A visszacsatolt szabályozási kör az angolszavak magyar megfelelője a jegyzetoldal nézetben controller plant Gd(s) Gc(s) Ga(s) Gp0(s) Gt(s) compensator or control task transmitter error signal (e) actuator controller szabályozó plant szakasz reference input element alapjel adó comparing element különbségképző error detector hibajel detektáló compensator kompenzátor control task irányító szoftver blokk actuator végrehajtó transmitter távadó reference signal alapjel error signal hibajel action signal végrehajtó jel feddback signal ellenőrző (visszacsatolt) jel disturbance variable zavar jellemző manipulated variable módosító jellemző controlled variable szabályozott jellemző manipulated variable (uP) comparing element or error detector controlled variable (y) reference signal (r) measured signal (ym) reference input element action signal or control signal (u) disturbance variable (d)

Az egyszerűsített szabályozási kör e(s) rendelkező jel d(s) zavar jellemző r(s) alapjel Gd(s)/Ga(s) Gc(s) Ga(s) Gp0(s) Gf(s)=1 Gt(s) Merev visszacsatolás y(s) szabályozott jellemző ym(s) ellenőrző jel u(s) végrehajtó jel A Gf(s) nem befolyásolja az értéket, csak a Matlab miatt definiáljuk.

A tovább egyszerűsített szabályozási kör (ez ami fizikailag mérhető) r(s) alapjel e(s) rendelkező jel d(s) zavar jellemző Gd(s)/Ga(s) Gc(s) Gp(s)=Ga(s) Gp0(s) Gt(s) Gf(s)=1 u(s) végrehajtó jel ym(s) ellenőrző jel A felnyitott hurok átviteli függvénye: A Gf(s) nem befolyásolja az értéket, csak a Matlab miatt definiáljuk.

A szabályozási kör átviteli függvényei Lineáris esetben külön vizsgálható az alapjel és a zavarjellemző hatása A zárt szabályozási kör átviteli függvényének felírási szabálya: A számlálóban a gerjesztő jeltől a gerjesztett jelig található átviteli függvények szorzata, a nevezőben a 1+ a hurok átviteli függvény. Az egyszerűsített zárt kör eredő alapjel átviteli függvénye: A legegyszerűbb zárt kör eredő alapjel átviteli függvénye:

A szabályozási kör átviteli függvényei Lineáris esetben külön vizsgálható az alapjel és a zavarjellemző hatása A zárt szabályozási kör átviteli függvényének felírási szabálya: A számlálóban a gerjesztő jeltől a gerjesztett jelig található átviteli függvények szorzata, a nevezőben a 1+ a hurok átviteli függvény. A 2. ábra szerinti egyszerűsített zárt kör eredő zavarjel átviteli függvénye: A 3.ábra szerinti legegyszerűbb zárt kör eredő zavarjel átviteli függvénye:

A szabályozási kör átviteli függvényei A zárt körben a rendelkező jelre is felírhatók átviteli függvények. A 2. és 3. ábra szerinti zárt kör eredő zavarjel átviteli függvénye: A 2. és 3. ábra szerinti zárt kör eredő zavarjel átviteli függvénye: Az egyszerűsített és a legegyszerűbb zárt szabályozási kör zavar átviteli függvényei azonosak.

A szabályozási kör stabilitás vizsgálata a negatívan visszacsatolt egyhurkos szabályozási kör zárt átviteli függvénye alapján A szabályozási kör stabil, ha a zárt átviteli függvény összes pólusa negatív valós részű. Elegendő a nevező {K(s)} polinom gyökeit vizsgálni! Például:

A szabályozási kör stabilitás vizsgálata a felnyitott hurok átviteli függvénye alapján A szabályozási kör stabil, ha a fázistolás kevesebb -180-nál annál a frekvenciánál (wcg: frequency at crossover gain avagy vágási frekvencia), ahol az amplitúdó átvitel 1, valamint az amplitúdó átvitel kisebb, mint 1 annál a frekvenciánál (wcp: frequency at crossover phase), ahol a fázistolás éppen -180. Megjegyzés: Aluláteresztő jellegű rendszereknél, ha az egyik feltétel teljesül, akkor a másik is! Felüláteresztő vagy sávszűrő jellegű rendszereknél mindkét feltételnek teljesülnie kell.

A szabályozási kör stabilitás vizsgálata a felnyitott hurok átviteli függvénye alapján Bode Fázis tartalék (pm phase margin): A vágási frekvenciánál mért fázistolás és a -180 különbsége a fázis tartalék. (Példa: Ahol az amplitúdó átvitel 1, ott a fázistolás -124, akkor a fázistartalék pm=(-124)-(-180)=56 ) Erősítés tartalék (gm gain margin): Ott, ahol a fázistolás -180 mért erősítés reciprok értéke az erősítés tartalék. (Példa: Ahol a fázistolás -180 ott a Bode erősítés tartalék -7,96 dB, vagyis az erősítés (a= 0,4), és így az erősítés tartalék gm=1/a=1/0,4=2,5.

