/c1=b2/c2 a/b=a1/b1=a2/b2 b/a=b1/a1=b2/a2

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometrikus függvények: -koszinusz: cos α= b/c=(a szög melletti befogó)/átfogó -tangens: tg α= a/b=(a szöggel szembeni befogó)/(a szög melletti befogó) -kotangens: ctg α= b/a=(a szög melletti befogó)/(a szöggel szembeni befogó)

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometria Derékszögű háromszögben a következő szögfüggvényeket definiáljuk:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Nevezetes szögfüggvények:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Nevezetes szögfüggvények:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometrikus függvények: A szögeket fokokban és radiánokban (rad) is megadhatjuk. Az SI mértékegységrendszerben csak a radián használható. Kapcsolatuk: 2π(rad)=360o Az ábrán látható derékszögű háromszög adatai: a=6m b=2,5m Határozzuk meg az α és a β szögek szögfüggvényeit!

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometrikus függvények: Az ábrán látható derékszögű háromszög adatai: a=6m b=2,5m Határozzuk meg az α és a β szögek szögfüggvényeit! A c oldal a Pitagorasz tétellel számolható A szögfüggvények: sin α=a/c=6/6,5=0,9230 cos α=b/c=2,5/6,5=0,3849 tg α=a/b=6/2,5=2,4 ctg α=b/a=2,5/6=0,4166

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Szögfüggvények általánosítása: Szögfüggvényeket általánosan a P pont koordinátáival és az egységnyi sugárral a következőképpen értelmezzük: sin α=ordináta/sugár=y/1=y cos α=abszcissza/sugár=x/1=x tg α=ordináta/abszcissza=y/x ctg α=abszcissza/ordináta=x/y Az α szög bármilyen értékű lehet, a koordinátákat és a szögfüggvényeket előjelesen értelmezzük.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Szögfüggvények előjele különböző síknegyedekben:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Szögfüggvények előjele és értékei a különböző síknegyedekben:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Szögfüggvények előjele és értékei a különböző síknegyedekben:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Szögfüggvények előjele és számítása a különböző síknegyedekben:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Szögfüggvények előjele és számítása a különböző síknegyedekben:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometria a./ szinusz tétel: az általános háromszögben bármely két oldal aránya az oldalakkal szemben lévő szögek szinuszának arányával egyenlő. a:b=sinα:sinβ a:c=sinα:sinγ b:c=sinβ :sinγ

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometria a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az c és b által bezárt szög az α=π/6rad, azaz 30o , mekkora a c oldal? a/b=sinα/sinβ l vegyük az egyenlet reciprokát b/a= sinβ/sin α sinβ=(b/a)*sinα sinβ=(12/10)sin30o sinβ=(12/10)sin30o sinβ=(1,2)*0,5 sinβ=0,6 β=arc sin0,6 β=36,87o=0,643rad

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometria a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az c és b által bezárt szög az α=π/6rad, azaz 30o , mekkora a c oldal? Folytatás: β=36,87o=0,643rad γ=180o-α-β γ=180o-30o-36,87o γ=113,13o c/a=sinγ/sinα c=(a*sinγ)/sinα c=(10*sin113,13o)/sin30o c=(10*0,9196)/0,5 c=18,39m, Tehát a c oldal 18,39m

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometria b./ koszinusz tétel: az általános háromszögben bármely oldalának négyzetét úgy kapjuk, hogy a másik két oldalá-nak négyzetösszegéből kivonjuk ugyanazon oldalak szorzatának és a közbezárt szög koszinu-szának kétszeresét. a2=b2+c2-2*b*c*cosα b2=a2+c2-2*a*c*cosβ c2=a2+b2-2*a*b*cosγ

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometria a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az a és b által bezárt szög az γ=113,13o, mekkora a c oldal? c2=a2+b2-2*a*b*cosγ c2=102+122-2*10*12*cos113,13o c2=100 +144-240*(-0,3928) c2=244+94,2764 c2=338,2764 c=18,39m Tehát a c oldal 18,39m

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek A goniometrikus egyenletek keretében azokkal az összefüggésekkel foglalkozunk, amelyekben az ismeretlenek valamely trigonometrikus függvény argumentumában találhatók. Például: a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a Megoldásoknak (gyökök) nevezzük x azon érté-keit, amelyek kielégítik goniometrikus egyenletet.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek a./ sin x=a Lehetőségek: a1./ sin x=a Megoldások: a1./1. x= arc sin a+2kπ A mellékelt ábra jobb oldala alapján! a2./ sin x=a Megoldások: a2./1. x= π(2k+1)- arc sin a a mellékelt ábra bal oldala alapján A k tetszőleges egész szám!

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek a./ sin x=a Lehetőségek: a3./ sin x=a Megoldások: a3./1. x= arc sin a+2kπ A mellékelt ábra jobb oldala alapján! a4./ sin x=a Megoldások: a4./2 x= π(2k+1)- arc sin a a mellékelt ábra bal oldala alapján! A k tetszőleges egész szám!

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek b./ cos x=a Lehetőségek: b1./ cos x=a Megoldások: b1. x=± arc cos a+2kπ A mellékelt felső ábra alapján! b2./ sin x=a Megoldások: b2 x=± arc cos a+2kπ a mellékelt alsó ábra alapján! A k tetszőleges egész szám!

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek c./ tg x=a Megoldás: x=arc tg a+kπ A mellékelt ábra alapján! A k tetszőleges egész szám!

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek c./ ctg x=a Megoldás: x=arc ctg a+kπ A mellékelt ábra alapján! A k tetszőleges egész szám!

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek Példák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 és a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a a1./ x= arc sin a+2kπ =arc sin,075+2kπ =(0,848+2k π) rad a2./ x= π( 2k+1)- arc sin a = π( 2k+1)- arc sin 0,75 =(π(2k+1)- 0,848)rad A k tetszőleges egész szám! Tehát eredmények a következők: k=0, x01=0,848rad, és x02= π- 0,848=2,2936rad; k=1, x11=0,848+2π=7,1312rad x12=3 π-0,848=8,576rad, stb.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek Példák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 és a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a b1./ x= arc cos a+2kπ =arc cos 0,75+2kπ =(0,7227+2k π) rad b2./ x=-arc cos a+2kπ =-arc cos 0,75+2kπ =(-0,7227+ +2k π) rad A k tetszőleges egész szám! Tehát eredmények a következők: k=0, x01=0,7227rad, és x02= - 0,7227rad; k=1, x11=0,7227+2π=7,0rad x12=2π-0,7227=5,56rad, stb.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek Példák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 és a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a c1./ x= arc tg a+kπ =arc tg 0,75+kπ =(0,6435+k π) rad A k tetszőleges egész szám! Tehát eredmények a következők: k=0, x01=0,6435rad, k=1, x11=0,6435+π=3,7851rad, stb.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hatványozás a : hatvány alapja n: hatványkitevő

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hatványozás Azonosságok Bármilyen számrendszerben a rendszer alapjával való szorzáskor az eredményt úgy kapjuk, hogy a szám mögé írunk egy nullát.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hatványozás Példa

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hatványozás Példa

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Logaritmus A hatványozás egyik inverz művelete (a másik a gyökvonás). A pozitív b szám a (a>1) alapú logaritmusa az a kitevő, amelyre a-t emelve b-t kapjuk. Gyökvonásnál az alapot, logaritmusnál a kitevőt keressük.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Logaritmus Példa: Hatvány: Gyök: Logaritmus: 10-es alapú log: természetes log:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Logaritmus Azonosságok Log alapjának változtatása:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Logaritmus Példák:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Példák: a./ lg 8=lg(2*4)=lg2+lg4=0,3010+0,6020= =0,9031 b./ ln0,8=ln(4/5)=ln4-ln5=1,3863-1,6094= =-0,2231

