Dominók és kombinatorika Hajnal Péter SZTE, Bolyai Intézet

A szereplők Dominó

A szereplők Dominó Tábla

A szereplők Dominó Tábla Mezők, szomszédság (4-szomszédság)

A szereplők Dominó Tábla Fedés

Lefedhető-e? ALAPPROBLÉMA: Adott T tábla. Lefedhető-e?

Lefedhető-e? 0. Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal?

Lefedhető-e? 0. Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal? NEM Fedés esetén páros sok mezőnek kell lenni.

Lefedhető-e? 0.5 Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal?

Lefedhető-e? 0.5 Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal? NEM A két fekete mezőnek egy szomszédja van.

Lefedhető-e? 1. Feladat: Egy sakktábla két átellenes sarokmezőjét elhagyjuk. Lefedhető-e a maradék tábla dominókkal?

Lefedhető-e? 1. Feladat: Egy sakktábla két átellenes sarokmezőjét elhagyjuk. Lefedhető-e a maradék tábla dominókkal?

Lefedhető-e? 1. Feladat: Egy sakktábla két átellenes sarokmezőjét elhagyjuk. Lefedhető-e a maradék tábla dominókkal? NEM Minden dominó egy fehér és egy fekete mezőt fed le. 32 fekete és 30 fehér mezőnk van.

Lefedhető-e? NEM 32 fekete mezőnknek a szomszédsága 30 fehér mező. 1. Feladat: Egy sakktábla két átellenes sarokmezőjét elhagyjuk. Lefedhető-e a maradék tábla dominókkal? NEM 32 fekete mezőnknek a szomszédsága 30 fehér mező.

Lefedhető-e? Tétel: Egy tábla akkor és csak akkor nem fedhető le dominókkal, ha valamelyik színben kijelölhető néhány mező úgy, hogy szomszédainak száma kevesebb legyen mint a kijelölt mezők száma.

Lefedhető-e? Probléma: Adott tábla lefedhető-e dominókkal? Válasz: NEM Bizonyítási séma: Adjunk meg valahány azonos színű mezőt úgy, hogy szomszédaik kevesebben legyenek mint ők maguk. Tétel: A fenti séma egy teljes séma.

Lefedhető-e? Adott egy T tábla. Lefedhető-e? IGEN Hány fedés van? NEM Maximum hány dominó rakható le?

Lerakható dominók maximális száma 2. Feladat: Maximum hány dominó rakható le az alábbi táblára?

Lerakható dominók maximális száma 16 dominó könnyen larakható:

Lerakható dominók maximális száma 16 fekete, 24 fehér mező. Minden dominó 1 fekete mezőt fed le. Maximum 16 dominó rakható le.

Lerakható dominók maximális száma 3. Feladat: Maximum hány dominó rakható le az alábbi táblára?

Lerakható dominók maximális száma 7 dominó könnyen lerakható:

Lerakható dominók maximális száma 8 fekete mezőt, 3 fehér szomszéddal jelöltünk be. A bejelölt 8 fekete mezőből legfeljebb 3 lehet fedve.

Lerakható dominók maximális száma 8 fekete mezőt, 3 fehér szomszéddal jelöltünk be. A bejelölt 8 fekete mezőből legfeljebb 3 lehet fedve. Legalább 5 fekete mező fedetlen.

Lerakható dominók maximális száma 6 fehér mezőt, 2 fekete szomszéddal jelöltünk be. A bejelölt 6 fehér mezőből legfeljebb 2 lehet fedve. Legalább 4 fehér mező fedetlen.

Lerakható dominók maximális száma Összesen 12 fekete és 11 fehér mező: Legfeljebb 12-5=11-4=7 dominó rakható le.

Lerakható dominók maximális száma Probléma: Adott T tábla. Maximum hány dominó rakható le? Válasz: k

Lerakható dominók maximális száma Probléma: Adott T tábla. Maximum hány dominó rakható le? Válasz: k I. séma: Mutassunk fel egy M dominó lerakást, amelyben k dominó szerepel. Legyen d az M által lefedetlen fekete mezők száma.

