Operátorok a Quantummechanikában Csány Gergely (Molekuláris Bionika BSc, III. évf.)

A Kvantummechanika Posztulátumai Információ, amit egy adott állapotról tudhatunk: Egy adott állapotot a állapotfüggvénnyel (hullámfüggvénnyel) írhatunk le, amely függvény Korlátos Egyértékű Folytonos Folytonosan differenciálható függvénye a konfigurációs tér koordinátáinak, valamint a időnek.

A Kvantummechanika Posztulátumai 2 A hullámfüggvény értelmezése: Annak a valószínűsége, hogy a állapotú rendszer Egy adott térfogatelemben található: Ennek következtében: ( négyzetesen integrálható)

A Kvantummechanika Posztulátumai 3 Kísérletek kimenetele: Minden megfigyelhető mennyiséghez hozzárendelünk egy operátort. Ennek az operátornak a sajátértékei és sajátfüggvényei határozzák meg a mérési eredményünket.

A Kvantummechanika Posztulátumai 4 Mérések várható értéke: Egy állapotú fizikai rendszerben az operátorú mennyiségre vonatkozó mérés várható értéke: és szórása:

A Kvantummechanika Posztulátumai 5 A hullámfüggvény időbeli fejlődése: Zárt rendszerben a hullámfüggvény időbeli fejlődését az időfüggő Schrödinger-egyenlettel írhatjuk le:

Néhány fizikai mennyiség operátrora (3. posztulátum):

Operátorok tulajdonságai a kvantumfizikában A kvantumfizikában Hilbert terekben dolgozunk. A kvantumfizikában használt operátorok lineárisak és önadjungáltak (hermitikusak) Önadjungált operátor sajátértékei valósak sajátfüggvényei ortogonálisak Sajátfüggvények ortonormálható, teljes rendszert alkotnak.

Legfontosabb képletek még egyszer (másfajta jelöléssel) A kvantumfizikában Hilbert terekben dolgozunk. Annak a valószínűsége, hogy egy részecskét adott t időpillanatban az [a,b] intervallumban találunk: Természetesen: Annak a valószínűségét, hogy a részecskét adott t időpillanatban az [a,b] frekvenciaintervallumban találjuk, a Fourier-transzformáció segítségével kaphatjuk (f(x,t) ismeretében):

Heisenberg-féle határozatlansági elv ( )

Levezetés (egy lehetőség) Tfh.: Def.:

Levezetés (egy lehetőség) - folyt.

Tétel (6.15) Nem léteznek olyan korlátos S és T lineáris operátorok, (semmilyen Hilbert térben), amelyek kielégítenék az egyenletet. ST – TS = I csak nem korlátos S és T operátorok esetén igaz. (A kvantummechanikában ilyeneket használunk)

Egy példa Adott és esetén tekintsük a következő függvényt:

Példa (folyt.) Mely (α, β) rendezett párokra teljesülhet a két állítás ( , ill. ) egyidejűleg? (*) λ1=? a, b (→λ1) adott; miért kell α-nak és β-nak kielégítenie a (*) egyenlőtlenséget? Felrajzolhatjuk-e az (α,β) párok érvényességi halmazát az egységnégyzetben?

Példa (folyt.) – válaszok Def.: Def.: Def.: λ1 a T operátor legnagyobb sajátértéke:

Példa (folyt.) – válaszok 2 Miért kell a (*) egyenletnek teljesülnie? esetén biztosan érvényes (α,β) párokat kapunk. ezen kívül is lehet adott a, b (→λ1),  α,β-ra igaz (*) :

Köszönöm a figyelmet! Felhasznált irodalom: K. Saxe: Beginning Functional Analysis Csurgay Árpád – Simonyi Károly: Az Információtechnika Fizikai Alapjai