Tételek, bizonyítások tanítása Készítette: Harmath Zsolt Kovács Péter Norbert

Felfogások a bizonyításokkal kapcsolatban A 80-as években megváltozott a matematikáról alkotott merev felfogás A matematikai tartalom kihangsúlyozása a formalizmus helyett A matematikai nyelv jelentésaspektusa fontosabb a szimbolikus aspektusnál A gondolkodási folyamatok legalább olyan fontosakká váltak, mint az eredmények A bizonyítások elfogadása egy szociális folyamat

Felfogások a bizonyításokkal kapcsolatban Kalmár László (1986): „…az egzaktságnak nincs határa, nincs olyan precíz módon megfogalmazott definíció vagy tétel, amibe még precízebb álláspontról bele ne lehetne kötni.” Halmos Pál (1976): „A matematika legjellemzőbb tulajdonságai: egyszerűség, összefüggések szervezése, és mindenekelőtt logikai gondolkodási eljárás…”

Logikai alapkérdések Kijelentés: egy tény, jelenség, kapcsolat gondolati visszatükröződése, ami igaz, vagy hamis lehet. Pl.: az ABC háromszög derékszögű Predikátum (kijelentésforma): Olyan nyelvi képződmény, mely változót tartalmaz és a kijelentéshez hasonló formája van. Igazságértéke a változó behelyettesítésétől függően lehet igaz, vagy hamis. Pl.: 6x + 3 = 12

Logikai alapkérdések Műveletek kijelentések (A) és kijelentésformák között (A(x)): Negáció Konjunkció („és”) Diszjunkció („vagy”) Implikáció Ekvivalencia Kijelentések osztályozása: Egyedi kijelentés (állítás) Létezési kijelentés (létezik) Általános kijelentés (minden)

Logikai alapkérdések Következmény: Az A kijelentésformából következik a B kijelentésforma, ha minden olyan változóinterpretáció, amely A-t kielégíti, a B-t is kielégíti. Pl.: Pitagorasz tétele. Azaz a háromszög derékszögű voltából következik, hogy a befogók összege megegyezik az átfogó négyzetével.

Argumentációk, indoklások, bizonyítások Egy szélesebb értelemben vett bizonyítási fogalom Winter (1978) a következőket sorolja az argumentációk közé: Megállapodásokhoz való alkalmazkodás Általános állítások konkrét példákon való kipróbálása Indoklás, következtetés, bizonyítás Indoklások érvényességének vizsgálata Álbizonyítások felfedése Matematikai megfontolások jelentőségének értékelése

Pszichológiai kérdések A bizonyítási tevékenység feltételezi a következtetési képességet és az absztrakt fogalmakkal való műveletek végzését a tanuló részéről A formális szintig a gyermek gondolkodása fokozatosan „jut el”: Műveletek előtti szakasz Konkrét műveletek szakasza Formális műveletek szakasza (ált. 12-13 éves korban, azaz 6-7. osztályban áll át a gyerek) PREMATEMATIKAI bizonyítások (szemléletesség miatt)

Prematematikai bizonyítások Semadeni (1976) szerint egy prematematikai bizonyítás konkrét cselekvésekből áll: Konkrét fizikai cselekvések Tárgyakkal végzett cselekvések Képek rajzolása Ábra alapján történő okoskodás Interiorizációs folyamat (a cselekvés belső elvégzése) Általánosítás

Prematematikai bizonyítások Példák: Az első n természetes szám összege S = n(n+1)/2 (négyzetrácsos ábra) Háromszögszámok 1,3,6,10,… Négyzetszámok 1,4,9,16,… Trapézszámok 1,5,12,… T(n) = n^2 + n(n-1)/2 n-ik négyzetszám fölé helyezzük az (n-1)-ik háromszögszámot

Prematematikai bizonyítások T(n) (a trapézszámok) ugyanazt a maradékot adják 3-mal való osztásnál, mint n Szemléletes bizonyítás Formális bizonyítás A prematematikai bizonyításokat „példához kötött” bizonyításoknak is nevezik. Konkrét példán keresztül mutatja meg az állítás helyességét

Prematematikai bizonyítások Párhuzamos szelők tétele + bizonyítása Tétel: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik száron keletkezett szakaszok aránya megegyezik a másik száron keletkezett megfelelő szakaszok arányával. Bizonyítás (tetszőleges racionális arányra): Egyenlő szakaszoknak egyenlő szakaszok felelnek meg Egyik szakaszon az arány 1:2. A nagyobbik szakasz felezőpontján át az eredeti párhuzamos egyenesekkel párhuzamost húzok, így visszavezethető az előző pontban megfogalmazottakra 3:4-es arány esetében 3:4 részre osztjuk a szakaszt… p:q arány esetében p:q részre osztjuk a szakaszt…

