DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

Függvénygörbék jellemzői Az f(x) függvény egy [a;b] intervallumban alulról konvex (alulról konkáv), ha ott értelmezve van, és az intervallum minden a < x1 < x2 < b pontjára a függvény grafikonja az (x1 ; f(x1 )) és az az (x2 ; f(x2 )) pontokat összekötő szakasz alatt ( szakasz fölött )halad. A függvénygörbe az [a;b] intervallumban alulról konvex, a [b;c] intervallumban alulról konkáv

Görbék érintői Görbék meredeksége, az érintő szemléletes fogalma A lineáris függvény meredekség: az irányszög tangense, m= tgα ha tgα > 0, a fv. szig.mon. növekvő ha tgα < 0, a fv. szig.mon. csökkenő ha tgα = 0, a fv. állandó

Görbék érintői 2. Az érintő fogalma Az érintőnek a görbével „egyetlen közös pontja ” van Az érintő definícióját nyilvánvalóan másképpen kell megadni

3. Az érintő értelmezése - Legyen az f(x) függvény mindenütt folytonos. - Rögzítsünk a függvénygörbén egy P pontot és egy a P-től különböző tetszőleges Q (vagy Q* ) pontot. - Mozgassuk a Q (vagy Q* ) pontot a P pont felé, ekkor a PQ (vagy PQ* ) szelő egy „határhelyzethez”, egy e egyeneshez közeledik, amely áthalad a P ponton - Ezt a közös e egyenest a függvénygörbe P pontbeli érintőjének nevezzük

A parabola érintője Feladat: Határozzuk meg az y = x2 egyenletű parabola P(2;4) pontjában a parabola érintőjét! Legyen Q (x ; x2) tetszőleges pont A PQ szelők iránytangense: Ha Q* (-1 ; 1) tetszőleges pont A PQ* szelő iránytangense:

A parabola érintője Az y = x2 egyenletű parabola P(2;4) pontjában az érintő iránytangensét az m (x) függvény x = 2 helyen vett határértékével definiálhatjuk: A P pontban az érintő egyenlete: P(2;4) Az érintő egyenlete:

Differencia- és differenciálhányados Definíció: Az f(x) függvény x0 ponthoz tartozó differenciahányadosán az hányadost értjük. Ha a differenciahányadosnak az x0 pontban van határértéke, akkor ezt a határértéket az f(x) függvény x0 pontbeli differenciálhányadosának vagy deriváltjának nevezzük. Ekkor azt mondjuk, hogy az f(x) függvény az x0 pontban differenciálható vagy deriválható. Megjegyzés: Az f(x) függvény az ]a;b[ intervallumban deriválható, ha az intervallum minden x0 pontjában teljesül a deriválhatóság.

Differencia- és differenciálhányados Szemléletes jelentés: Differenciahányados matematikában fizikában a grafikon x0 és x pontját összekötő szelő iránytangense s(t) út-idő függvény esetén az átlagsebesség Differenciálhányados matematikában fizikában a grafikon x0 pontjában húzott érintő iránytangense s(t) út-idő függvény esetén a pillanatnyi sebesség

Tétel: Ha az f(x) függvény x0 pontban deriválható, akkor ott folytonos is. Ebből következik, hogy a folytonosság a differenciálhatóság szükséges feltétele. A folytonosság azonban nem elégséges feltétel ahhoz, hogy az f(x) függvény valamely pontban differenciálható legyen. Pl: pontban folytonos nem létezik, tehát az f(x) nem differenciálható

A függvény deriváltja Feladat: Igazoljuk, hogy az függvény mindenütt differenciálható! A tetszőleges de rögzített x0 ponthoz tartozó differenciahányados: A differenciahányados határértéke az x0 pontban: Mivel x0 az értelmezési tartomány tetszőleges eleme, ezért az f(x) függvény mindenütt differenciálható. A tetszőleges x pontban a differenciálhányados: 2x

A függvény deriváltja Definíció: Azt a függvényt, amely megadja, hogy a változó egyes értékeihez mely derivált tartozik, az f(x) függvény deriváltfüggvényének vagy röviden deriváltjának nevezzük. Jelölés: Pl:

Deriválási szabályok 1. A konstans függvény deriváltja Legyen x0 tetszőleges pont: 2. Az elsőfokú függvény deriváltja

Deriválási szabályok 3. Az függvény deriváltja Legyen x0 tetszőleges pont: 4. A hatványfüggvény deriváltja

Deriválási szabályok 5. Az függvény deriváltja Legyen x0 tetszőleges pont:

Deriválási szabályok Felhasználhatjuk, azt is hogy: 6. Az függvény deriváltja

Deriválási szabályok 7. Az függvény deriváltja Például:

Deriválási szabályok 8. A szinusz- és koszinuszfüggvény deriváltja Bebizonyítható, hogy:

Deriválási szabályok Tétel: Feltételezzük, hogy az f(x) és g(x) függvények x0  [a;b] pontban differenciálhatók, akkor függvények is differenciálhatók az x0  [a;b] pontban. Bebizonyítható, hogy:

Deriválási szabályok A szorzatfüggvény deriváltja Feltételezzük, hogy az f(x) és g(x) függvények mindenütt differenciálhatók. Határozzuk meg a függvény deriváltját! A számlálóhoz adjuk hozzá és vonjuk ki az szorzatot:

Deriválási szabályok

Deriválási szabályok Például:

Deriválási szabályok A hányadosfüggvény deriváltja Feltételezzük, hogy az f(x) és g(x) függvények mindenütt differenciálhatók. A h(x) függvény deriválását visszavezethetjük a szorzatfüggvény deriválására, ugyanis Bebizonyítható, hogy

Deriválási szabályok Például: 1. 2.

Deriválási szabályok Az összetett függvény deriváltja Bebizonyítható, hogy Ha a g függvény deriválható az x0 helyen, és az f függvény deriválható a g( x0 ) helyen, akkor az f [g(x)] összetett függvény is deriválható az x0 helyen, és a deriváltja: Ha az x0 az értelmezési tartomány tetszőleges helye:

Deriválási szabályok Például: