Logika 5. Logikai állítások Miskolci Egyetem Állam- és Jogtudományi Kar Jogelméleti és Jogszociológiai Tanszék március 10.

Meghatározatlan állítások Meghatározott állítások: o Egységként kezelhetőek (mondatparaméterek) o Igazságértékekkel bírnak (alethikusak) o Kétértékűek:  (p   p),  (p &  p)  „Itt vagyok.” ↔ „Nem vagyok itt.” Meghatározatlan állítások: o Bár ellentétes tartalmúak, de egyidejűleg igazak lehetnek  „Joghallgató van előadásra járó.” ↔ „Joghallgató van előadásra nem járó.” o Ellentétes tartalmú ≠ negált  p : „Joghallgató van előadásra járó.”   p : „Nem igaz, hogy joghallgató van előadásra járó.” = „Joghallgató nincs előadásra járó.” o Az ellentétes tartalmú mondatok elemzése is szükséges!

Meghatározatlan állítások Az ellentétes tartalmú mondatok elemzése akkor lehetséges, ha a mondatokat nevekre és predikátumokra bontjuk Nevek o névparaméterek (a, b, c) o individuumváltozók (x, y, z)  „műnévmások”  szabadok: nevekkel behelyettesíthetők („aki mást megöl”)  kötöttek: egy meghatározott személyre mutatók („aki melletted ül”) Kifejezések (mondatok, sémák) o nyitott kifejezés: szabad változók szerepelnek benne o zárt kifejezés: kötött változók szerepelnek benne o n-változós kifejezés: n szabad változót tartalmaz = n-argumentumú predikátum esetén

Kvantorok és kvantifikáció Nyitott mondatok szabad változóinak kitöltése/lekötése: o Nevekkel való behelyettesítés o Operátorok alkalmazása Operátorok: o „minden” o „van olyan”  hagyományos elnevezéssel: „némely” o Ezek az operátorok mennyiséget rendelnek a változókhoz, ezért kvantornak nevezzük őket – segítségükkel kvantifikációt hajtunk végre (quantitas = mennyiség)  Univerzális kvantor: „minden …”, jele:  x  Egzisztenciális kvantor: „van olyan …”, jele:  x

Kvantifikáció (példák, szükséges elemek, hatókörének fogalma) o „… halandó”  nyitott kifejezés, predikátum o „Péter fut”  zárt kifejezés névvel o „Minden élő lélegzik”  zárt kifejezés univerzális kvantifikációval o „Van olyan ember, aki most születik”  zárt kifejezés egzisztenciális kvantifikációval A kvantifikációhoz szükséges elemek: 1. az operátor (a kvantor), 2. a változó, 3. a hatókör Hatókör o az, amire a kvantor vonatkozik o olyan nyitott mondat argumentuma, amelyben csak a kvantor adott „Van olyan …”, „Minden …”

Kvantifikáció (hatókörének jelölése) Hatókör jelölése: o A kvantor után, szögletes zárójelben:  x.[…],  x.[…]  x.[(x ember)  (x halandó)] „Minden x-re áll, hogy ha x ember, akkor x halandó.” „Minden ember halandó.”  x.[(x ember)  (x fehér)] „Van olyan x, amelyre áll, hogy ha x ember, akkor x fehér.” „Van olyan ember, amelyik fehér.” o Egy formulával (ha ez lehetséges), a változótól ponttal elválasztva:  x.A,  x.B pl. az A : „ha ember, akkor halandó” és a B : „ha ember, akkor fehér” sémák esetén:  x.A,  x.B A sémát felírhatjuk paraméterezett predikátumokkal is:  x.F(x),  x.G(x)

Kvantifikáció (interpretálása, értékelés) A kvantifikált állítás igazságértékének rögzítése = a mondat interpretálása: o tárgyalási univerzum kijelölése (megadása egy nem üres halmazként) o a nevek jelöletének megadása o a predikátum terjedelmének kijelölése o a mondat értékelése: a változó jelöletének megadása a tárgyalási univerzumon belül  univerzális kvantifikáció esetén a mondat a tárgyalási univerzum minden elemére áll  egzisztenciális kvantifikáció esetén a mondat a tárgyalási univerzum legalább egy elemére áll

Kvantifikáció (interpretálása, értékelés) Adott interpretáció és értékelés mellett  x.F(x) akkor és csak akkor igaz, ha az x változót lehet úgy értékelni, hogy F(x) igaz legyen (az interpretációt és a többi változó értékelését változatlanul hagyva  permanencia elve). pl. x : ember(ek), F : repül, G : nem tud járni  x.F(x) : „Van olyan ember, aki repül.”  hamis  x.G(x) : „Van olyan ember, aki nem tud járni.”  igaz Adott interpretáció és értékelés mellett  x.F(x) akkor és csak akkor hamis, ha az x változót lehet úgy értékelni, hogy F(x) hamis legyen (az interpretációt és a többi változó értékelését változatlanul hagyva  permanencia elve). pl. x : ember(ek), F : férfi, G : halandó  x.F(x) : „Minden ember férfi.”  hamis  x.G(x) : „Minden ember halandó.”  igaz

Kvantifikáció (n-változós tárgyalási univerzum esetében, duális) A kvantifikációk belső tartalma (jelentése) n számú elemet tartalmazó tárgyalási univerzum esetén: o  x.F(x)   x.[F(a 1 ) & F(a 2 ) & … & F(a n )] o  x.F(x)   x.[F(a 1 ) V F(a 2 ) V … V F(a n )] Az univerzális és az egzisztenciális kvantifikáció viszonya olyan, mint a konjunkció és az alternáció viszonya: ahogyan a konjunkció és az alternáció egymás duálisaként határozhatók meg (ismétlésképpen: 3. előadás, diák), ugyanúgy az univerzális és az egzisztenciális kvantifikáció egymás duálisai. Két igazságfüggvény akkor duálisa egymásnak, ha az egyik igazságfeltételében az igaz szavakat hamis szavakkal fölcserélve a másik igazságfeltételeit kapjuk. (Szemléltetésként az előző dián a piros kiemeléseket érdemes megnézni.)

Kvantifikáció (duális, kvantifikáció De Morgan törvényei) az univerzális és az egzisztenciális kvantifikáció egymás duálisai  a negáció segítségével kifejezhetőek egymással → négy kvantifikációs De Morgan törvény: (T26)  x.F(x)   x.  F(x) (van olyan x, amire áll F)  (nem minden x-re áll non-F) „Van olyan diák, aki jelesre vizsgázik.”  „Nem minden diákra igaz az, hogy nem jelesre vizsgázik.” (T27)  x.  F(x)   x.F(x) (van olyan x, amelyre nem áll F)  (nem minden x-re áll F) „Van olyan joghallgató, aki nem lesz jogász.”  „Nem minden joghallgatóra igaz, hogy jogász lesz.”

Kvantifikáció (duális, kvantifikáció De Morgan törvényei) (T28)  x.  F(x)   x.F(x) (nincs olyan x, amire nem áll F)  (minden x-re áll F) „Nincs olyan joghallgató, aki nem érettségizett.”  „Minden joghallgató érettségizett.” (T29)  x.F(x)   x.  F(x) (nincs olyan x, amelyre áll F)  (minden x-re áll non-F) „Nincs olyan diák, aki tud repülni.”  „Minden diákra igaz, hogy nem tud repülni.”

Univerzális és egzisztenciaállítások A kvantifikált változókat tartalmazó állítások belső szerkezetét tovább lehet finomítani:  x.G(x) helyett:  x.[F(x)  G(x)] „Minden x-re igaz, hogy ha F, akkor G.”  x.G(x) : „Minden ember halandó.”  x.[F(x)  G(x)] : „Ha x ember, akkor x halandó.”  x.G(x) helyett:  x.[F(x) & G(x)] „Van olyan x, amelyre igaz F is, és G is.”  x.G(x) : „Van olyan ember, amely fehér.”  x.[F(x) & G(x)] : „Van olyan x, amely ember és fehér.”

