RÚDSZERKEZETEK KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEI
DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK RÚD: olyan egyenes tengelyű tartószerkezet, melynek egyik mérete a másik kettőnél lényegesen nagyobb (L>>h, b) RÚDSZERKEZET: rudakból csomóponti kapcsolatokkal és támaszokkal összeállított tartószerkezet MEGJEGYZÉS: szűkített értelemben (RÁCS)RÚDnak azokat a rudakat nevezzük, amelyekben CSAK normálerő működik, azokat a rudakat pedig, amelyek a terhelést jellemzően nyíróerőkkel és nyomatékokkal veszik fel, GERENDÁknak nevezzük. A görbe tengelyű rúdszerű szerkezeteket poligonálisan egyenes tengelyű darabokból összeállítottnak tekinthetjük. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK KERESZTMETSZET: a rúd tengelyére MERŐLEGESEN FELVETT metszet A rúd PRIZMATIKUS (a km. alakja-mérete a hossz mentén nem változik) TENGELYEK: a rúd tengelye x a keresztmetszet síkjában a vízszintes tengely y a függőleges tengely z (ezek nem feltétlenül tehetetlenségi főirányok!) a km. síkjában az „erős” tengely (1. főirány) u, a „gyenge” tengely (2. főirány) v SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK ANYAGTULAJDONSÁGOK: a rúd anyaga HOMOGÉN (az anyagjellemzők HELYfüggetlenek) IZOTROP (az anyagjellemzők IRÁNYfüggetlenek) (ideálisan) RUGALMAS (F/e ill. s/e konstans) lokálisan RUGALMAS-KÉPLÉKENY SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK VISELKEDÉSI TULAJDONSÁGOK: A RÚD alakváltozása ELÉG KICSINY ahhoz, hogy hatását az igénybevételek számítása során elhanyagolhassuk (megmerevítés elve, I. rendű számítás) az alakváltozás során a rúd KERESZTMETSZE-TEI SÍKOK maradnak és a hossztengellyel párhu-zamos ELEMI SZÁLAK a keresztmetszeti síkokra MERŐLEGESEK maradnak (ez utóbbi feltevés nem minden esetben tartható!) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK IGÉNYBEVÉTELEK: térbeli rúd egy kereszt-metszetében előfordulható igénybevételek: Nx normálerő Tz vagy Tv nyíróerő Ty vagy Tu nyíróerő Mx csavarónyomaték My vagy Mu hajlítónyomaték Mz vagy Mv hajlítónyomaték My =Mu Mx Ty =Tu y(=u) Mz =Mv Nx x Tz =Tv z (=v) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK Az igénybevételek FÜGGETLENSÉGE: A számítások során arra törekszünk, olyan közelítéseket alkalmazunk, hogy az egyes igénybevételekből származó feszültségek a többi igénybevételtől FÜGGETLENÜL legyenek számíthatók. MEGJEGYZÉS: a Tz nyíróerővel egyidejűleg MINDIG van My hajlítónyomaték, ill. a Ty nyíróerővel egyidejűleg MINDIG van Mz hajlítónyomaték!!!! d(My(x)/dx=-Tz(x); ill. d(Mz(x)/dx=-Ty(x) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK Az igénybevételek FÜGGETLENSÉGE: Alapállapotban a megfelelőséget a normál- ill. a nyírófeszültségekre KÜLÖN-KÜLÖN ellenőriz-zük, a különböző hatásokból származó, de azonos jellegű (normál- ill. nyíró-) feszültségeket (vekto-riálisan) összegezve. Erős kihasználtság esetén e kétfajta, ugyanazon pontban egyidejűleg működő feszültség EGYÜTTES hatását is vizsgálni kell (összehasonlító feszültségvizsgálat, törési feltételek, főfeszültségvizsgálat). SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK TISZTA HÚZÁS (NYOMÁS) Nx Nx Ty Tz Mx My Mz Tiszta húzás (nyomás) esetén CSAK tengely- irányú, centrikus (a teher- bírási középponton támadó) erő terheli a keresztmetszetet. Az ébredő p(x,y,z) keresztmetszeti feszültségeknek biztosan lesz x irányú, azaz s feszültségkomponense, vagy másként: ez a normálerő a keresztmetszeti s feszültségrendszer eredőjeként értelmezhető. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK TISZTA HÚZÁS (NYOMÁS Ha a keresztmetszetben általános állású feszültségvektorokat tétele-zünk fel, akkor az egyes pontok-ban a nyírófeszültségek a két csat-lakozó darabon ellentétes kereszt-irányú deformációkat okoznának, és emiatt az átvágott keresztmet-szetben a két tartódarab végmetsze-tei nem illeszkedhetnének, ami vi-szont sérti az anyag folytonosságát. EZ A FELTEVÉS TEHÁT HIBÁS! SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK TISZTA HÚZÁS (NYOMÁS) Ha a keresztmetszetben csak normál-feszültséget tételezünk fel, de annak eloszlását nem egyenletesnek tekint-jük, akkor az egyes pontokban az el-térő normálfeszültségi értékek miatt a fajlagos nyúlások is különbözők len-nének, és emiatt az átvágott kereszt-metszetben a két tartódarab végmet-szetei nem illeszkedhetnének, ami viszont sérti az anyag folytonosságát. EZ A FELTEVÉS TEHÁT HIBÁS! SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK TISZTA HÚZÁS (NYOMÁS A centrikusan húzott rúd közbenső ke-resztmetszeteiben az anyag folytonos-sága csak úgy biztosítható, ha a ke-resztmetszetekben CSAK ex fajlagos nyúlás keletkezik és ennek eloszlása a teljes keresztmetszetben EGYENLE-TES azaz a keresztmetszetben CSAK sx normálfeszültség ébred, és ennek eloszlása a teljes keresztmetszetben (szintén) EGYENLETES. sx=Nx/A SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TISZTA NYÍRÁS My! Tz =Tv Mz! Ty =Tu Nx Ty Tz Mx My Mz A keresztmetszeti igénybevételek differenciális összefüggése miatt a keresztmetszeti nyíróerő léte meg-kívánja a (vele azonos síkban műkö-dő, azonos terhelésből származó) nyomatéki igénybevétel létét. A tiszta (más igénybevételektől mentes) nyírás tehát tényleges rúd-keresztmetszetekben valójában NEM FORDULHAT ELŐ!!! Tz =Tv My! Ty =Tu Mz! d(My(x)/dx=-Tz(x); ill. d(Mz(x)/dx=-Ty(x)! SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK TISZTA NYÍRÁS Nx Ty Tz Mx My Mz Az elméleti lehetetlensé-get elismerve mégis adó-dik olyan terhelési eset, amelyben a keresztmetszet pontjaiban a nyíróerő ha-tása dominál. Ezekre a (kapcsolatokban, kötőele-mekben előforduló) ese-tekre (közelítő megoldás-ként) alkalmazhatónak elfogadjuk a TISZTA NYÍRÁSi igénybevételt. dx T t g t t Ddz t Ddz dx dx A tiszta nyírásban a nyíróerőből csak t feszültségekre számítunk. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK TISZTA NYÍRÁS Nx Ty Tz Mx My Mz A tiszta nyírás igénybevétele a ke-resztmetszeteket a tartótengelyre MERŐLEGESEN mozdítja el, és így az elemi szálaknak a keresztmetsze-tekkel bezárt (eredetileg merőleges) állása megváltozik. Az elemi hasáb tengelyre merőleges elmozdulásának a tartótengely mentén mért hosszhoz viszonyított értékét a nyírásra jellem-ző deformációnak, g NYÍRÁSI SZÖGTORZULÁSnak nevezzük. t t T g t t Ddz dx t dx g/2 Ddz dx Általános esetben az elemi hasáb torzulása szimmetrikus, így a g/2 jelenik meg az ábránkon. