Példatár Egyenes egyenlete a síkban III.Csoport: Birta Bernadett Boros Zoltán Didi Emese Katona Árpád “Cserey-Goga” Iskolacsoport Kraszna 2010, október, 5-6 Árpi Berni Zoltán Emese

Mi a szerepe a matematikának a mindennapi életben? “A társadalomtudományok is modellekkel dolgoznak, és sokszor matematikai modellekkel. A társadalomtudósok azonban sohasem gondolták, hogy erre azért van szükség, mert a társadalom (vagy mondjuk a gazdaság) "könyve" a matematika nyelvén íródott.” ~ Mérő László~

Egyenes egyenlete a síkban 1.Az egyenes iránytényezője: -az egyenesnek az ox tengellyel bezárt szögének tangense:m = tg α. -ha:αE(0o;90o)=>m>0 αE(90o;180o)=>m<0 α=0o=>m=0 α =90o nem értelmezett -ha m>o=>az egyenes novekvő m<0=>az egyenes csökkenő Pl: α=45o =>m=tg45o=1>0=> az egyenes novekvő 2.Két pont által meghatározott egyenes iránytényezője: -az egyenes két ponton halad keresztül: A(x1,y1), B(x2,y2), x1 = x2 , ekkor az iránytényező egyenlő: mAB = y2-y1 x2-x1 Pl: A(2;4); B(5;1) mAB=1-4= -3=-1 5-2 3

Egyenes egyenlete a síkban 3. Két egyenes szöge a sikban két egyenes által (d1 és d2) közrezárt szög egyenlő: tg α= m1-m2 1+m1m2 -ha d1 d2 m1m2=-1 -ha d1 d2 m1=m2 Pl: d1->m1 = 1; d2 ->m2 =-2 tgα= 1+2 = 3 = -3 = 3=> α=27o 1-2 -1 d1 d2 ha m1m2=-1=>1(-2)=-2=-1=>d1 d2 d1 d2 ha m1=m2=>1=-2=>d1 d2 4.Egy pont és egy iránytényező által meghatározott egyenes egyenlete -az m iránytényezőjű, P(x1; y1) ponton átmenő egyenes egyenlete y − y1 = m (x − x1) . Pl: A (1;3) E e; me=2 e:y-3=2(x-1)=>y-3=2x-2=> =>-2x+y-1=0

Egyenes egyenlete a síkban 5.Két ponton áthaladó egyenes egyenlete -az A(x1,y1) és B(x2,y2) pontokon áthaladó egyenes egyenlete: d: y-y1 = x-x1 y2-y1 x2-x1 Pl: A(1,3), B(2,1) AB: y-3=x-1=> -2 1 -2x+2=y-3=>-2x-y+5=0 6.Egyenes egyenletének tengelymetszetes alakja -a tengelymetszeteken átmenő egyenes egyenlete: A(a,0),B(0,b) d: x + y -1 =0 a b Pl: A(-2,0) , B(0,1) d: x + y - 1=0/(-2)=> x + -2y + 2=0=> -2 1 =>x-2y+2=0

Egyenes egyenlete a síkban 7.Egyenes egyelnletének általános alakja -egy d egyenes általános alakja: ax+by+c=0 y= -a x – c b b md=-a b Pl: d:2x-3y+1=0 a=2; b=-3 Md: -2 = 2 -3 3 8. Két egyenes kölcsönös helyzete a síkban -adott d1:a1x+b1y+c1=0 és d2:a2x+b2y+c2=0 a) d1 és d2 azonos, ha: a1 = b1 = c1 = k a2 b2 c2 b) d1 és d2 párhuzamos, ha: a1 = a2 b1 b2 c) d1 és d2 merőleges, ha: a1 a2=-b1 b2 d) d1 metszi d2 : az egyenleteikből egyenletrendszert alkotunk Pl: d1: -x + 3y + 2 = 0 d2: x + y – 6 = 0 4y – 4 = 0 => y=1 X + 1 – 6 = 0 => x = 5

