LOGIKA ÉS SZÁMÉTÁSELMÉLET Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi

A MATEMATIKAI LOGIKA ALKALMAZÁSSZEMLÉLETŰ TÁRGYALÁSA TECHNIKAI ADATOK Elérehetőség: aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/ szilagyi@aszt.inf.elte.hu Fogadó óra: hétfő 10-12 2.620 szoba Jegyzet: Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda: A MATEMATIKAI LOGIKA ALKALMAZÁSSZEMLÉLETŰ TÁRGYALÁSA

KÖVETELMÉNYEK Előadás: Gyakorlat: 1. Tesztsor - sok kérdés, 2-esért ki lehet hamarabb szállni 2. Szóbeli vizsga Gyakorlat: 2 zh (logika, számelmélet) A vizsgák előfeltétele a gyakorlati jegy megszerzése. A gyakorlatok látogatása kötelező. 3 igazolatlan hiányzás esetén a gyakorlati jegy megszerzése nem lehetséges.

Az emberi gondolkodás vizsgálata A TANTÁRGY TÉMÁJA Az emberi gondolkodás vizsgálata A logika a következtetés, a bizonyítás, és az érvelés tudománya Gondolkodási formák a természetes nyelvben a filozófiában matematikában (naiv logika) a matematikai logikában

A MATEMATIKAI LOGIKA A szaktudományok feladata a valóság egy- egy területének megfigyelése, adatgyűjtés (tények, állítások formájában), és következtetések levonása. A matematikai logika Formalizálja azt a nyelvet, amin a matematikai állításokat megfogalmazzuk Szabályokat állít fel, hogy az állításokból új állításokra következtessünk Állításformákat elemez Bizonyítási módszereket fejleszt ki

TEMATIKA Bevezetés A 0. rendű logika (Itéletkalkulus) Szintaxis Szemantika 0. rendű logikai törvények Szemantikus következmény Normálformák Szintaktikus megközelítés (Bizonyításelmélet, Rezolúció) Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus) 1. rendű logikai törvények

A LOGIKA TÖRTÉNETE A logika története három nagy korszakból áll: Ókori görög logika (i.e. 4-3. század) Késő középkori logika (13-14. század) Modern logika (19. századtól napjainkig) A középkorban leginkább a nyelv és a valóság kapcsolatát vizsgálják, míg a modern kori logika leginkább a matematikához kapcsolódik. A legbiztosabb tudás forrása a tapasztalat, de a tudásnak a túlnyomó része nem ebből származik. A következtetés azt jelenti, hogy tudok bizonyos dolgokat, és ezek miatt következtetünk új ismeretekre. Jól megalapozott tudás és helyes következtetés eredményeképpen új jó tudáshoz jutunk. A logika története ott kezdődik, ahol elkezdenek gondolkodni a helyes következtetési formákról.

A LOGIKA TÖRTÉNETE Görög filozófia: Parmenidésznél (i.e. 6. század) találkozunk az első érveléssel egy verses költemény formájában. Zénónhoz (i.e. 5. század) köthetjük az apóriákat, vagyis az olyan érveket amelyekből nincs kiút. Ezek az érvek többségében a mozgáshoz kapcsolódnak: Akhilleusz és a teknős: Akhilleusz és a teknős versenyeznek, a teknős kap egy méter előnyt. Ekkor Akhilleusz sosem éri utol a teknőst, hiszen először megtesz egy métert,de addigra a teknős odébbmegy, ledolgozza ismét a hátrányát, de addigra a teknős ismét odébbmegy, és így tovább a végtelenségig.

A LOGIKA TÖRTÉNETE Szofisták i.e. 5. században jelentek meg, akik pénzért tanítanak. Érvekkel foglalkoznak,és az a jó szofista, aki a vitában felül marad. Szabályokat alkotnak, és szabályos vitákat tartanak. Összetett állításokkal is foglalkoznak. Szókratész (480-399) fellépett ellenük, mert úgy gondolta, hogy a beszélgetés célja az igazság, nem pedig a haszonszerzés. Az igazsághoz nem fűződhet érdek.

BONYOLULT LOGIKAI ÁLLLITÁSOK ANALIZISÉVEL LÁTJA BE AZOK IGAZSÁGÁT. A LOGIKA TÖRTÉNETE Arisztotelész (i.e 4. század) – kategórikus szillogizmus ‚Csak azért, mert bizonyos dolgokat tudok, új dolgokat tudhatok meg következtetéssel.’ Állítások (csak egyszerűekkel foglalkozik): Pl.: a(E,H) : Minden ami E, az H. x(E(x)  H(x)) Következtetési szabályok: Pl.: Barbara: a(E,H), a(G,E) a (G,H) Ha minden ember (E) halandó (H), és minden görög (G) ember (E), akkor az összes görög (G) halandó (H). BONYOLULT LOGIKAI ÁLLLITÁSOK ANALIZISÉVEL LÁTJA BE AZOK IGAZSÁGÁT.