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK TISZTA NYÍRÁS Nx Ty Tz Mx My Mz A rúd oldalfelületén, az érintősíkokban (a VALA-MI és SEMMI határfelü-letén) SEMMILYEN IRÁNYÚ NYÍRÓFE-SZÜLTSÉG NEM ÉB-REDHET. Emiatt a ke-resztmetszet SÍKJÁBAN a kerület mentén CSAK ÉRINTŐIRÁNYÚ NYÍ-RÓFESZÜLTSÉG kelet-kezhet. T tx tx=0 T t=0 t=0 A dualitás miatt tehát a keresztmetsze-ti nyírófeszültségek pontról-pontra mind állásukban, mind nagyságukban ELTÉRŐK lesznek. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK TISZTA NYÍRÁS Nx Ty Tz Mx My Mz MÉGIS: a gyakorlat számára a kapcsolóelemekben egy ÁTLAGOSÍTOTT, FIK-TÍV nyírófeszültséget veszünk figyelembe, amelynek IRÁNYÁT a nyíróerő irányával azo-nosnak, ELOSZLÁSÁT pedig egyenletesnek vesszük. T tx tx=0 T Az egyenletes fiktív nyírófeszültség alkal-mazása a tiszta nyírású metszetekben rész-ben a képlékeny kiegyenlítődés, részben pedig az anyagellenállás hasonló módon történt meghatározása miatt elfogadható. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TISZTA NYÍRÁS - alkalmazás A húzott-nyomott acéllemezek csava-rozott-szegecselt kapcsolatában a kö-tőelemek nyíródó felületein TISZTA NYÍRÁSI igénybe-vételi állapotot tételezhetünk fel. Az ellenkező irányba mozdulni akaró lemezelemek közötti sík(ok)ban a kötőelemek igénybevétele TISZTA NYÍRÁS, a lyuk és a hengeres kötőelem csatlakozó felületein pedig PALÁSTNYOMÁS alakul ki. A lemezek a csavarok palástjára támaszkodnak. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TISZTA NYÍRÁS - alkalmazás A húzott-nyomott acéllemezek csava-rozott-szegecselt kapcsolatában a kö-tőelemek nyíródó felületein TISZTA NYÍRÁSI igénybe-vételi állapotot tételezhetünk fel. A lemezek a csavarok palástjára támaszkodnak. Az ellenkező irányba mozdulni akaró lemezelemek közötti sík(ok)ban a kötőelemek igénybevétele TISZTA NYÍRÁS, a lyuk és a hengeres kötőelem csatlakozó felületein pedig PALÁSTNYOMÁS alakul ki. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TISZTA NYÍRÁS - alkalmazás Más egyszerűsítések: A valós palástnyomá-si feszültségek helyett (is) fiktív, az átmérő mentén egyenletes, a húzóerővel párhuza-mos „feszültségeket” alkalmazunk. A kö-tőelemek között az erőt egyenletesen el-osztottnak tekintjük. A palástnyomási (fiktív!) „feszültségeket” az egy irányban dolgozó lemezek (összegzett) vastagsága mentén (is) állandónak vesszük. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TISZTA NYÍRÁS - alkalmazás Más egyszerűsítések: A teljes húzóerőt a nyírásvizsgálat során (is) a kötőelemek kö-zött egyenletesen el-osztottnak tekintjük. (A kimért erőeloszlás a végelemekre nagyobb ér-téket ad, de ha az egymás mögött álló elemek szá-mát korlátozzuk, a kép-lékeny kiegyenlítődés alapján az egyenletesség elfogadható.) A kötőelemek „nyírás-számát” a tönkremene-telhez (a szabad mozgáshoz) egyidejűleg elnyíródni kényszerülő felületek száma adja. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
LYUKAS LEMEZ HÚZÁSA Más egyszerűsítések: A húzott elemekben a lyukgyengítések ke-resztmetszetében ki-alakuló normálfe-szültségek eloszlását (is) egyenletesnek tekintjük. A mérések szerint a lyu-kak mellett (az erővona-lak összesűrűsödése mi-att) a feszültség lényege-sen nagyobb, de a képlé-keny átrendeződés itt is segít. A húzott lemez ill. a heveder mértékadó gyengített keresztmetszete(i) A gyengített keresztmetszet (számítási!) „fe-szültségeit” mind a keresztirányú (hatékony) szélesség, mind az egy irányban dolgozó le-mezek (összegzett) vastagsága mentén állan-dónak vesszük. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK LYUKAS LEMEZ HÚZÁSA A fenti ábrán egy, mindkét végén egyenletesen megoszló erővel hú-zott acéllemez számított hosszirányú normálfeszültségeinek eloszlá-sát mutatjuk be. Látható, hogy a feszültségeloszlás egyenletes, csak a lyukak közvetlen környezetében van anomália: a lyukak szélessé-gében a lyuk előtt-mögött a hosszirányú normálfeszültség lecsökken, a lyuk mellett viszont jelentősen megnő. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK LYUKAS LEMEZ HÚZÁSA A kinagyított ábrán látható, hogy a lemezre jellemző 200 N/mm2 (itt: 20 kN/cm2) értékű normálfeszültség a lyuk mellett több, mint kétsze-resére ugrik fel, de az is látható, hogy ez a túlfeszültség csak rövid szakaszon alakul ki, azaz a képlékeny átrendeződés elfogadható. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK LYUKAS LEMEZ HÚZÁSA A feszültségeloszlás térbeli képe SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK LYUKAS LEMEZ HÚZÁSA A számított feszültségeloszlás a keresztirányú metszetekben (a feliratok a normálfeszültség számított értékei kN/cm2-ben) egy általános helyen lévő keresztmetszet a gyengített keresztmetszet (a lyuktengelyben) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS x z y a hajlítás síkja Nx Ty Tz Mx My Mz Ha a rúd keresztmetszeteit CSAK nyomaték terheli, TISZTA HAJLÍTÁSról beszélhetünk. Ha e nyomaték VEKTORA a keresztmetszeti síkidom valamelyik tehetetlenségi főirányában áll, a hajlítás EGYENES HAJLÍTÁS. My A (tiszta) egyenes hajlítás esetén a keresztmetszetet terhelő hajlítónyomaték SÍKJA a tartó tengelye és a keresztmetszet másik tehetetlenségi főiránya határozza meg. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS Nx Ty Tz Mx My Mz Ha a rúd keresztmetszeteit CSAK nyomaték terheli, TISZTA HAJLÍTÁSról beszélhetünk. Ha e nyomaték VEKTORA a keresztmetszeti síkidom valamelyik tehetetlenségi főirányában áll, a hajlítás EGYENES HAJLÍTÁS. x z y Mz a hajlítás síkja A (tiszta) egyenes hajlítás esetén a keresztmetszetet terhelő hajlítónyomaték SÍKJA a tartó tengelye és a keresztmetszet másik tehetetlenségi főiránya határozza meg. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS dA=dy×dz z y My zP yP P(y,z) ex (y,z) eP,x A keresztmetszetek torzulás-mentessége miatt a nyomaték hatására elforduló keresztmet-szet pontjai egy SÍKRA illesz-kednek, azaz a keletkező e faj-lagos nyúlások-összenyomódá-sok a semleges tengelytől mért távolság lineáris függvényei. (Vizsgálatunkat egy x-z síkra szimmetrikus tartón, a szimmetriasíkban működő My nyomatékra végezzük. Ez esetben az y tengellyel párhuza-mosan a (szimmetria miatt) az e fajlagos nyúlások értéke állandó.) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS Az anyag ideális rugalmassága miatt (s =E× e) a nyomaték hatására elforduló keresztmet-szet s feszültségvektorainak végpontjai (is) egy SÍKRA il-leszkednek, azaz a keletkező s normálfeszültségek a semleges tengelytől mért távolság line-áris függvényei. dA=dy×dz z y My zP yP P(y,z) sx (y,z) sP,x (Vizsgálatunkat egy x-z síkra szimmetrikus tartón, a szimmetriasíkban működő My nyomatékra végezzük. Ez esetben az y tengellyel párhuza-mosan (a szimmetria miatt) a s normálfeszültségek értéke állandó.) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS A km. nyomatéki igénybevéte-le valójában az elemi felületda-rabokon ébredő (fajlagos) bel-ső erők nyomatékainak össze-ge. Az egy pontban ébredő ele-mi erő (dF) a pont z koordiná-tájával, az általa kifejtett nyo-maték (dM) a pont z koordiná-tájának négyzetével arányos. dA=dy×dz z y My zP yP P(y,z) sx (y,z) sP,x Az ábrán a P ponthoz tartozó dA=dy×dz elemi felületet a láthatóság végett nagyra rajzoltuk, de ez a határátmenet képzésekor tart a zérushoz, azaz a dF elemi erő helye tart a P pont y-z koordinátáihoz. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS dF=sx×dydz=sx×dA=E×e×dA=E×emax/zmax×z×dA dA=dy×dz z y My zP yP P(y,z) sx (y,z) sP,x dM=z×dF=z×sx×dA=z×E×e×dA= =z×E×emax/zmax×z×dA= =E×emax/zmax×z2×dA Mbelső=∫dM=∫E×emax/zmax×z2×dA= =E×emax/zmax×∫z2×dA= E×emax/zmax×Jy=smax/zmax×Jy Mbelső= Mkülső smax/zmax×Jy= Mkülső smax= Mkülső/Jy× zmax s=smax/zmax ×z A P pontban ébredő s feszültségből származó elemi erő nyomatékát fel-írva és a teljes felületen összegezve a külső nyomatékot kell kapnunk. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS dF=sx×dydz=sx×dA=E×e×dA=E×emax/zmax×z×dA dA=dy×dz z y My zP yP P(y,z) sx (y,z) sP,x dM=z×dF=z×sx×dA=z×E×e×dA= =z×E×emax/zmax×z×dA= =E×emax/zmax×z2×dA Mbelső=∫dM=∫E×emax/zmax×z2×dA= =E×emax/zmax×∫z2×dA= E×emax/zmax×Jy=smax/zmax×Jy Mbelső= Mkülső smax/zmax×Jy= Mkülső smax= Mkülső/Jy× zmax s=smax/zmax ×z A P pontban ébredő s feszültségből származó elemi erő nyomatékát fel-írva és a teljes felületen összegezve a külső nyomatékot kell kapnunk. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS A tiszta egyenes hajlítással terhelt keresztmetszetben tehát a normál-feszültségek a nyomatékkal egye-nes arányban, a keresztmetszet (nyomatékvektorral megegyező állású semleges tengelyére vett) inercianyomatékával fordított arányban alakulnak, és a vizsgált pontnak csak a semleges tengelytől mért z távolságától függnek (egyenes arányban). y= sem- leges tengely z x sz My s(z)= Mkülső/Jy× z (Jy: főirány!) s(x,y,z)= Mkülső (x) /Jy (x) × z SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS dq TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS A tiszta egyenes hajlítás ese-tében feltételeztük a sík ke-resztmetszetek és a tengely-lyel párhuzamos elemi szá-lak merőlegességének állan-dóságát. Emiatt a pontok környezetében felvett elemi hasábokban szögtorzulás nem léphet fel, azaz a txz feszültség a keresztmetszet minden pontjában zérus. h dz dx dx SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KÉPLÉKENY TEHERBÍRÁSI TÖBBLET Ha egy igénybevételi állapot a keresztmetszetben változó nagy-ságú feszültségeket ébreszt (haj-lítás, nyírás, csavarás), a legna-gyobb feszültségű pontok képlé-keny alakváltozása a keresztmet-szet elmozdulásának növelésével újabb pontokban-elemi szálak-ban teszi lehetővé a maximális szilárdság elérését és ezzel a ke-resztmetszetet többletigénybevé-tel felvételére teszi alkalmassá. felső szál alsó szál s1,felső s2,felső s1,felső=s2,felső emax 2. rugalmas tartomány 1. rugalmas tartomány e ábra s ábra s-e diagram SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KÉPLÉKENY TEHERBÍRÁSI TÖBBLET A lokális képlékeny alakváltozásokat megengedő teherbírásnövelő folyamat (elvileg) addig folytat-ható, míg a keresztmetszet minden pontja, elemi szála eléri a képlékenységi határt, hiszen ekkor már a keresztmetszetelmozdulások további igény-bevételnövekedés nélkül is folytatódnak, a kereszt-metszet képlékeny teherbírása (is) kimerült. Ehhez az állapothoz a keresztmetszet derékszögű elfordulása tartozna, tehát ez az (elvi) állapot a gyakorlatban sohasem érhető el! SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KÉPLÉKENY NYOMATÉKBÍRÁS rugalmas tartomány Ha a mértékadó hajlítónyomaték nem éri el a rugalmas határértéket, a keresztmetszetben ébredő normálfeszültségek a magasság mentén (a z koordináta függvényében) lineárisan változnak, de még maximális értékük is kisebb az anyagra jellemző rugalmas határfeszültségnél. Ha a mértékadó hajlítónyomaték a rugalmas határnyomatékkal megegyező értékű, a keresztmetszetben ébredő normálfeszültségek a magasság mentén (a z koordináta függvényében) lineárisan változnak, és maximális értékük az anyagra jellemző rugalmas határfeszültséggel (az anyag folyási határszilárdságával) azonos. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KÉPLÉKENY NYOMATÉKBÍRÁS rugalmas tartomány Ha a mértékadó hajlítónyomaték a rugalmas határnyomatékot meghaladja, a keresztmetszet azon (szélső) elemi szálai, amelyekben a megnyúlás-összenyomódás már elérte a folyási határt, a feszültség változatlan értéke mellett tovább alakváltoznak. Az ennek folytán kialakuló keresztmetszetelfordulás-növekmény a belső elemi szálak (rugalmas) feszültségeit is megnöveli. A belső erő-növekmény (egyre csökkenő erőkarral) a keresztmetszet nyomatéki ellenállását is növeli. Határesetben már minden elemi szál képlékeny állapotba került, és a keresztmetszet nem tud további nyomatékot felvenni, képlékeny csuklóvá alakul. A képlékeny határállapotban a keresztmetszet pontjaiban csak a srugalmas, határ léphet fel. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TÉGLALAP KM. KÉPLÉKENY NYOMATÉKI TÖBBLETE h krugalmas s rugalmas, határ M RUGALMAS ÁLLAPOT h krugalmas s rugalmas, határ Nrugalmas Hrugalmas DHképlékeny DNképlékeny kképlékeny KÉPLÉKENY TÖBBLET SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TÉGLALAP KM. KÉPLÉKENY HATÁRNYOMATÉKA A keresztmetszet teljes képlékeny határnyomatéka: Nteljes Hteljes kteljes h s rugalmas, határ M A képlékeny többlet a nyomaték növekedésének függvényében egyre lassabban nő, a modellünkben bemutatott képlékeny határállapotot a keresztmetszet csak végtelen nagy alakváltozások árán érheti el. A gyakorlati szerkezetekben tehát ez az elméleti teherbírási tartalék nem érhető el. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK KÉPLÉKENY CSUKLÓ A keresztmetszetben a képlékeny teherbírási növekmény lokális folyási-morzsolódási hatás révén mobilizálódik, és visszafordíthatatlan többlet alakváltozást okoz a szerkezetben. rugalmas állapot F MH,rug képlékeny alakváltozás a középkeresztmetszetben F+DF MH,rug +DMképl Képlékeny nyomatéki határállapot elérésekor a keresztmetszet (képlékeny) csuklóvá alakul, a további terheléssel szembeni nyomatéki merevsége zérusra csökken, így a statikailag határozott szerkezeteink teherbírása megszűnik, a szerkezetek mozgási mechanizmussá alakulnak. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK KÉPLÉKENY TARTALÉK A statikailag határozatlan szerkezeteknek legalább egy külső vagy belső többletmerevsége van, így egy keresztmetszet nyomatéki merevségének elvesztése csak eggyel csökkenti a szerkezet belső merevségét, de a szerkezet állékony, teherbíró marad. Az ilyen szerkezetek a képlékeny csukló(k) kialakulása után is terhelhetők, mégpedig a képlékeny csuklót valós csuklóként megjelenítő statikai vázon. A szerkezet csak akkor tekintendő tönkrementnek, ha a képlékeny csuklók száma meghaladja a statikai határozatlanság fokszámát. q Dq DMképlékeny Mrugalmas -Mrugalmas, határ +Mrugalmas, határ SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KÜLPONTOSAN NYOMOTT KM. KÉPLÉKENY TARTALÉKA Ha a keresztmetszetünket csak hajlítónyoma-ték terheli, akkor a képlékeny határállapot-ban a húzott és a nyomott felületek terüle-tének meg kell egyeznie, azaz a képlékeny ha-tárállapothoz tartozó hajlítási semleges tengely a húzott és a nyomott felületek területazonossá-ga alapján számítható. shúzóM snyomóM snyomóN N M znyomott h snyomóM semleges tengely b shúzó snyomóN Hajlítónyomaték és normálerő együttes működése esetén az egyensúlyi egyenletek a következőképpen alakulnak: A nyomatéki egyenletet a szelvény alsó szélső szálára felírva: SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KÜLPONTOSAN NYOMOTT KM. KÉPLÉKENY SZÁMÍTÁSA A két egyenletből két ismeretlen határoz-ható meg. A képlékeny határállapotban tehát ismert normálerőhöz meghatároz-hatjuk a nyomott zóna magasságát és az egyidejűleg működtethető nyomatékot, vagy fordítva: ismert nyomatékhoz meg-határozhatjuk a nyomott zóna magassá-gát és az egyidejűleg működtethető nor-málerőt. Ha a keresztmetszetben mind a normálerő, mind a nyomaték ismert, ak-kor nem biztos, hogy a keresztmetszetben kialakul a képlékeny határállapot. Mkülső=Mbelső Nkülső=Nbelső s húzó s nyomó semleges tengely SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A hajlítással egyidejűleg működő nyírás esetén a kereszt-metszeti síkok és a tengellyel párhuzamos elemi szálak merőlegessége NEM tartható, hiszen akkor nem ébred-hetne nyírófeszültség, ami viszont a nyíróerő léte miatt nem lehetséges. Ennek ellenére (a tapasztalatok szerint) a nyomatékból származó normálfeszültségek értékének és eloszlásának meghatározására jó közelítéssel elfogad-ható a tiszta egyenes hajlítás összefüggése. Ugyancsak elfogadható az a feltevés, hogy a hajlítónyomatékból CSAK normálfeszültség, a nyíróerőből CSAK nyíró-feszültség keletkezik. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A tartó x koordinátájú kereszt-metszetében működő igénybe-vételek: My(x) és Tz(x). Az x+dx koordinátájú metszetben működő igénybevételek: My(x+dx) és Tz(x+dx). A tar-tószeletre a véglapokon műkö-dő nyomatékok nem egyenlí-tik ki egymást, és így az ezek-ből származó normálfeszültsé-gek sem. dA=dy×dz z zP P(y,z) sx (y,z) sP,x dx My(x+dx) y x yP Az x irányú egyensúlyt csak a szelet belsejében (a z normá-lisú síkon) ébredő tzx nyírófeszültségek révén biztosítható. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A tartó x koordinátájú keresztmetszetében működő igénybevételek: My(x) és Tz(x). Az x+dx koordinátájú keresztmetszetben működő igénybevételek: My(x+dx) és Tz(x+dx). Az My(x) és a Tz(x) függvényeket sorba fejtve, az elsőfokú tagokat megtartva: dx x+dx x x F(x) F közelítő,1 fok (x+dx)= F(x)+F’(x)×dx F közelítő,0 fok (x+dx)= F(x) F(x+dx) egy F(x) függvény sorbafejtésének 0-adfokú és elsőfokú tagjai SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A fentiek szerint a tartó dx vastagságú szeletére az x koor-dinátájú (vég)keresztmetszetben –My(x), az x+dx koordiná-tájú keresztmetszetben +My(x)+dMy(x) nyomaték működik. Ennek alapján a tartó dx vastagságú szeletének két oldalán működő s normálfeszültségeknek az My(x) nyomatékból származó része x irányú vetületben kiegyenlíti egymást, x irányú kiegyenlítetlen erő csak az x+dx koordinátájú met-szetet terhelő dMy nyomatéki többletből származik. Ha a tartószeletet egy z koordinátájú magasságban vízszintesen (is) elvágjuk, a megmaradó (alsó vagy felső) elemre felírva a SFix=0 vetületi egyenletet, a dMy nyomatékból származó kiegyenlítetlen normálfeszültségeket csak a vízszintes met-szetben keletkező nyírófeszültségek kompenzálhatják. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS a dx vastagságú szeletet a vizsgálandó pont magasságában vízszintesen (is) elvágjuk: z y dMy sx (y,z) x N’x=∫∫sx(y,z)dy×dz sx (y,z) tzx(x,y) A’ T’x=∫∫tzx(x,y)dx×dy dx by x SFix=0 yP A s feszültségek itt már csak a nyomaték növekményéből származnak, dM/dx pedig a (negatív) nyíróerőt adja. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS N’x=∫∫sx(y,z)dy×dz sx (y,z) tzx(x,y) A’ T’x=∫∫tzx(x,y)dx×dy dx by x A hajlított-nyírt tartó egy pontjában a nyíróerőből származó és vele párhu-zamos vektorú nyírófeszültség tehát egyenesen arányos a T nyíróerővel, az „elcsúszni akaró rész”-nek a hajlí-tási semleges tengelyre vett statikai nyomatékával, fordítottan arányos a keresztmetszeti síkidomnak a hajlítási semleges tengelyre vett inercianyo-matékával és a keresztmetszetnek a pontban, a hajlítási tengellyel párhu-zamosan mért szélességével. A t feszültségekre a víz-szintes síkú metszeten a keresztirányú eloszlást a szimmetria miatt, a hossz-irányú eloszlást a határát-menetben 0-hoz tartó vas-tagság miatt konstansnak tekinthetjük. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK FERDE HAJLÍTÁS Ha a keresztmetszetre működő eredő hajlítónyomaték vek-tora nem főirányban áll, a keresztmetszet igénybevételét ferde hajlításnak nevezzük. 1. alapeset: a keresztmetszet szimmetrikus, de állása miatt a terhelés síkja nem főirányban áll 2. alapeset: a kereszt-metszet szimmetrikus, de mindkét főirány síkjában terhelt 3. alapeset: a keresztmetszet nem szimmetrikus, a teher az oldalélekkel párhuzamo-san működik SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK FERDE HAJLÍTÁS Ha a keresztmetszetre működő eredő hajlítónyomaték vek-tora nem főirányban áll, a keresztmetszet igénybevételét ferde hajlításnak nevezzük. a terhelés síkja a terhelés síkja a terhelés síkja 1. alapeset: a keresztmetszet szimmetrikus, de állása miatt a terhelés síkja nem főirányban áll 2. alapeset: a kereszt-metszet szimmetrikus, de mindkét főirány síkjában terhelt 3. alapeset: a keresztmetszet nem szimmetrikus, a teher az oldalélekkel párhuzamo-san működik SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK FERDE HAJLÍTÁS Ha a keresztmetszet tehetet-lenségi főirányai ismertek, a nyomatékvektor mindig fel-bontható főirányokba eső összetevőkre, amelyek kü-lön-külön egyenes hajlítás-ként kezelhetők. A kereszt-metszet pontjaiban a két e-gyenes hajlításból származó normálfeszültségeket skalá-risan összegezve kapjuk a ferde hajlításból adódó nor-málfeszültség-eloszlást. x z=v=2 My a semleges tengely y=u=1 Meredő Mz b=600mm h=1000 mm Jy=5e10 mm4 Jz=1,8E10 mm4 My=800 kNm Mz=300 kNm szigmasaroky=8 szigmasarokz=5 a semleges tengely átmegy a súlyponton, de nem esik egybe a nyomatékvektorral! SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK FERDE HAJLÍTÁS Ha a keresztmetszet csak az egyik tehetetlenségi fő-irányban álló nyomaték terheli, a semleges tengely a nyomatékvektorral egybe- esik, a normálfeszültségek a semleges tengellyel párhu-zamos metszetekben kons-tans értékűek, a semleges tengelyre merőleges met-szetekben lineárisan válto-zó értékűek lesznek. x z=v=2 My a semleges tengely y=u=1 b=600mm h=1000 mm Jy=5e10 mm4 Jz=1,8E10 mm4 My=800 kNm Mz=300 kNm szigmasaroky=8 szigmasarokz=5 a semleges tengely átmegy a súlyponton, és egybeesik a nyomatékvektorral! SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK FERDE HAJLÍTÁS Ha a keresztmetszet csak az egyik tehetetlenségi fő-irányban álló nyomaték terheli, a semleges tengely a nyomatékvektorral egybe- esik, a normálfeszültségek a semleges tengellyel párhu-zamos metszetekben kons-tans értékűek, a semleges tengelyre merőleges met-szetekben lineárisan válto-zó értékűek lesznek. x z=v=2 a semleges tengely y=u=1 Mz b=600mm h=1000 mm Jy=5e10 mm4 Jz=1,8E10 mm4 My=800 kNm Mz=300 kNm szigmasaroky=8 szigmasarokz=5 a semleges tengely átmegy a súlyponton, és egybeesik a nyomatékvektorral! SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK FERDE HAJLÍTÁS Ha a keresztmetszetet mind-két tehetetlenségi főirány körül terheli nyomaték, ak-kor a két (külön-külön egye-nes hajlításként kezelt) nyo-matékból származó normál-feszültségeket pontonként rendre előjelhelyesen ösz-szadva rajzolódik ki a ke-resztmetszet normálfeszült-ségeinek eloszlása. x a semleges tengely y=u=1 Mz Meredő My b=600mm h=1000 mm Jy=5e10 mm4 Jz=1,8E10 mm4 My=800 kNm Mz=300 kNm szigmasaroky=8 szigmasarokz=5 z=v=2 a semleges tengely átmegy a súlyponton, de nem esik egybe a nyomatékvektorral! a feszültségvektorok végpontjai egy, a súlyponton átmenő ferde síkra illeszkednek! SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
FERDE HAJLÍTÁS+NYÍRÁS Ha a keresztmetszetet csak az egyik szimmetriatengelyben álló nyíróerő terheli, a nyíró-feszültségek a(z egyidejűleg működő nyomatékhoz tarto-zó) semleges tengellyel pár-huzamos metszetekben kons-tans értékűek, a semleges ten-gelyre merőleges metszetek-ben (téglalap keresztmetszet esetén) parabolikusan válto-zó értékűek lesznek. x z=v=2 Tz y=u=1 P txz,P txy,P = txy = 0! b=600mm h=1000 mm Jy=5e10 mm4 Jz=1,8E10 mm4 My=800 kNm Mz=300 kNm szigmasaroky=8 szigmasarokz=5 a parabola csak az eloszlást mutatja, a nyí-rófeszültségek a nyíróerővel párhuzamosak SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
FERDE HAJLÍTÁS+NYÍRÁS Ha a keresztmetszetet csak az egyik szimmetriatengelyben álló nyíróerő terheli, a nyíró-feszültségek a(z egyidejűleg működő nyomatékhoz tarto-zó) semleges tengellyel pár-huzamos metszetekben kons-tans értékűek, a semleges ten-gelyre merőleges metszetek-ben (téglalap keresztmetszet esetén) parabolikusan válto-zó értékűek lesznek. x Ty y=u=1 P txz,P = txz= 0! txy,P b=600mm h=1000 mm Jy=5e10 mm4 Jz=1,8E10 mm4 My=800 kNm Mz=300 kNm szigmasaroky=8 szigmasarokz=5 z=v=2 a parabola csak az eloszlást mutatja, a nyí-rófeszültségek a nyíróerővel párhuzamosak SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
FERDE HAJLÍTÁS+NYÍRÁS Ha a keresztmetszetet mind-két szimmetriatengelyben nyíróerő terheli, a nyírófe-szültségek pontonként a kü-lön-külön meghatározott nyí-rófeszültségek vektoriális összegzésével határozhatók meg. (Ha a keresztmetszet határoló élei a nyíróerőkkel párhuzamosak, keresztirányú nyírófeszültség egyik nyíró-erőből sem származik.) Tz y=u=1 txz,PTy = txzTy= 0! txy,PTz = txyTz= 0! P tx,P z=v=2 Ty x txy,P b=600mm h=1000 mm Jy=5e10 mm4 Jz=1,8E10 mm4 My=800 kNm Mz=300 kNm szigmasaroky=8 szigmasarokz=5 txz,P a parabola csak az eloszlást mutatja, a nyíró-feszültségek a nyíróerőkkel párhuzamosak SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK FERDE HAJLÍTÁS Mu Mv y z u=1 y=v P zP M x yP uP vP a Ha a keresztmetszeti síkidom tehe-tetlenségi főirányai az oldalélekkel nem párhuzamosak, egyetlen (akár y vagy z tengelyű) nyomaték is fer-de hajlításként kezelendő. Az u-v koordináták az y-z koordinátákból a fenti transzformációval előjelhe-lyesen kaphatók. 