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Példák: c./ ln52=2*ln 5=2*1,6094=3,2188 c./ lg 81/2=(1/2)lg(8)=(1/2)0,9031=0,4515

Logaritmus függvény Exponenciális függvény

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: Az olyan egyenletet, amelyben az ismeretlen a kitevőben található exponenciális egyenletnek nevezzük. Például: 3(x+1)-3x=100 exponenciális egyenlet.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: a./ Ha az exponenciális egyenlet mindkét oldala egytagú kifejezés, akkor vagy logaritmálással, vagy a hatvány és alap egyenlőségéből a kitevők egyenlőségére következtetéssel algebrai egyenletet írunk fel, és azt a kitevőkre megoldjuk. Például: a1./ 3x=81 l logaritmálva: x*lg3=lg81 l :lg3 x=lg81:log3=1,9085/0, 4771 x=4

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: Például: a2./ 3x=81 l 81 felírása hatványként 3x=34 l látható: x=4 esetén áll fenn az egyenlőség x=4 Próba: 34=81 81=81

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: Például: a3./ Próba:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: Próba: a3./

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: b./ Ha az exponenciális egyenlet többtagú kifeje-zés, de átalakításokkal mindkét oldal egytagúra alakítható, akkor vagy logaritmálással, vagy a hatvány és alap egyenlőségéből a kitevők egyenlőségére következtetéssel algebrai egyen-letet írunk fel, és azt a kitevőkre megoldjuk. Például: b1./ 3x+2+7*3x+1=270 l :a kitevőket felbontjuk: 3x*32+7*3x*31=270 l :3x-kiemelése 3x(32+7*31)=270 3x(9+21)=270 l :osztás 30-al 3x=270/30 =9=32 x=2

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: b1. folytatás: Próba: 3x+2+7*3x+1=270 32+2+7*32+1=270 34+7*33=270 81+7*27=270 270=270

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: Például: b2./ 3x+2+7*3x+1=280 l :a kitevőket felbontjuk: 3x*32+7*3x*31=280 l :3x-kiemelése 3x(32+7*31)=280 3x(9+21)=280 l :osztás 30-al 3x=280/30 l: logaritmálás x*lg3=lg(280/30)=lg280-lg30 x*0,4771=2,4471-1.4771=0,9700 x=0,9700/0,4771=2,0331 x=2,0331

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: Próba: b2./ 3x+2+7*3x+1=280 32,0331+2+7*32,0331+1=280 34,0331+7*33,0331=280 83,9997+7*27,9999=280 83,9997+195,9993=280 279,999=280 A kerekítésektől eltekintve az egyenlőség fennáll

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Koordinátarendszerek Descartes- féle térbeli jobb sodrású derékszögű koordináta rendszer: három, egy ponton átmenő, egymásra merőleges, irányított egyenes (az x, az y, a z koordináta tengely három egymásra merő- leges koordináta síkot határoz meg. A tér egy tetszőleges P pontját az x, y, z koordi- náták a koordináta síkoktól mért, előjeles távolságok, egyértelműen meghatározzák.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer: Ábrázolják a koordináta rendszerben a következő pontokat: A(1; 2; 2); B(-3; 1; -2); C(3/2;-1; 9/2); D(3; 1; -3); E(-2; -1; 2).

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Koordináta rendszerek - Descartes- féle derékszögű koordináta rendszer Descartes szimuláció

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer: Két pont távolsága: Ha P1(x1;y1;z1) és P2(x2;y2;z2) A két pont távolsága: d

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Két pont távolsága: Számítsuk ki két pont távolságát ha P1(-2;3;5) és P2(-3;4;0) A két pont távolsága: d Számítsuk ki két pont távolságát ha P1(-2;3;5) és P2(-3;4;0) Számítsuk ki két pont távolságát ha P1(-2;3;5) és P2(-3;4;0) Számítsuk ki két pont távolságát ha P1(-2;3;5) és P2(-3;4;0) Számítsa ki (3;6;2) valamint (5;-3;-4) pontok távolságát d=11P1(-2;3;5) és P2(-3;4;0)