A LOGIKA TÖRTÉNETE Sztoikusok (i.e 2. század) Nem ragaszkodtak a kategorikus állításokhoz. Pl.: Minden ember halandó. x(E(x)  H(x)) János ember. E(János) János halandó. H(János)

A LOGIKA TÖRTÉNETE Eukleidesz (i.e 4. század) – szintézis, a geometria atyja Alapfelvetésekből (axiómák) kiindulva logikai eszközökkel bonyolult állításokat bizonyított be. Ugyanazon dologgal egyenlő dolgok egymással is egyenlők. Ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk hozzá, akkor egyenlőket kapunk. Két egyenes nem fog közre területet. Párhuzamossági axióma: Bármely egyeneshez, bármely rajta kívül fekvő ponton át legfeljebb egy olyan egyenes fektethető a síkon, amelynek az adott egyenessel nincs közös pontja. –független a többitől Lobacsevszkij, Bolyai, Gauss : a párhuzamossági axióma tagadása alapján egy új geometriát építettek fel: hiperbolikus geometriát

A LOGIKA TÖRTÉNETE Eredmények (17. század és utána): Egy axiómarendszerrel szemben azok a legfontosabb követelések merültek fel, hogy legyen Ellentmondásmentes (konzisztens): levezethető-e egy állítás és annak tagadása is teljes: minden állítást vagy igazolni, vagy cáfolni lehessen eldönthetőség: az elmélet bármely állításáról eldönthető, hogy levezethető-e vagy sem Eredmények (17. század és utána): Leibniz: automatikus tételbizonyítás megalapozása Tarski: Az elemi geometria eldönthető Zermelo-Fraenkel féle halmazelméletben a Kiválasztási axióma sem nem bizonyítható, sem nem cáfolható Kurt Gödel nemteljességi tételei: minden elég erős formális elméletben van eldönthetetlen állítás formális elmélet nem tudja igazolni a saját konzisztenciáját. Church és Turing egymástól függetlenül: Negatív válasz az eldönthetőségi problémára G. Boole: algebrai módszerekkel vizsgálta a logikát De Morgan: a matematika különböző területeinek logikai megalapozása Ezek a tételek azt is jelentik, hogy a logika kevés ahhoz, hogy minden tudáshoz keretet adjon.

ALKALMAZÁSI TERÜLETEK Elektronikus berendezések tervezése és analizálása: itéletkalkulus, többértékű logika Titkosítás: Bool függvények elmélete Adatbázis kezelés Programozás elmélet Bonyolultságelmélet Párhuzamos és konkurens rendszere Számítástudomány Logikai programozás Mesterséges Intelligencia Egyéb alkalmazások: magasabb rendű logikák, típuselméleti logika, fuzzy logika, stb.

ELŐKÉSZITÉS: FORMÁLIS NYELV Logika (és a matematikai logika) tárgya az emberi gondolkodás vizsgálata. A gondolkodás fontos része a mindennapi életnek. A gondolkodás fontos része bármely (humán- vagy természet-) tudománynak Minden tudomány az eredményeit szóban és írásban is megfogalmazza A félreértések elkerülése végett egy formális nyelvet dolgoztak ki, mely a köznapi nyelvnek csak a fontos elemeit tartalmazza NYELV=ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA

ELŐKÉSZITÉS: FORMÁLIS NYELV NYELV=ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA ABC:Szimbólumok tetszőleges nemüres halmaza Pl.: V={0,1} Szavak: Egy abc elemeiből álló véges sorozat Pl.: 01010001 V*: V abc elemeiből alkotott szavak halmaza Pl.: {0,1,00,01,10,11, …} V abc feletti formális nyelv (L): V* egy tettszőleges részhalmaza Pl.: {0,1,00,11,000,111} Kérdés: Van-e olyan szabályrendszer, amivel L elemei megadhatóak? Szintaxis (Nyelvtan, L nyelvé): Olyan szabályok összessége, mely megadja, hogy melyek az L nyelv kifejezései (szavai) Szemantika (Jelentés, L nyelvé): Megadja, hogy mi az L- beli szavak jelentése

ELŐKÉSZITÉS: KÖVETKEZTETÉS A gondolkodás egyik közismert formája a következtetés. A logika célkitűzése. Gondolkodási folyamatok vizsgálata során A helyes következtetés törvényeinek feltárása. Újabb helyes következtetési módszerek kidolgozása. KÖVETKEZTETÉS - (ekvivalens megfogalmazások) Adott ismeretek  új ismeret premisszák  konklúzió feltételek  következmény állítások  állítás A  jel a gondolkodási folyamatot jelöli, amelynek eredménye a következmény.

ELŐKÉSZITÉS: KÖVETKEZTETÉS Definíció: Gondolkodásforma vagy következtetésforma egy F = {A1, A2,…,An} állításhalmaz és egy A állításból álló (F,A) pár. Megjegyzések: Az állítás adott körülmények között lehet igaz (i) vagy hamis (h). Ezt az értéket az állítás igazságértékének nevezzük. Nem tartalmi, oksági szempontból ragadjuk meg a következtetést, hanem az igazságérték megtartásának szempontjából.  Kritérium: Mikor helyes egy következtetés Helyes következtetésforma egy (F,A) pár, ha minden olyan esetben, amikor az F-ben minden állítás igaz, a következmény állítás is igaz.

ELŐKÉSZITÉS: ELDÖNTÉSPROBLÉMA Eldöntésprobléma: Egy olyan feladat, melynek megoldása egy eldöntendő kérdésre adott igen, nem válasz. Döntési eljárás: Az eldöntésprobléma megoldására kidolgozott módszer. Kérdés: Létezik-e olyan univerzális döntési eljárás, mely egy általában végtelen osztály minden elemét eldönti, azaz egy igen / nem választ képes adni a vele kapcsolatban felmerült döntési problémára

ELŐKÉSZITÉS: HALMAZOK Halmaz, A és B tetszőleges halmazok direkt vagy Descartes szorzata AxB az összes olyan (a,b) párok hamaza, ahol aA és bB. Legyen U egy halmaz, UxU direktszorzathalmaz az U elemeiből képezhető összes rendezett párok halmaza. Un-nel jelöljük U-nak önmagával vett n-szeres direktszorzatát, ami az U elemeiből képezhető összes n elemű sorozatok halmaza.

ELŐKÉSZITÉS: LEKÉPEZÉS / FÜGGVÉNY Legyenek D és R (nem feltétlenül különböző) halmazok. Függvénynek nevezünk egy DR leképezést, (D a leképezés értelmezési tartománya, R az értékkészlete.)   Leképezések minősítése: Ha D=U (individuum) halmaz, akkor a leképezés egyváltozós Ha D= Un , akkor a leképezés n-változós R (az értékkészlet) adja meg a leképezés fajtáját ha R=, akkor egész(értékű), ha R={i,h} vagy {0,1}, akkor logikai vagy kétértékű leképezésről beszélünk.

ELŐKÉSZITÉS: FÜGGVÉNY OSZTÁLYOZÁS 1. logikai függvény – reláció D tetszőleges U vagy Un , R={i,h} vagy {0,1}, tehát a leképezés Un →{i,h} (Un →{0,1}) 2. matematikai függvény – művelet Olyan DR leképezés, ahol D=Rn., n=1, 2,..., k véges érték. tehát Un →U a leképezés általános alakja. 3.Logikai értékek – {i,h} vagy {0,1} 4. n-változós logikai műveletek {i,h}n{i,h} ({0,1}n{0,1}) leképezések

ELŐKÉSZITÉS: SZERKEZETI INDUKCIÓ Szerkezeti indukció elve Olyan definíció, ahol a definiálandó fogalmat (mondat, szó, formula,...) egy adathalmaz (ábécé) felett két lépésben definiálunk. 1. (alaplépés)-ben, az adathalmaz bizonyos elemeivel azonosítjuk a definiálandó objektumot. 2. (rekurziós lépésben) a már definiált objektumokból és az ábécé további elemeiből, megadott szabályok szerint állítjuk elő az objektumokat. Például az aritmetikai kifejezés(term) definíciója. 1. Egy x változó vagy egy aritmetikai konstans term. 2. Ha t1, t2 termek, akkor (t1+t2), és (t1t2) is termek 3. Az összes term az 1. és 2. szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő.