Matematikai bizonyítási koncepciók „Korrekt lépések sorozat”-ának meghatározása Stein (1986): Matematikai-logikai elmélet szintje Az elmélet minden részletében rögzített, a matematikai világ a legkisebb részletekig meg van adva Matematikai elmélet szintje Az elmélet legfontosabbnak tartott részletei egyértelműen rögzítettek, ez a szint felel meg az egyetemi-főiskolai szintnek Lokálisan rendezett elmélet szintje Mindennapi okoskodások szintje

Matematikai bizonyítási koncepciók Lokálisan rendezett elmélet Egy bizonyítás vagy néhány bizonyítás láncolata áll előtérben Nyelve egy alapnak tekintett matematikai elmélet nyelvére támaszkodik Az állítások anyanyelven vannak megfogalmazva Axiómák Explicite nem adunk meg Implicite nézve minden olyan állítás axióma, melyet egy bizonyítás során felhasználunk, mivel tartalmilag nyilvánvalóak Definíciók Csak a feltétlenül szükséges fogalmakat definiáljuk Esetenként nem dönthető el, hogy egy szövegrész axióma-e, vagy tétel

Matematikai bizonyítási koncepciók Lokálisan rendezett elmélet Következtetési szabályok A logikailag korrekt következtetési szabályok mellett esetenként heurisztikus következtetési lépések is előfordulnak Néhány konkrét példa alapján egy nagyobb együttesre következtetünk (induktív következtetés) Bizonyítás Nincs konkrétan rögzítve Gyakran használ fel nem bizonyított segédtételeket Csak a lényeges lépéseket tartalmazza pontos formában

Példa egy lokálisan rendezett elméletre

Matematikai bizonyítási koncepciók Mindennapi okoskodások elmélete Az elmélet részletei nincsenek egyértelműen rögzítve, ezeket a kontextusból kell levonni (pl.: játékok) Nyelv: anyanyelv + kapcsolatos releváns fogalmak Axióma: csak hallgatólagos alapszabályok léteznek Definíciók lényegében nem fordulnak elő, a felhasznált fogalmak jelentését az alkalmazásból tudjuk kikövetkeztetni Következtetési szabályok: logikai és heurisztikus egyaránt Bizonyítás: nyelvi argumentációs láncok, melyek megfelelnek a probléma feltételeinek. Nem megengedettek azok, melyek a probléma feltételeit megszegik, illetve hamis feltételeket használnak fel. (pl.: sakk, dominó)

Bizonyítások tanítási fázisai Tételek megsejtése Bizonyítási ötletek megtalálása, bizonyítási módszerek, stratégiák alkalmazása Bizonyítás rögzítése, leírása, reflexió

Tételek megsejtését szolgáló eljárások Tételek megfordítása Analógia Általánosítás Indukció Számítási feladat megoldása, elemzése Szerkesztési feladat megoldása, elemzése Egy geometriai konfiguráció elemzése Algebrai tételek megsejtése és bizonyítása geometriai szemléltetés alapján

Tételek megfordítása „Ha A, akkor B” megfordítása a „ha B, akkor A” Pl.: „ha egy négyszög átlói felezik egymást, akkor paralelogramma” Megfordítva: „Ha egy négyszög paralelogramma, akkor átlói felezik egymást”

Tételek megfordítása Logikai négyszög Tétel A → B Tétel megfordítása B → A Tétel megfordításának kontrapozíciója ┐A → ┐B Tétel kontrapozíciója ┐B → ┐A

Tételek megfordítása Többfeltételes tételek megfordítása Ha egy természetes szám osztója egy összeg mindkét tagjának, akkor a természetes szám osztója az összegnek is (a|b és a|c) → a|(b+c) A tétel szerkezete: (F1 ^ F2) → K Három megfordítás: K → (F1 ^ F2) (F1 ^ K) → F2 (K ^ F2) → F1 Hamis, Igaz, Igaz Geometriai példa: egy kör átmérőjéhez tartozó minden kerületi szög derékszög

Analógia, analógiás következtetések Olyan gondolkodási művelet, amely alkalmazásakor két vagy több jelenségnek, dolognak bizonyos tulajdonságokban, viszonyokban, struktúrában való megegyezése alapján más tulajdonságban, viszonyban, struktúrában való megegyezésüket is sejtjük Példa: Téglalap – téglatest Téglalap minden oldala párhuzamos pontosan egy másik oldallal és merőleges a többi oldalra Téglatest minden lapja párhuzamos pontosan egy másik lappal és merőleges a többi lapra Háromszög – tetraéder

Analógia, analógiás következtetések Elvezethet igaz állításhoz, de esetenként hamis állításhoz is Háromszög – tetraéder súlyvonal (2:1, 3:1) igaz Háromszög – tetraéder magasságvonalai egyaránt egy pontban metszik egymást. Hamis ab = ba → a^b = b^a ab / cb = a/c → (a + b) / (c + b) = a / c Didaktikai megjegyzés: térben is használható síkgeometriai eljárások alkalmazása Egyenlő szárú háromszög alapjának tetszőleges pontjából merőlegeseket bocsátunk a szárakra. Ezen szakaszok összege állandó… Gúlára alkalmazni!