Univerzális és egzisztenciaállítások  x.  G(x) helyett:  x.[F(x)   G(x)] „Minden x-re igaz, hogy ha F, akkor nem G.”  x.  G(x) : „Minden emberre áll, hogy nem tud repülni.”  x.[F(x)   G(x)] : „Ha x ember, akkor x nem tud repülni.”  x.  G(x) helyett:  x.[F(x) &  G(x)] „Van olyan x, amelyre igaz F, de nem igaz G.”  x.  G(x) : „Van olyan ember, amely nem fehér.”  x.[F(x) &  G(x)] : „Van olyan x, amely ember és nem fehér.”

Kategorikus állítások Két-két univerzális/egzisztenciális állítás; két-két állítás/tagadás: 1.  x.[F(x)  G(x)] : „Minden macska fekete.” (a) 2.  x.[F(x)   G(x)] : „Egyetlen macska sem fekete.” (e) 3.  x.[F(x) & G(x)] : „Van olyan macska, amely fekete.” (i) 4.  x.[F(x) &  G(x)] : „Van olyan macska, amely nem fekete.” (o) Jelölések: – affirmo (állítok)  (a, i) – nego (tagadok)  (e, o) – univerzális kvantifikáció  (a, e) – egzisztenciális kvantifikáció  (i, o)

Kategorikus állítások logikai négyzete 1.Az átlósan szemközti állítások (a-o, e-i) kontradiktóriusak, egymás negációi. 2.Az a-e pár kontrárius: nem lehet mindkettő igaz, de lehet mindkettő hamis. 3.Az i-o pár szubkontrárius: lehet egyszerre igaz, de nem lehet egyszerre hamis. 4.Az a-nak az i, az e-nek az o alárendeltje: ha az első igaz, szükségszerűen igaz a második is.

A De Morgan törvények újrafogalmazásai (T26)  x.G(x)   x.  G(x) átfogalmazása: (T30)  x.[F(x) & G(x)]   x.[F(x)   G(x)] „Van olyan F, amely G.”  „Nem minden F nem G.” „Van olyan macska, amely fekete.”  „Nem minden macska nem fekete.” (T27)  x.  G(x)   x.G(x) átfogalmazása: (T31)  x.[F(x) &  G(x)]   x.[F(x)  G(x)] „Van olyan F, amely nem G.”  „Nem minden F az G.” „Van olyan macska, amely nem fekete.”  „Nem minden macska fekete.”

A De Morgan törvények újrafogalmazásai (T28)  x.  G(x)   x.G(x) átfogalmazása: (T32)  x.[F(x) &  G(x)]   x.[F(x)  G(x)] „Nincs olyan F, amely nem G.”  „Minden F az G.” „Nincs olyan macska, amely nem fekete.”  „Minden macska fekete.” (T29)  x.G(x)   x.  G(x) átfogalmazása: (T33)  x.[F(x) & G(x)]   x.[F(x)   G(x)] „Nincs olyan F, amely G.”  „Minden F az nem G.” „Nincs olyan macska, amelyik fekete.”  „Minden macska nem fekete.”

A kvantifikáció fontosabb törvényei A kvantifikáció kontrapozíció-törvénye: (T34)  x.[F(x)  G(x)]   x.[  G(x)   F(x)] „Minden ember halandó.”  „Ami nem halandó, az nem ember.” A kontrapozíció-törvény következménye: (T35)  x.[F(x)   G(x)]   x.[G(x)   F(x)] „Egyetlen ember sem tökéletes.”  „Ami tökéletes, az nem ember.” A kvantifikációs láncszabály: (T36) {  x.[F(x)  G(x)],  x.[G(x)  H(x)]}   x.[F(x)  H(x)] Ha „minden kígyó hüllő” és „minden hüllő hidegvérű”, „minden kígyó hidegvérű”.