2,5×5+2×6 Jy=500,583 Jz=112,33 Cyz=-159,375 Ju=557,624 Jv=55,28825 alfa=19,69~20fok (u = y × cos a + z × sin a; v = -y × sin a +z × cos a) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK FERDE HAJLÍTÁS Mu Mv y z u=1 y=v P zP M x yP uP vP a Ha a keresztmetszeti síkidom tehe-tetlenségi főirányai az oldalélekkel nem párhuzamosak, egyetlen (akár y vagy z tengelyű) nyomaték is fer-de hajlításként kezelendő. Az u-v koordináták az y-z koordinátákból a fenti transzformációval előjelhe-lyesen kaphatók. 2,5×5+2×6 Jy=500,583 Jz=112,33 Cyz=-159,375 Ju=557,624 Jv=55,28825 alfa=19,69~20fok Mu=939,7 kNm Mv=342 kNm szigmaP=-8,063+89755=+0,9122 (u = y × cos a + z × sin a; v = -y × sin a +z × cos a) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS z Tz txz txy tx by/2 ty A Ty nyíróerőből keletkező nyírófe-szültségek meghatározhatóságához az szükséges, hogy az y tengely a ke-resztmetszet szimmetriatengelye le-gyen. Ez esetben a nyíróerővel meg-egyező állású txy nyírófeszültség: My (a szimmetria miatt a txz a pont y koordinátájának nem függvénye!) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS z Tz txz txy tx by/2 ty A keresztmetszet kerülete mentén az érintősíkokban (a „valami és a semmi határfelületén”) nyírófeszültség nem ébredhet. Emiatt a keresztmetszeti eredő nyírófeszültségek a kerületi pontokban érintőirányúak lesznek. Ez azonban csak úgy lehetséges, ha a Ty nyíróerő irányára merőleges nyírófeszültségek is ébrednek: My (a szimmetria miatt a txy a pont y koordinátájának lineáris függvénye!) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS txz txy tx bz/2 tz A Ty nyíróerőből keletkező nyíró-feszültségek meghatározhatóságá-hoz az szükséges, hogy az y ten-gely a keresztmetszet szimmetria-tengelye legyen. Ez esetben a nyíróerővel megegyező állású txy nyírófeszültség: y Ty Mz z (a szimmetria miatt a txy a pont z koordinátájá-nak nem függvénye!) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS txz txy tx bz/2 tz A keresztmetszet kerülete mentén az érintősíkokban (a „valami és a semmi határfelületén”) nyírófe-szültség nem ébredhet. Emiatt a keresztmetszeti eredő nyírófe-szültségek a kerületi pontokban érintőirányúak lesznek. Ez azonban csak úgy lehetséges, ha a Ty nyíróerő irányára merőleges nyírófeszültségek is ébrednek: y Ty Mz z (a szimmetria miatt a txy a pont z koordinátájának lineáris függvénye!) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
FERDE HAJLÍTÁS ÉS NYÍRÁS z Tz Ty tx txz txy Ha mind az y, mind a z tengely szimmetriatengely, mindkét ten-gely mentén működhet kereszt-metszeti nyíróerő. A kerületi pontokban a Tz és a Ty hatására ébredő eredő nyírófeszültségek vektora egy egyenesbe esik, értékük tehát skalárisan (is) összegezhető. (az ábra a keresztmetszet negyedét mutatja!) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
FERDE HAJLÍTÁS ÉS NYÍRÁS z Tz Ty tx txz txy Ha mind az y, mind a z tengely szimmetriatengely, mind- két tengely mentén működhet keresztmetszeti nyíró-erő. A belső pontokban a Tz és a Ty hatására ébredő eredő nyírófeszültségek vektora nem egy egyenesbe esik, értékük tehát csak vektoriálisan összegezhető. (az ábra a keresztmetszet negyedét mutatja!) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A hajlított-nyírt tartók viselkedése kapcsán bemutatjuk, hogy a tar-tómagasság/támaszköz arány hogyan befolyásolja a feszültségek alakulását, meddig alkalmazhatók a gerendaszerkezetekre levezetett feszültségszámítási eljárások. A hajlított-nyírt gerendában az alakváltozás az alsó és a felső szélső szálban gyakorlatilag azonos görbületű, a keresztmetszetek az alak-változás után is síkok maradnak. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS Az ábrában a színek határvonalai az azonos normálfeszültségű ponto-kat mutatják. A hajlított-nyírt gerendában a keresztmetszeti normál-feszültségek változása a tartó közbenső szakaszán a legerősebb. (Az ábra technikai okokból egy (gerendára jellemző geometriai arányokkal rendelkező) kéttámaszú tárcsa metszeterőinek eloszlását mutatja. A támaszok feletti „elszíneződések” az alátámasztásokból származó helyi, z irányú feszültségek lokális hatását jelzik.) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS Az ábrában a színek határvonalai az azonos nyírófeszültségű ponto-kat mutatják. A hajlított-nyírt gerendában a keresztmetszeti nyíró-feszültségek változása a tartóvégek közelében a legerősebb. (Az ábra technikai okokból egy (gerendára jellemző geometriai arányokkal rendelkező) kéttámaszú tárcsa metszeterőinek eloszlását mutatja. A támaszok feletti „elszíneződések” az alátámasztásokból származó helyi, z irányú feszültségek lokális hatását jelzik.) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A hajlított-nyírt gerendában a normálfeszültségek a magasság mentén lineárisan, a hossz mentén a nyomatéki ábrának megfelelően (itt: parabolikusan) alakulnak. (Az ábra technikai okokból egy (gerendára jellemző geometriai arányokkal rendelkező) kéttámaszú tárcsa metszet- erőinek eloszlását mutatja, az irányok emiatt szokatlanok.) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A hajlított-nyírt gerendában a nyírófeszültségek a magasság mentén parabolikusan, a hossz mentén a nyíróerő ábrá- nak megfelelően (itt: lineárisan) alakulnak. (Az ábra technikai okokból egy (gerendára jellemző geometriai arányokkal rendelkező) kéttámaszú tárcsa metszet- erőinek eloszlását mutatja, az irányok emiatt szokatlanok. Ugyancsak emiatt látható a tartóvégeknél az egy ponthoz kötött nyíróerőváltozás helyett a metszeterőkre-feszültségekre jellemző átmenetes változás.) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A hajlított-nyírt gerendában a normálfeszültségek a magasság mentén lineárisan, a hossz mentén a nyomatéki ábrának megfelelően (itt: lineárisan) alakulnak. (Az ábra technikai okokból egy (gerendára jellemző geometriai arányok- kal rendelkező) kéttámaszú tárcsa metszeterőinek elosz- lását mutatja, az irányok emiatt szokatlanok. A koncentrált erő helyén a lokális z irányú feszültség hatása jelenik meg.) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A hajlított-nyírt gerendában a nyírófeszültségek a magasság mentén parabolikusan, a hossz mentén a nyíróerő ábrá- nak megfelelően (itt: konstansként) alakulnak. (Az ábra technikai okokból egy (gerendára jellemző geometriai arányokkal rendelkező) kéttámaszú tárcsa metszet- erőinek eloszlását mutatja, az irányok emiatt szokatlanok. Ugyancsak emiatt látható a tartóvégeknél és a koncentrált erő helyén az egy ponthoz kötött nyíróerőváltozás helyett a metszeterőkre-feszültségekre jellemző átmenetes változás.) