Babiloni matematika Jutasi Szilvia Infotanár MA

Babiloni matematika Babilóniai matematika alatt azt a rendszert értjük, melyet Mezopotámiában (mai Irak területe) használtak a korai sumerektől a hellenisztikus kor kezdetéig. Azért nevezik babilóniai matematikának, mert Babilonnak, mint tudományos központnak központi szerepe volt benne, ezt a szerepét azonban a hellenisztikus korban elvesztette.

Babiloni matematika Ekkortól kezdve a babilóniai matematika egyesült a görög és egyiptomi rendszerekkel, amely a hellenisztikus matematika kialakulásához vezetett. Később az arab birodalom uralma alatt Mezopotámia, különösképpen Bagdad ismét fontos szerepet kapott, mint a muzulmán matematika tudományos központja.

Babiloni matematika Az első helyiértékes számírás emlékeit Mezopotámiában és annak fővárosában, Babilonban találták meg. Ezek kb. 4000 éves (Kr. e. 2000 körül) agyagtáblák.

Babiloni matematika Kr. e. 1900 és 1600 között készítették az emberiség egyik legősibb számelméleti dokumentumát, a Plimpton 322 néven is ismertté vált babiloni agyagtáblát. Ezen megtalálható egy sor ún. Pitagoraszi számhármas, jóval Pitagorasz előtt.

Babiloni matematika Ezeken az agyagtáblákon a 60-as számrendszer fedezhető fel. A 60-as számrendszer nyomait ma is megtalálhatjuk, hiszen az idő illetve a szög fokban történő mérésénél 60 a váltószám. 1 óra = 60 perc, 1 perc = 60 másodperc

Babiloni matematika A babiloniak az első kilenc számjegyet megfelelő számú vonással jelölték (ék). A 10-re külön jelük volt (sarokpánt), annak ismétlésével írták le a 20-at, 30-at, 40-et és 50-et. A 60 jelölésére újból az 1-es jelét használták (helyiérték!).

Babiloni matematika A 60-as számrendszerben dolgoztak, de nem volt 60 különböző számjegyük, ahogy azt az ember elsőre elvárná. A babiloniak nem használták a nullát, így aztán leírva pl. az 1 és a 60 ugyanúgy nézett ki. Csak a szövegkörnyezetből lehetett következtetni rá, hogy pontosan melyikről van szó.

Babiloni számok 1től 59ig

Agyagtáblák A babiloniak nádpálcával puha agyagtáblákba írtak, majd azt kiégették. A pálca alakja okozza az ékírás jellegzetes formáját.

A babiloni táblázatok: Plimpton 322 A babiloniak a táblázatok megszállottjai voltak. Az egyik tábla, amelyet megfejtettek rendkívüli. Ez a tábla a Columbiai Egyetem múzeumának birtokában van.

Plimpton 322 Nincs rajta semmi más, csak 15 számhármas. Mindegyik számhármasra igaz, hogy az első szám négyzetszám, és megegyezik a másik kettő összegével, amelyek maguk is négyzetszámok – azaz a tábla tizenöt pitagoraszi számhármast tartalmaz.

Pitagoraszi számhármasok (néhány) 5 3 4 13 12 25 7 24 17 8 15 41 9 40 61 11 60 37 35 85 84 65 16 63 29 20 21 53 28 45 33 56 36 77 89 39 80 97 72

Négyzetgyök 2 Az 1-nél kisebb helyiértékeket is használták, „hatvanados” törteket írtak. Így maradt fent a értéke: 1·600+24·60-1+51·60-2+10·60-3 alakban, 4 tizedesjegy pontossággal (1,4142):

Négyzetgyök 2 A Yale egyetemen található 7289-es agyagtábla jegyzetekkel

Négyzetgyök 2 A gyökvonás elvégzésére egyébként a numerikus matematikában ma is használt iterációs eljárást alkalmazták: legyen a0 a első, tetszőleges közelítése (akár 1-et is vehetünk), minden további közelítést pedig az előzőből a fenti képlet szerint számolták. Ez az eljárás meglepően gyorsan konvergál: ha pl. a0=1-ből indulunk, akkor a1=1,5 és a2=1,415...

Babiloni táblázatok Szorzótábla Az osztást reciprokkal történő szorzással végezték. Számolásaik megkönnyítésére különböző táblázatokat használtak. Volt szorzó és reciprok táblázatuk, sőt négyzet, köb és négyzetgyök táblázatuk is. Szorzótábla

Egyenletek A régészeti leletek azt mutatják, hogy már ismerték az első és másodfokú egyenletek megoldását, sőt oldottak meg harmadfokú egyenletet is. Egy általuk megoldott akkori időből származó feladat: Két négyzet területének összeg 1000. Az egyik négyzet oldala a másik oldalának kétharmadánál tízzel kisebb. Mekkorák a négyzet oldalai? Ennek a feladatnak a megoldása során a 13x2-120x-8100=0 másodfokú egyenlethez jutunk.

Pitagorasz tétele Ismerték és bizonyítani is tudták a Pitagorasz tételt. A babiloni matematika közvetlenül is nagy hatással volt az ókori görög matematikusokra, elsősorban Thalész-ra és Pitagorasz-ra, valamint a hindu matematikára is.

Pitagorasz tételének egy bizonyítását is a babiloniakhoz kötik: Ha mindkét ábráról elhagyjuk a négy-négy egybevágó háromszöget, a maradék idomok területe megegyezik. a2+b2=c2 a b c

Háromszögek Ismerték a háromszögek hasonlóságát Az írásos emlékekből tudjuk, hogy geometriai ismereteik meglepően fejlettek voltak, de ezek elsősorban a gyakorlati életet szolgálták.

Kamatszámítás I.e. 600-as évekből származó leleteken kamatszámítási feladatokat találtak, tehát ismerték a százalékszámítást.

Babiloni matematika Összefoglalva: A babiloniak két legnagyobb, máig élő hozzájárulása a matematikához a 60-as számrendszer és a helyiérték bevezetése.

Felhasznált irodalom http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2591&pf=1 http://www.bethlen.hu/matek/Mathist/Forras/Babiloni_matematika.htm http://people.inf.elte.hu/nejnabi/haromszogek.ppt