A szabályozási kör stabilitás vizsgálata a felnyitott hurok átviteli függvénye alapján Nyquist Fázis tartalék (pm phase margin): A vágási frekvenciánál mért fázistolás és a -180 különbsége a fázis tartalék. (Példa: Ahol az egységsugarú kör metszi a Nyquist görbét, ott a fázistolás -124, akkor a fázistartalék pm=(-124)-(-180)=56 ) Erősítés tartalék (gm gain margin): Ott, ahol a fázistolás -180 mért erősítés reciprok értéke az erősítés tartalék. (Példa: Ahol a nyquist görbe metszi a negatív reális tengelyt, ott a Nyquist erősítés tartalék κ=0,6, vagyis a mért erősítés (a= 0,4), és így az erősítés tartalék gm=1/1- κ =1/0,4=2,5.

Performance specifications Unit step response 90% (rv-fv) = Steady-state error Tolerance band 5% Settling time Rise time Second peak value (spv) 10% Performance specifications minőségi jellemzők Unit step respone átmeneti függvény Steady-state error maradó szabályozási eltérés (hibajel: yh) Steady-state állandósult állapot Tolerance band tolerancia hibasáv (a szokásos érték 5%,) Settling time beállási idő (szabályozási idő Ta ) Rise time emelkedési idő Second peak value második csúcsérték Final value végérték h(∞) Peak value csúcsérték h(Tp) Required value az ideális (kívánt) érték (alapérték) Overshoot túllövés (tűllendülés Mp%) Decay ratio csillapodási tényező Final value (fv) Peak value (pv) Required value (rv)

Mintafeladat Legyen a legegyszerűbb szabályozási kör modellben a szakasz Gp(s) és a kompenzáló tag Gc(s) átviteli függvényei az alábbiak: Adja meg felnyitott hurok átviteli függvényt, a zárt kör alapjel átviteli függvényt, és az utóbbi gyöktényezős alakját is. Vizsgálja meg, hogy a szabályozási kör stabil-e a zárt kör átviteli függvényeinek pólusai alapján, valamint a hurok átviteli függvény segítségével. Adja meg az erősítés és a fázistartalék közelítő és pontos értékeit. Határozza meg a yh hibajelet (maradó szabályozási eltérést), a Ta szabályozási időt, és az Mp túllövést %-os értékeit. A Simulink segédprogram segítségével egy ábrán ábrázolja az alap jelet, a rendelkező jelet, és a szabályozott jellemzőt.

A Matlab használata Az átviteli függvények: Az átviteli függvények definiálása: gc=tf([2],[1]) gp=tf(1.2,[1 3.2 2.6 0.4]) Eredmény: Felnyitott hurok átviteli függvény: g0=series(gc,gp) Zárt kör alapjel átviteli függvény merev visszacsatolás esetén: [ny,dy]=cloop(n0,d0) gy=tf(ny,dy) ny= 0 0 0 2,4 dy= 1 3,2 2,6 2,8

A Matlab használata Vagy: Eredmény: Zárt kör alapjel átviteli függvény merev visszacsatolás esetén: gf=tf(1,1) gy=feedback(g0,gf) Eredmény: Átkonvertálás az egyik alakból a másikba: [zy,py,ky]=tf2zp([1.2],[1 3.2 2.6 2.8]) zy= py= -2,61 -0,29 + 0,99i -0,29 - 0,99i ky= 2,4

A Matlab használata Eredmény: Gyökök meghatározása vagy nevezo=[1 3.2 2.6 2.8]; Roots=(nevezo) Pólus-zérus elrendezés: pzmap(gy) py= -2,61 -029 + 0,99i -0,29 - 0,99i py= -2,61 -0,29 + 0,99i -0,29 - 0,99i Ábra magyarázat: A PT3-as tag egy PT2-es és egy PT1-es tagra bontható. Minthogy a gyökök negatív valós részűek, a rendszer stabil.

A Matlab használata Eredmény: Felnyitott hurok átviteli függvény: bode(g0) Szükség esetén szűkítse a frekvencia sávot bode(g0,{wmin, wmax}) Eredmény: gm=-10 dB →3,2 pm=42 wcg=0,825 r/s wcp=1,58 r/s

A Matlab használata Eredmény: Felnyitott hurok átviteli függvény: nyquist(g0) Szükség esetén szűkítse a frekvencia sávot nyquist(g0,{wmin, wmax}) Eredmény: κ=0,7 → 3,3 pm= wcg=0,87 r/s wcp=1,6 r/s

A Matlab használata Eredmény: Minőségi jellemzők: Step(gy) Időtartomány módosítása: T=0:0.01:25; Step(gy,t) h(∞)=0,86 yh=1-0,86=0,14 Mp=(1,17-0,86)/0,86=0,36→36% Ta= 10 sec. {0,82 – 0,9}