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A tartómagasságot L/10-ről L/2-re növelve a tartó (most már faltartó, vagy tárcsa) alsó és felső szálá-ban látahtóan eltérő a görbület, és emiatt várható, hogy a keresztmetszetek sem maradhatnak síkok. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A kéttámaszú faltartóban a az alakváltozás az alsó és a felső szélső szálban gyakorlatilag azonos görbületű, a keresztmetszetek az alak-változás után is síkok maradnak. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A kéttámaszú faltartóban a keresztmetszeti normál- feszültségek a magasság mentén nem lineárisak, a támaszok- hoz közeledve a keresztmet- szet semleges tengelye egyre alacsonyabbra kerül. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A kéttámaszú fal-tartóban a kereszt-metszeti nyírófe-szültségek a ma-gasság mentén nem szimmetriku-sak: a támaszok-hoz közeledve a maximumhely egyre alacso-nyabbra kerül. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK TISZTA CSAVARÁS A tartó tengelyével párhuzamos állású nyomaték által a kereszt-metszetben kialakuló, a kereszt-metszetet a rúd tengelye körül elcsavarni akaró igénybevételi állapotot csavarásnak nevezzük. Ha a csavarónyomaték egyedüli keresztmetszeti igénybevétel, tiszta csavarásról beszélünk. z dx y x Mcs r df g A csavarási hatás centrális szimmetriája miatt a csavarásból származó feszültségek vizsgálatát először körszimmetrikus tulajdonságú keresztmetszeteken végezzük el. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KÖRSZIMMETRIKUS SZELVÉNY CSAVARÁSA A folytonosság, a megelőző-követő keresztmetszetek illeszkedése csak akkor biztosítható, ha a csavarónyomatékból származó nor-málfeszültség a teljes keresztmetszetben azonosan zérus. A Bernoulli-Navier hipotézisnek az első fele, amely szerint a kereszt-metszetek a bekövetkező alakváltozások után is síkok maradnak, a csavarás esetében is igaz. A csavarásból tehát a keresztmetszetben csak nyírófeszültség keletkezik, azaz egy dx vastagságú lamella vastagsága az elcsavaro-dás nyomán nem változik. Az anyag folytonossága, szakadás- és torlódásmentessége a csatlakozó metszetekben csak akkor áll fenn, ha a t feszültségnek nincs sugárirányú összetevője, azaz a csava-rásból származó nyírófeszültség vektora - a körszimmetrikus keresztmetszetekben - mindig érintő irányú. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KÖRSZIMMETRIKUS SZELVÉNY CSAVARÁSA dx y x Mcs r df Az elcsavarodásból származó g nyírási szögtorzulás mértéke a pontnak a ten-gelytől mért távolságával arányos, az-az a g szögtorzulásból számítható tx nyírófeszültség az r sugár lineáris függvénye lesz. A dx vastagságú lamellán a kerület mentén a df elcsavarodásból származó (ívmenti) eltolódás meg fog egyezni a hossz mentén a g szögtorzulásból adódó eltolódással. r×df = g×dx g=r×(df/dx) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
KÖRSZIMMETRIKUS SZELVÉNY CSAVARÁSA A csavarásból a körszimmetrikus kereszt-metszetű rúdon keletkező fajlagos elcsa-varodás tehát az Mcs csavarónyomatékkal egyenesen, a G×J○ csavarómerevséggel pedig fordítottan arányos. A körszimmetrikus szelvények csavarási nyírófeszültségi-fajlagos elcsavarodási képletei tehát struktúrájukban teljesen megegyeznek az egyenes hajlítás normálfeszültségi-fajlagos elfordulási összefüggéseivel, a különbség csak annyi, hogy a csavarásból nyíró, a hajlításból normálfeszültségek keletkeznek. Felhasználva a nyírófeszültségre levezetett tx=G×g=G×r×(df/dx) összefüggést, és ebből kifejezve tx-et SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
CSAVARÁS A GERENDAKAPCSOLATOKBAN F Mcs,A Mcs,B Mcs F Mcs,A Mcs,B A fióktartó (konzol) végkeresztmetszetén mű-ködő F erőt a főtartó (gerenda) csavarónyoma-tékokkal (emellett nyíróerőkkel és hajlítónyo-matékokkal is) egyensúlyozza. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
VÉKONYFALÚ ZÁRT SZELVÉNY CSAVARÁSA (BREDT-KÉPLET) x da K középvonal Mx=Mcs A fal vékonysága miatt a v falvastagság mentén a nyírófeszültségeket egyenletes eloszlásúnak tekinthetjük, így: t1×v1×dx=t2×v2×dx, azaz a vékonyfalú zárt szelvény csavarása során a keresztmetszetben ébredő (a falvastagság mentén állandó) nyírófeszültségek és a falvastagságok szorzata (a nyírófolyam) állandó. v1 ds=r×da dx v2 da t1 t2 r(a) t1×v1=t2×v2=t×v SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
VÉKONYFALÚ ZÁRT SZELVÉNY CSAVARÁSA x da K középvonal Mx=Mcs A falvastagságok felezőpontjait összekötő görbén mért ds hosszúságú szakaszon ébredő nyírófeszültségek által az x tengelyre kifejtett elemi nyomaték körintegrálásával a teljes keresztmetszet nyírófeszültségeinek nyomatékát kapjuk, aminek a terhelő csavarónyomatékkal kell megegyeznie. dMcs=dMx=r×(t×v)×ds=(t×v)×r2×da Mcs=Mx=r×(t×v)×ds=2×(t×v)×r×ds/2=2×(t×v)×AK Mcs=(t×v)×r2×da SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
VÉKONYFALÚ ZÁRT SZELVÉNY CSAVARÁSA A nyírófeszültségek elemi csavarónyomatékait az a teljes 2p tartományán integrálnunk kell, de ennek során a (t×v) szorzat állandóként kiemelhető, és az integrálkifejezés a K középvonal által határolt terület nagyságát adja. AK Mcs=Mx=r×(t×v)×ds=2×(t×v)×r×ds/2=2×(t×v)×AK Mcs=Mx=t×v×2AK tx=Mcs/(2AK×vmin) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
VÉKONYFALÚ ZÁRT SZELVÉNY CSAVARÁSA A vékonyfalú zárt szelvény csavarásából származó nyírófeszült-ségek számítási összefüggése igen egyszerű, de tudnunk kell, hogy közelítés, hiszen a falvastagság mentén állandó nyírófeszültségek-kel számol, pedig a csavarási elcsúszás (az elcsavarodás) a tengely-től mért távolsággal lineárisan növekszik. A közelítéssel elkövetett hiba a falvastagság növekedésével nő. Ugyanakkor azt is tudjuk, hogy a zárt szelvény csavarási ellenállása, csavarómerevsége igen nagy, így a csavarónyomatékokból általában kis értékű nyírófe-szültségek keletkeznek. A közelítéssel elkövetett hiba tehát egy (relatíve) kicsiny feszültségnek (az esetleg magas százalékos) hányadaként is a teljes nyírófeszültség abszolút értékében (az egyéb hatásokból származó nyírófeszültségekkel összevetve) nem okoz nagy hibát. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