Általánosítás Olyan művelet, mely egy szűkebb osztály elemeire vonatkozó összefüggést analógiás következtetés segítségével átvisz egy ezen osztályt tartalmazó tágabb osztály elemeire Pl.: Pitagorasz-tétel → Cosinus tétel Thalész-tétel → Kerületi és középponti szögek tétele Rolle tétele → Differenciálszámítás középértéktétele 9-cel való oszthatóság → a alapú számrendszerben (a-1)-gyel való oszthatóság Nem mindig igaz! Abból, hogy a másod-, harmad- és negyedfokú egyenleteknek van megoldóképlet még nem következik, hogy tetszőleges n-ed fokú egyenlethez is létezik

Indukció Az adott osztály megvizsgált elemei alapján szerzett ismereteket kiterjesztjük a szóban forgó osztály még meg nem vizsgált elemeinek mindegyikére Pl.: 1 / 1*2 + 1 / 2*3 +…+1 / n*(n-1) = ? Sejtés: = n-1 / n

Tételek és bizonyítási ötletek megsejtése egy számolási példa alapján Két fázis: I.: a konkrét számolási feladat elvégzése II.: általános összefüggés megsejtése a konkrét számok változókkal való felcserélése révén Példák: Cosinus tétel Thalész tétel Kerületi és középponti szögek tétele Másodfokú egyenlet megoldóképletének levezetése

Tételek megsejtése és bizonyítási ötlet megtalálása egy szerkesztési feladat megoldása, elemzése révén I. fázis: a tanulók egy szerkesztési feladatot oldanak meg és indokolják a szerkesztés helyességét II. fázis: egy kiegészítő szerkesztés segítségével megsejtik a tételt és belátják a tétel érvényességét Példa: a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást Súlyvonaltétel Befogótétel

Tétel megsejtése és bizonyítási ötlet megtalálása egy adott geometriai konfiguráció elemzése alapján I. fázis: a tanulók segítséggel (tanár, könyv…) megrajzolnak (nem szerkesztenek) egy geometriai ábrát II: fázis: Az ábra elemzése alapján a tanulók felfedezik a kívánt tételt ls annak bizonyítását Példa: Húrnégyszögtétel Húrtétel

Algebrai tételek és bizonyítási ötletek megsejtése geometriai szemléltetés segítségével A geometriai modell izomorf legyen az eredeti szituációval Példák megfeleltetésekre: Pozitív valós számok → adott hosszúságú szakaszok Pozitív egész számok → megfelelő számú rácsnégyzet Két valós pozitív szám (a és b) szorzata → a ill. b oldalú téglalap területe Példák: Kéttagú összeg négyzete Két pozitív szám számtani és mértani közepe közötti összefüggés

Bizonyítási stratégiák Szintézis Célirányos okoskodás Analízis Fordított irányú okoskodás Nem teljes analízis

Bizonyítási módszerek Az iskolai gyakorlatban előforduló módszerek: Direkt bizonyítások Teljes indukciós bizonyítások Indirekt bizonyítások Teljes indukció A teljes indukció elvének bevezetése (dominó-elv) A teljes indukció elvének alkalmazása Indirekt argumentációk, indoklások, bizonyítások

Bizonyítási módszerek I.: Indirekt argumentációk, indoklások, bizonyítások csoportosítása: Direkt kipróbálás Létezési állítások igazságának megmutatása Általános állítás hamisságának megmutatása egy ellenpélda segítségével Általános állítás igazságának, létezési állítás hamisságának igazolása logikai következtetések segítségével

Bizonyítási módszerek II.: Reductio ad absurdum Ellentmondás az indirekt feltevésnek Következtetés egy állításra és annak tagadására Ellentmondás a tétel feltételének Ellentmondás egy ismert tételnek, definíciónak, axiómának III.: Elimináció módszere

Bizonyítási módszerek Tanulói problémák az indirekt bizonyításokkal kapcsolatban Javaslatok az indirekt bizonyítások tanításával kapcsolatban Feladattípusok a bizonyítások tanításával kapcsolatban

Köszönjük a figyelmet!