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Távolságot adott arányban osztó pont koordinátái: ha P1(x1;y1;z1) és P2(x2;y2;z2), az osztási arány k=(P1P)/(P P2)

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Távolságot adott arányban osztó pont koordinátái: ha P1(5;2;-1) és P2(-3;4;2), az osztási arány k=(P1P)/(P P2)=1/2=0,5

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Síkbeli egyenes egyenletei: 1. Origón és P(X,Y) ponton átmenő egyenes egyenlete Ha az egyenes átmegy az origón, iránytényezője, vagy meredeksége: tgα=m=y/x, amelyből az y-t kifejezve Az egyenes egyenlete: y=mx

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Síkbeli egyenes egyenletei: 2. Ha az egyenes átmegy a P1(x1;y1) ponton és m ismert, akkor az egyenes egyenlete: y=m(x-x1)+y1 3, Az egyenes átmegy a P1(x1;y1) és P2(x2;y2) pontokon, akkor az egyenes egyenlete az y=(y2-y1)/(x2-x1) (x-x1)+y1 vagyis m=(y2-y1)/(x2-x1)= (y1-y2)/(x1-x2).

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Síkbeli egyenes példák: 1. Határozzuk meg az egyenes egyenletét, ha az y tengelyt a B pontban metszi és átmegy P ponton. B(0;3) ,[B(0;b)] és P (-3;4), [P(x;y)] tgα=m=(y-b)/x, m=(4-3)/(-3)=-1/3 Az egyenes egyenlete: y=(-1/3)x+3

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Síkbeli egyenes példák: 2. Az egyenes átmegy a P1(5;-3) ponton és az m ismert, α =35o, akkor az egyenes egyenlete az m=tg35o=0,7002 y-(-3)=0,7002(x-(+5)) egyenletből számolható. y+3=0,7002x-3,5 y=0,7002x-6,5

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Síkbeli egyenes példák: 3. Az egyenes átmegy a P1(-5;-1) és a P2(6;-2) ponton, akkor az egyenes egyenlete az y-(-1)=[(-2-(-1))/(6-(-5))](x-(-5)) egyenletből számolható y+1=[(-2+1)/(6+5)](x+5) y+1=[(-1)/(11)](x+5)=(-1/11)x -5/11 y=(-1/11)x -16/11

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Polárkoordináta rendszer Pont koordinátái két dimenzióban: R: távolság az origótól α: szögtávolság a polártengelytől Polárkoordináta demó (pearl)

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Koordináta-transzformáció Descartes - polár között:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Vektorok A vektorok jellemzői: A vektor jele: A vagy A vektor összetevői, komponensei: Ax, Ay, Az A vektor megadása: A=(Ax, Ay, Az), vagy A=iAx+jAy+kAz A vektor abszolút értéke:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok jellemzői: Vektorösszetevők demó (pearl)

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok összeadása: A vektorok kivonása:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok összeadása:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok kivonása:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Vektorok összeadása: Vektorösszeadás demó (pearl) Vektorösszeadás demó (html)

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok skaláris szorzása:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok skaláris szorzása:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása: Vektoriális szorzás demó (pearl)

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Geometria Síkidomok, testek Téglalap kerülete: k=2(a+b) területe: A=ab Téglatest felszíne: A=2(ab+ac+bc) térfogata: V=abc

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Geometria Síkidomok, testek Háromszög kerülete: k=a+b+c területe:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Geometria Síkidomok, testek Derékszögű háromszög a,b: befogó; c: átfogó Pitagorasz-tétel: Általánosítás tetszőleges háromszögre: Koszinusz-tétel: Szinusz-tétel:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Geometria Síkidomok, testek Kör kerülete: k=2Rp területe: A=R2p Gömb felszíne: A=4R2p térfogata: V=4R3p/3

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Geometria Síkidomok, testek Henger felszíne: A=h2Rp+2R2p térfogata: V=hR2p Kúp térfogata: V=hR2p/3