Lerakható dominók maximális száma Probléma: Adott T tábla. Maximum hány dominó rakható le? Válasz: k I. séma: Mutassunk fel egy M dominó lerakást, amelyben k dominó szerepel. II. séma: Adjunk meg s+d fekete színű mezőt úgy, hogy s szomszédja legyen.

Lerakható dominók maximális száma Probléma: Adott T tábla. Maximum hány dominó rakható le? Válasz: k I. séma: Mutassunk fel egy M dominó lerakást, amelyben k dominó szerepel. II. séma: Adjunk meg s+d fekete színű mezőt úgy, hogy s szomszédja legyen. Tétel: Ez egy teljes séma.

Hányféleképpen fedhető le? 4. Feladat: Az alábbi tábla hányféleképpen fedhető le dominókkal? Válasz=V(tábla oszlopainak száma) V(16)=?

Hányféleképpen fedhető le? Első fajta indulás: V(n-1)-féle befejezés.

Hányféleképpen fedhető le? Első fajta indulás: V(n-1)-féle befejezés. Második fajta indulás: V(n-2)-féle befejezés.

Hányféleképpen fedhető le? Kaptuk: V(n)=V(n-1)+V(n-2).

Hányféleképpen fedhető le? Kaptuk: V(n)=V(n-1)+V(n-2). Egyszerű: V(0)=1, V(1)=1, V(2)=2.

Hányféleképpen fedhető le? Kaptuk: V(n)=V(n-1)+V(n-2). Egyszerű: V(0)=1, V(1)=1, V(2)=2. Teljes indukció: V(n)= Fibonacci-számok.

Hányféleképpen fedhető le? 5. Feladat: Az alábbi tábla hányféleképpen fedhető le dominókkal? Válasz=V’(tábla oszlopainak száma) V’(16)=? V’(2k+1)=0, V’(2k)=?

Hányféleképpen fedhető le? Lehetséges kezdések: …

Hányféleképpen fedhető le? V’(n)=3V’(n-2)+2V’(n-4)+2V’(n-6)+2V’(n-8)+... V’(n-2)= 3V’(n-4)+2V’(n-6)+2V’(n-8)+… V’(n)-V’(n-2)=3V’(n-2)-V’(n-4) V’(n)=4V’(n-2)-V’(n-4) Könnyen számolható: V’(0)=1,V’(2)=3, V’(4)=11

Hányféleképpen fedhető le? 6. Feladat Bizonyítsuk be, hogy V’(16) páratlan.

Hányféleképpen fedhető le?

Hányféleképpen fedhető le?

Hányféleképpen fedhető le? Egy tábla típus:

Hányféleképpen fedhető le? Azték gyémánt, AGy(n): n

Hányféleképpen fedhető le? Azték gyémánt, AGy(n): Kék mezők száma: n =n(n-1)/2 Összes mezők száma: 4 n

Hányféleképpen fedhető le? AGy(2) fedései:

Hányféleképpen fedhető le? Tétel: n AGy(n) fedéseinek száma 2 .

Hányféleképpen fedhető le? Egy tábla típus: N(2n)

Hányféleképpen fedhető le? Tétel: N(2n)-nek fedése van.

A fedések összessége 7. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy N(2n) minden fedésében van két szomszédos dominó:

A fedések összessége 7. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy N(2n) minden fedésében van két szomszédos dominó: 7.5 Feladat: Bizonyítsuk be, hogy AGy(n) minden fedésében van két szomszédos dominó.

A fedések összessége Bizonyítás: N(6) ?

A fedések összessége ?

A fedések összessége ?

A fedések összessége ?

A fedések összessége

A fedések összessége Lemma: N(2n) minden fedésében van két szomszédos dominó: Lemma: AGy(n) minden fedésében van két szomszédos dominó. Szomszédos dominók=Csavarás a fedésben.