Alkalmazás más területen Feladat: Egy polc két deszkájának egyenlete: d1: 3x-2y+1=0 d2: 9x-6y+10=0. Párhuzamosak vagy merőlegesek-e a deszkák? Megoldás: m1= -a = -3 = 3 b -2 2 m2= -a = -9 = -3 = 3 b -6 -2 2 m1=m2 => d1 d2

Kitűzött feladatok 1. Döntsd el, hogy eleme-e az e egyenesnek a P pont! 1) e : 2x − y = 6 , P(5; 4); 2) e : x + 4y =10 , P(–2; 3); 3) e :3y + 2x − 5 = 0 , P(–1; 3); 4) e : −3x = −y + 6, P(3; 14). Megoldás: Igen: 1) és 2), nem: 3) és 4). 2. Add meg az 5x + y =12 egyenes tengelymetszeteit (vagyis azokat az értékeket, amelyeknél az egyenes metszi a tengelyeket), és még 2-2 pontját ábrázolás nélkül! Megoldás: (2,4; 0) és (0; 12). 3.Adott egy háromszög oldalegyeneseinek egyenlete: 2y + x + 4 = 0; x = y − 7; y + 2x = 4 . Ábrázold koordináta-rendszerben a háromszöget, add meg csúcspontjainak koordinátáit, és határozd meg a háromszög területét! Megoldás: A csúcspontok leolvashatók: (–6; 1), (–1; 6), (4; – 4). A terület 37,5 területegység.

Kitűzött feladatok 4. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége 0,4, és átmegy az (5; – 1) ponton! Megoldás: y = mx + b ⇒ −1= 0,4⋅5 + b , ahonnan b = –3. Az egyenes egyenlete: y = 0,4x −3. 5. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik a tengelyeket az A és B pontokban metszi! a) A(3; 0), B(0; 6); b) A(–4; 0), B(0; 2); c) A(–6; 0), B(0; –5); d) A(3; 0), B(0; –5). Megoldás: a) 2x + y = 6 ; b) 2y = x + 4 ; c) 6y + 5x + 30 = 0 ; d) 5x − 3y = 15 . 6. Adott A(3; –4), B(–5; –4) és C(0; 2). Írd fel az ABC háromszög legrövidebb oldalának és a hozzá tartozó nevezetes vonalaknak (oldalfelező merőleges, magasság) az egyenleteit! Megoldás: A legrövidebb oldal az AC. Egyenlete: y = −2x + 2 , az oldalfelező merőleges: − x + 2y = −3,5, a magasságvonal: 2y = x − 3 .

Kitűzött feladatok 7. Adottak az A(–5; 4), B(1; 0) és C( 11; –6) pontok. Bizonyítsd be, hogy ez a három pont nem esik egy egyenesbe! Megoldás: Az AB egyenes egyenlete: 2x + 3y = 2 . A C koordinátái nem teszik igazzá az egyenletet. 8. Válaszd ki, hogy p mely értéke mellett illeszkedik az A(4, –2) pont az e :3x + py = 20 egyenesre! a) 4; b) – 0,5; c) 0,25; d) – 4; e) 0. Megoldás: d) – 4. 9. Melyik értéknél metszi az e :3x − 2y = p egyenes az y tengelyt, ha az egyenes átmegy az R(6; 7) ponton? a) 3; b) – 2; c) -3 ; d) 8 e) 2. Megoldás: b) – 2.

Kitűzött feladatok Móricka siet az összepakolással, ezért elfelejti becipzározni a tolltartóját. A tolltartójából minden kiesik, a kiesett dolgok a következő helyzetet veszik fel: a golyóstoll két pontjának koordinátája: A(4,2),valamint B(-7,7); a vonalzó koordinátája: C(4,-3); a ceruza egyik koordinátája D(4,5) és a radír pontjainak koordinátái: E(1,-6) és F(-1,-9). Határozd meg a vonalzó egyenletét, tudva hogy párhuzamos a golyóstollal, illetve a ceruza egyenletét, ismerve hogy merőleges a golyóstollra. Mennyi a golyóstoll és a radír szögének tangense, ha a hegyző merőleges a piros tollra (tudjuk, hogy a piros toll iránytényezője 0), tehát Mórickának van-e hegyzője?

Könyvészet Iskolába megoldott feladatok www.sulinet.hu