ITÉLETLOGIKA: EGYSZERŰ ÁLLITÁS Tárgya Az egyszerű állítások és a belőlük logikai műveletekkel kapott összetett állítások vizsgálata (könyv 19 és 28-33 oldalak). Definíció: Egyszerű állítás Logika fontos alapfogalma Valamely kijelentő mondat információtartalma Definíció: Állításjel Az egyszerű állításhoz rendelt azonosító (Pl,: E: Esik az eső.) Definíció : Igazságérték Egy állítás információ tartalmat jellemezzük két értékkel: igaz, hamis értékekkel, melyeket igazságértéknek nevezünk Igaz egy állítás: ha információtartalma megfelel a valóságnak, Hamis egy állítás: ha információtartalma nem felel meg a valóságnak Az igazságérték meghatározásának módszerei: megfigyelés, kísérletezés, általánosítás az egyes tudomány területeken elért eredmények vizsgálata

ITÉLETLOGIKA: EGYSZERŰ ÁLLITÁS Definíció : klasszikus kétértékű logika Olyan logika, melyben Az állítás információ tartalma egyértelműen eldönthetőnek kell legyen: igaz vagy hamis Ellentmondás elve: az állítás nem lehet egyszerre igaz is és hamis is Dichotómia, kétértékűség, harmadik kizárt elve: nem lehet, hogy egy állítás sem nem igaz sem nem hamis, az igazságértékek objektívek, és az időtől függetlenek A következtetésnél leírt fő jellemzők érvényesek A köznapi nyelvben használt kijelentések általában nem állítások.

ITÉLETLOGIKA: EGYSZERŰ ÁLLITÁS Állítás: igaz vagy hamis kontextustól független objektív általánosító állítások Nem állítás: Nem létező individumról állítunk valamit Pl.: Az orosz cár tegnap elutazott Moszkvából. Az individum meghatározása nem egyértelmű Pl.: A sógorom ma reggel hívott telefonon A predikátumról szóló állítás nem egyértelmű Pl.: Anna elég jól úszik. Ha a kijelentés jövő idejű Pl.: Holnap sütni fog a nap. Paradoxonok (önhivatkozás) Pl.: Minden krétai hazudik. (mondja egy krétai) Most hazudok. Paraméteres állítások Pl.: x > 5 Kérdések Pl.: Miért kering a Föld a Nap körül? Nem objektív állítás (szubjektív) Kontextustól függő állítások

ITÉLETLOGIKA: EGYSZERŰ ÁLLITÁS Nem klasszikus logikák: Olyan logikák, ahol feladunk alapelveket a következőkre vonatkozóan: Állításfogalom Igazságérték Következtetés Példák: Többfajtájú: Ha a vizsgált objektumok nem homogének, többfajtájúak Másodrendű: a relációkat és a függvényeket is kvantálhatjuk Többértékű: olyan logikai szemantikák, ahol kettőnél több igazságérték létezik. Fuzzy: olyan logikai szemantika, ahol végtelen igazságérték létezik Modális: a klasszikus logika bővítése a ‚szükségszerű, hogy igaz’, és a ‚lehetséges hogy igaz’ műveletekkel

ITÉLETLOGIKA: ÖSSZETETT ÁLLITÁS A köznapi nyelvben és a matematikában is kötőszavak segítségével az egyszerű állításokból összetett állításokat (ítéleteket) képezünk. Pl.: Ha esik az eső, akkor nem megyünk kirándulni. E: Esik az eső, K: Kirándulni megyünk E   K Definíció: Összetett állítás Összetett állítás egy egyszerű állításokból álló összetett mondat, amelynek az igazságértéke csak a benne szereplő egyszerű állítások igazságértékeitől függ. Ezért az összetett állítások csak olyan nyelvtani összekötőszavakat tartalmazhatnak amelyek logikai műveleteknek feleltethetők meg.

ITÉLETLOGIKA: ÖSSZETETT ÁLLITÁS A leggyakrabban használt kötőszavak a következők: Logikai művelet Jele Logikai összekötők Negáció    „nem”, „nem igaz”, „hogy” Konjunkció  „és”, „mégis”, „annak ellenére”, „bár” Diszjunkció  „vagy”, „de” Implikáció  „ha, … akkor” Ekvivalencia (kettős implikáció)  „akkor és csak akkor”

LOGIKAI MŰVELETEK A táblázat tartalmazza a 16 db. Lehetséges műveletet   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X Y XY XY XY XY      XY X Y i h A lehetséges kétváltozós logikai műveletek közös igazságtáblája. A táblázat tartalmazza a 16 db. Lehetséges műveletet 4.db.1-változós műveletet 2.db. 0-változós műveletet Ezekből a logika tárgyalásánál a {,,,} műveleteket használjuk csak.

LOGIKAI MŰVELETEK 5. : kizáró vagy (X és Y közül pontosan az egyik)   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X Y XY XY XY XY      XY X Y i h 5. : kizáró vagy (X és Y közül pontosan az egyik) 6.: Sheffer vonás (X és Y közül legalább az egyik nem) 7.: Peirce vonás (sem X , sem Y)