A lyukas dob hangjai Hagymási Imre Bolyai Kollégium fizikus szakszeminárium november 15.

Az előadás menete probléma vázolása kvantummechanikai analógia Green-függvények, Weyl-formula WKB-módszer numerikus eredmények

A probléma lyukas membrán sajátrezgéseinek vizsgálata belül Neumann-, kívül Dirichlet-határfeltétel: N-D-t nem tágyalták az irodalomban R1R1 R2R2

A probléma A hullámegyenlet: A megoldást a következő alakban keressük: +határfeltételek! Helmholtz-egyenlet

Szeparálható a Helmholtz-egyenlet: A sajátfrekvenciákat meghatározó egyenlet: dimenziótlan paraméterek:

Analóg rendszer Szabad részecske zárt tartományban biliárd egységrendszert használjuk. egységrendszert használjuk. A sajátfrekvenciák megfeleltethetőek a részecske energiaszintjeinek:

A lépcsőfüggvény: Deriváltja az állapotsűrűség: Célunk ezek meghatározása és vizsgálata

A Green-függvény Green-függvény definíció szerint: Esetünkben:+határfeltételek! Ha ismerjük egyenlet sajátfüggvényeit és sajátértékeit:

Állapotsűrűség Ha ismert a Green-függvény, akkor: a Green-függvény általában nem ismert, mit tehetünk? →közelítünk: - Weyl-sorfejtés

A területi tag Tegyük fel, hogy nincsenek határfeltételek, határozzuk meg ekkor a Green-függvényt! Az ebből számolt állapotsűrűség adja a Weyl- formula területi tagját, ahol : A a biliárd területe

A kerületi tag Próbáljuk meg kielégíteni a határfeltételeket! ahol ahol -ha Dirichlet-, + ha Neumann határfeltétel végeredmény: végeredmény: a biliárd kerülete a biliárd kerülete

Weyl-formula magasabb rendű tagjai A Weyl-sorfejtés általános alakja: Az egzakt Green-függvényt meghatároztuk:

Az egzakt Green-függvény Az függvényekre a határfeltételek felhasználásával egy lineáris homogén egyenletrendszert kapunk. A trace elvégzése után áttérünk a módosított Bessel-függvényekre módosított Bessel-függvényekre Uniform közelítés alkalmazása

A Green-függvény trace-e

A Weyl-formula Kis belső sugarak esetén működik a uniform- közelítés: A r és B r adott függvények függvények

Numerikus eredmények Az egzakt és közelítő (Weyl) lépcsőfüggvény különbsége

Weyl egzakt

Mi okozza a szinguláris viselkedést az állapotsűrűségben? Bessel-függvények viselkedése nagy argumentum esetén: Nem függ m-től!

Gyökök m-függése

Kis sugarak esetén? gyökei vezető rendben:

Gyökök m-függése

WKB-módszer szemiklasszikus közelítés: Bohr-Sommerfeld kvantálási feltétel

WKB-módszer Végeredmény: Abramowitz & StegunDebye-közelítés

egzakt energiák (+), WKB (x)

A lépcsőfüggvény közelítése definíció szerint: Ez átírható a következő alakba: ahol megoldása m-re adott n,x mellett.

A lépcsőfüggvény közelítése

A közelítő lépcsőfüggvény WKB egzakt

Gyökök függvényében közelítés egzakt

Egyéb tulajdonságok A vizsgált rendszer integrálható

Összefoglalás Helmholtz-egyenlet numerikus megoldása Weyl-sor együtthatóira algoritmus kis esetén Gyűrű gyökös szingularitás -ben Szinguláris viselkedés értelmezése WKB „level-crossing”

Köszönet Cserti Józsefnek Csordás Andrásnak

Köszönöm a figyelmet!