A fedések összessége

A fedések összessége

A fedések összessége

A fedések összessége AGy(2) gráfja:

A fedések összessége AGy(2) gráfja: Tétel: AGy(n) és N(2n) gráfja összefüggő.

Tábla telítése Tábla: Telített tábla: további dominó nem rakható le.

Tábla telítése Tábla: Telített tábla: további dominó nem rakható le.

Tábla telítése Tábla: Telített tábla: további dominó nem rakható le. Mi a minimális számú dominó, ami a telítéshez szükséges?

Tábla telítése 8. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy a 6x6-os táblán bárhogy elhelyezünk 11 dominót lesz hely egy továbbinak is.

Tábla telítése Megjegyzés: A 6x6-os tábla telíthető 12 dominóval:

Tábla telítése Megoldás: INDIREKT 11 dominó=14 üres mező

Tábla telítése Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik alatt egy dominó.

Tábla telítése Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik alatt egy dominó. Ezek különbözőek.

Tábla telítése Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik alatt egy dominó. Ezek különbözőek. x≤11.

Tábla telítése Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik alatt egy dominó. Ezek különbözőek. A legalsó sorban legalább 3 üres mező.

Tábla telítése Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik alatt egy dominó. Ezek különbözőek. A legalsó sorban pontosan 3 üres mező.

Tábla telítése Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik alatt egy dominó. Ezek különbözőek. A legalsó sorban pontosan 3 üres mező.

Tábla telítése Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik alatt egy dominó. Ezek különbözőek. A legalsó sorban pontosan 3 üres mező.

Tábla telítése Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik alatt egy dominó. Ezek különbözőek. A legalsó sorban pontosan 3 üres mező.

Tábla telítése Az alsó féltáblán legalább 6=5+0,5+0,5 dominó. Az felső féltáblán legalább 6 dominó. Ellentmondás.

Tábla telítése Jóval NEHEZEBB feladat: Mi a helyzet n x n-es táblával?

Dominó lerakás javítása Telítésnél addig rakunk le dominókat, amíg két szomszédos üres mezőt találunk.

Dominó lerakás javítása Telítésnél addig rakunk le dominókat, amíg két szomszédos üres mezőt találunk. Triviális javítás: két szomszédos üres mezőre egy új dominó lerakása.

Dominó lerakás javítása Telítésnél addig rakunk le dominókat, amíg két szomszédos üres mezőt találunk. Triviális javítás: két szomszédos üres mezőre egy új dominó lerakása. Telítés: triviális javításokat végzünk, amíg lehet.

Dominó lerakás javítása Dominó kígyó:

Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél és farkánál is üres mező van:

Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél és farkánál is üres mező van:

Dominó lerakás javítása Kígyó javítás: Szükséges két üres mező, köztük egy dominó kígyó. A dominó kígyó ”megeszi” a fejénél lévő üres mezőt, ezzel helyet csinál a farkánál egy új dominónak.

Dominó lerakás javítása Kígyó javítás: Szükséges két üres mező, köztük egy dominó kígyó. A dominó kígyó ”megeszi” a fejénél lévő üres mezőt, ezzel helyet csinál a farkánál egy új dominónak. Tétel: Ez egy univerzális javítási technika.

Dominó lerakás javítása 9. Feladat: Bizonyítsuk be, ha a 6 x 6-os sakktábla bármely két különböző színű mezőjét elvesszük, a maradék tábla lefedhető dominókkal.

Dominó lerakás javítása Megoldás: Vegyük a következő fedést: Egy önmaga farkába harapó kígyó.

Dominó lerakás javítása Vegyük a két kiüresítendő mezőt. Meghatá- roznak egy részkígyót: A részkígyó fejét és farkát kell kiüríteni.

Dominó lerakás javítása Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:

Dominó lerakás javítása Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:

Dominó lerakás javítása Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:

Dominó lerakás javítása Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:

Dominó lerakás javítása Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:

Dominó lerakás javítása Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:

Dominó lerakás javítása Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:

Dominó lerakás javítása Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:

Dominó lerakás javítása Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:

Dominó lerakás javítása Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:

Dominó lerakás javítása Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot: