Bizonyítási stratégiák A => B Gyakran hosszú, bonyolult 3 stratégia: Szintézis Analízis Nem teljes analízis

Szintézis T:= tételek, axiómák, definíciók (A és T)=>A1 A1=>A2 ... An=B vagy An=>B Séma: A=>A1=>A2=>...=>An=>B

Elemzés Mesterkélt a kezdő lépés Miből induljunk ki? Mi következik egy feltételből?

Analízis (fordított irányú okoskodás)‏ B-hez keresünk B1 elégséges feltételt B1-hez keresünk B2 elégséges feltételt ... Bn=A vagy A=>Bn Séma: B<=B1<=B2<=...<=Bn<=A

Nem teljes analízis Séma: B=>B1=>B2=>...=>Bn, ahol Bn hamis állítás => B is hamis Bn nyilvánvalóan igaz állítás Bn=A Ezek szükséges feltételek Külön meg kell mutatni, hogy elégségesek is!

Analízis és szintézis A=>...=>Ai B<=...<=Bj Ai=Bj

Bizonyítási módszerek Direkt bizonyítás Teljes indukciós bizonyítás Indirekt bizonyítás

Teljes indukció 5. Peano axióma: Természetes számok minden M halmazára: ha 0M és ha egy Nn-nel együtt a rákövetkező természetes szám: n+1 is M-beli, akkor N=M. Bevezetése: dominóelv

Bizonyítás, nem ígéret! Három ígéretet teszek: Ki jár legjobban? Jánosnak: “Ma, holnap és még utána több napon át naponta adok neked 1 forintot.” Lacinak: “Ha egy nap adok neked 1 forintot, akkor a rákövetkező napon is köteles vagyok adni neked 1 forintot.” Pistának: “Ha egy nap adok neked 1 forintot, akkor a rákövetkező napon is köteles vagyok 1 forintot adni neked. Ma kapsz tőlem 1 forintot.” Ki jár legjobban?

Indirekt bizonyítások A => B bizonyítandó. Feltesszük, hogy B nem teljesül. (T és A és (nem B)) => (C és (nem C))‏ T és A igaz => (nem B) hamis => B igaz => A is és B is igaz => (A=>B) igaz.

Indirekt bizonyítások osztályozása Direkt kipróbálás (véges halmazokra)‏ Létezési állítások igazságának megmutatása (pl. skatulyaelv)‏ Hamisság megmutatása egy ellenpéldával Igazolás logikai következtetésekkel

Logikai következtetések Kontrapozíció: (A=>B)<=>((nem B)=>(nem A))‏ Fogalomazonosítás Kontrollmódszerek Dimenziópróba Szimmetriaelv függvénytulajdonságok

Logikai következtetések Reductio ad absurdum: bizonyítandó tagadása ellentmondás Ellentmondás az indirekt feltevésnek: ((nem A)=>A)=>A Példa: végtelen sok prímszám létezik Következtetés egy állításra és annak tagadására Ellentmondás a tétel feltételeinek Ellentmondás egy ismert tételnek, definíciónak, axiómának Elimináció módszere: ((A vagy B vagy C) és ((nem A) és (nem B)))=>C

Tanulói problémák Direkt, konstruktív gondolkodás Ellentmondás felismerése Tudatos stratégiaválasztás Heurisztikus stratégiák hiánya

Indirekt bizonyítások tanítása Alsó tagozaton is kell Feltétel és következmény világos megkülönböztetése Állítások tagadása