VÉKONYFALÚ ZÁRT SZELVÉNY CSAVARÁSA Ide kívánkozik a mérnöki számításoknak egy fontos elve: a pontos eredménytelenségnél hasznosabb a pontatlan eredmény SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
ZÁRT SZELVÉNY CSAVARÁSA A BREDT-képlet lehetővé teszi bonyolult szekrénytartók csava-rási (nyíró-) feszültségeinek egyszerű meghatározását, igaz, hibá-val terhelten. Az alternatíva az, hogy vagy nem tudjuk ezeket a feszültségeket kiszámítani, vagy igen bonyolult matematikai apparátust kell alkalmaznunk. A közelítő számítás révén kapott érték hibáját megbecsülve szerkezeteink megfelelősége egyszerűen és kielégítő pontossággal ellenőrizhető. Mcs AK A szekrénytartó valós falvastagsága mellett a hiba akár 50 % is lehet, de megfelelő „rátartással” a szerkezet jól kezelhető SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
A BREDT-KÉPLET HIBABECSLÉSE Körszimmetrikus szerkezeten alkalmazva a pontos és a BREDT-féle feszültségszámítást, a falvastagság függvényében adhatunk becslést a hasonló középvonal-területű, de nem szabályos idomok feszültségértékeinek hibájára. a nyírófeszültség a falvastagság mentén lineáris KÖZELÍTŐ számítás: PONTOS számítás: a nyírófeszültség a falvastagság mentén állandó SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TÉGLALAP KM-Ű RÚD CSAVARÁSA A derékszögű négyszög keresztmetszetek sarokpontjaiban a dualitás miatt keresztmetszeti nyírófeszültség sem az y, sem a z irányban nem ébredhet. Ennek megfelelően a sarokpontokban nyírási szögtorzulás sem keletkezhet. Ugyanakkor a kereszt-irányban kivágott dx vastagságú lamellán a csavarónyomatékot csak a keresztmetszet síkjában ébredő, tx nyírófeszültségek képesek egyensúlyozni. Másként fogalmazva: a csavarónyoma-ték (közvetlenül) a keresztmetszet síkjában okoz alakváltozáso-kat, tehát itt kell keletkezniük az alakváltozásokhoz igazodó fajlagos belső erőknek, feszültségeknek is. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TÉGLALAP KM-Ű RÚD CSAVARÁSA A téglalapszelvényben a z tengellyel párhuzamos oldalélek belső pontjaiban a dualitás már nem tiltja a txz nyírófeszültségek létét, így e vonal mentén kell szá-mítanunk z irányú nyírófeszültségekre. A feszültségekkel összefüggő, az x-z síkban kialakuló nyírási szögtorzulás viszont csak a pontok hossztengely irá-nyú eltolódásai révén valósulhat meg, azaz a Bernoulli-Navier hipotézisnek már az első fele (a keresztmetszetek a bekövetkező alakváltozások után is síkok maradnak) sem tartható. A nem körszimmetrikus szelvények csavarása során a keresztmetszet pont-jaiban hosszirányú, rúdtengely-irányú alakváltozások is létrejönnek, a ke-resztmetszet öblösödik. Ha a rúdvégek megtámasztottsága olyan (merev), hogy e hosszirányú alakválto-zások kialakulását meg tudja akadályozni, gátolt csavarásról beszélünk, A gá-tolt csavarás esetében x irányú nyúlások nem ébrednek, a keresztmetszet sík marad, nem torzul, viszont az x irányú nyúlások-összenyomódások gátlása mi-att a keresztmetszetben x irányú, azaz normálfeszültségekkel is számolnunk kell. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TÉGLALAP KM-Ű RÚD CSAVARÁSA txzMx= 0! Az ábrán a téglalapszelvény kerülete mentén az Mx csavarónyomatékból ébredő nyírófeszültségek alakulását mutatjuk be. Megjegyezzük, hogy a nyíró-feszültségek a keresztmetszet síkjában keletkeznek, a be-rajzolt görbék csak a feszült-ségek nagyságának változását jelzik. txz txyMx= 0! Mcs x y h txy z b SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TÉGLALAP KM-Ű RÚD CSAVARÁSA A téglalapszelvény csavarása során a hosszabbik oldal közép-pontjában keletkező maximális nyírófeszültség értéke a következő közelítő összefüggéssel határozható meg: Ebben az esetben az A-B szakaszon kialakuló elcsavarodás szögét a következő kifejezéssel közelíthetjük: SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TÉGLALAP KM-Ű RÚD CSAVARÁSA Ha a szelvény kisebbik mérete a nagyobbikhoz képest lényege-sen (nagyságrenddel) kisebb, a b/h a zérushoz közelít, így a (mindig a hosszabbik oldal felezőpontjában keletkező) maximális nyírófeszültség: Ebben az esetben az A-B szakaszon kialakuló elcsavarodás szögét a következő kifejezéssel közelíthetjük: SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TÉGLALAP KM-Ű RÚD CSAVARÁSA A b3×h/3 kifejezést mind a nyírófeszültség, mind az elcsavarodás képletében megtalálhatjuk. Ezt a kifejezést, amely funkcióját tekint-ve a hajlított keresztmetszet tehetetlenségi nyomatékával, ill. a csavart körszimmetrikus szelvény poláris inercianyomatékával egyezik meg, keresztmetszet csavarási ellenállóképességének, Jcs csavarási inerciájának nevezzük. A csavarási inercia felhaszná-lásával a maximális nyírófeszültség, ill. az állandó csavaróigény-bevétel esetén az A-B szakaszon kialakuló elcsavarodás összefüg-gése a következőkre egyszerűsödik: SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK
TÉGLALAP KM-Ű RÚD CSAVARÁSA Vegyük észre, hogy a csavaróinercia közelítő összefüggésében mindig a rövidebbik oldal van a harmadik hatványon, a maximális nyírófeszültség viszont mindig a hosszabbik oldalak felezőpontjaiban keletkezik. Összetett szelvények csavarása esetén a keresztmetszetet téglalap-elemekre bontva határozhatjuk meg a csavaróinerciát. Ne feledjük, a közelítő összefüggésben is mindig a téglalap-elem rövidebbik oldala van a harmadik hatványon, függetlenül az elem állásától. A mérnöki gyakorlatban az ipari termékként kapható rúdszelvények keresztmetszeti jellemzői táblázatosan hozzáférhetők, a szerkezetszámító programok pedig tetszőleges termék vagy általunk felvett síkidom-elem felhasználásával képesek bármilyen összetett szelvény keresztmetszeti jellemzőit meghatározni. Végül jegyezzük meg, hogy az elemekből összeállított zárt szelvény csavaróinerciája mindig sokszorosa az ugyanazon elemekből összeállított, de nem zárt szelvény csavarási ellenállásának. Ennek megfelelően ha egy rúdban csavaróigénybevételekre számítanunk kell, keresztmetszeti kialakításként igen erősen ajánlott zárt szelvényt alkalmazni. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK