A rezgések és tulajdonságaik 3. (III.11) ELTE IV. Környezettudomány 2010/2011 II.félév AKUSZTIKA és ZAJSZENNYEZÉS A rezgések és tulajdonságaik 3. (III.11) Tartalom Szinuszos rezgések, Rezgések szuperpozíciója, lebegés. Kényszerrezgés, csillapított rezgés. Lánc, húrok, rudak, lemezek, hártyák rezgései. Rezgő légoszlopok rezgései.

Rezgés: Általánosságban rezgésnek nevezünk minden olyan fizikai jelenséget, amelynél a rendszert leíró jellemzők egy egyensúlyi érték körüli ingadozást mutatnak. Rezgés olyan rendszerben alakul ki, amelynek van tehetetlensége, és az egyensúlyi állapotából történő kitérítésre mindig az eredeti állapotának visszaállítására törekszik. Általában mechanikai rezgéseket tekintünk. Ha a visszatérítő erő arányos a rezgést végző tömeg kitérésével harmonikus rezgés alakul ki. A harmonikus rezgés jellemzőit szinusz függvény írja le. Szilárdtestbeni rezgés a testhang. Hullám: A hullám egy zavarási állapot továbbterjedése. Alapvetően akusztikai (hang) és elektromágneses hullámokat különböztetünk meg. A harmonikus rezgés által létrehozott zavarás továbbterjedése esetén harmonikus hullám alakul ki.

Rezgések Csillapítatlan Csillapított Periodikus Aperiodikus Kváziperiodikus

Kitéréssel arányos visszatérítés. Rezgések Harmonikus rezgések tömegpont Kitéréssel arányos visszatérítés. x(t) = A sin(ωt+ϕ)

a = - ω2 x x(t) = A sin(ωt+ϕ) x(t) = A/2 (e i( t +ϕ) - e -i( t +ϕ)) v(t) = A ω cos(ωt+) a(t) = -A ω2 sin(ωt+ϕ) a = - ω2 x ω= 2 f

Rezgések kontinuum rugalmas elmozdulás gyorsulás tömeg =  A x (x,t) gyorsulás a =2 /t2 tömeg mx = V= =  A x Newton egyenlet  F = m a = ( A x) 2 /t2  F / (A x) =  2 /t2 Hooke törvény = E  = E ( / x)  = ’-  / x =  /E Eredő erő  F = (’-) A  F =  A  F /(A x) =  / x Hullámegyenlet: ( 2 / t2 )= E ( 2 / x2 )

kontinuum  ( 2 / t2) = E ( 2 / x2)  = o e i( (t - x/v)) ; rugalmas kontinuum Mozgás egyenlet:  ( 2 / t2) = E ( 2 / x2) A hullámegyenlet megoldása:  = o e i( t -q x) ; q = 2/ ( /q )2 = E / def.: v = ( / q) = /q v = E/  = o e i( (t - x/v)) ; vf = /q fázissebesség, vcs = ( / q) csoportsebesség.

   ( k/m)  qa  v = a ( k/m) Lineáris atomlánc /rácsállandó: a/ m uj = k  (uj+1 -uj) - (u j –uj -1 )  2u / t2 = (k/m)   2 u / x2  ahol a kontinuum modell szerinti jelöléssel : k = E/a - rugalmassági modulus;  = m/a – a tömegsűrűség hiszen x = j a ; és E  u / x = E  u / a = k  u    ( k/m)  qa  v = a ( k/m) v =  ( E/)

Határfeltétel : uj = uj+N (L- a méret ) /L= Na/ Diszperziós reláció A megoldás keresése: u j = C e i( t -q a j) m2 = k (2 - (ei qa + e-i qa) ) m2 = 2k (1- cos qa ) m2 = 4k sin 2 (qa /2)  = 2  ( k/m)  sin( qa /2)  Határfeltétel : uj = uj+N (L- a méret ) /L= Na/ ei q Na = 1 qNa = 2 n (n= 0, +1 ,+2, + 3 ,... ,+ N/2 -1) ! qa  1 ;  a , ekkor sin x  x miatt:    ( k/m)  qa  v = a ( k/m)

Rezgések atomlánc atom x (hely) Fonon Atomok kollektív, korrelált mozása. Adott frekvencián! Zavarterjedés. t (idő)

Csillapodó rezgések Fékezés, Sebességgel arányos súrlódás (Fs = 2βv ). β – csillapítási tényező T – 2 /ω csillapított periódus idő

T0 – 2 /ωo eredeti periódus idő

Két (nem egyenlő) rezgő rendszer kölcsönhatása Kényszerrezgések Két (nem egyenlő) rezgő rendszer kölcsönhatása Kényszer rendszer, gerjesztő rendszer (Ω) Gerjesztett rendszer (ω, β, ωo) /nincs visszahatása/. ω = Ω ; t→∞ A→∞ ; Ω = ωo rezonancia

Kényszerrezgések Rezonancia Amplitudó Teljesítmény

Rezgések összetevése Egyirányú szuperpozíció f = f1 + f2 szuperpozíció I = f 2 = f12 + f22 + 2 f1 f2 ω1 = ω2 Volt: 1 dB + 1 dB = 4 dB, Most: 1 + 1 = 4 ; v. 1 + 1 =0 I1 I2 1.intenzitás 2.intenzitás INTERFERENCIA Ha f1 és f2 időbe elválik: Ha f1 és f2 átlapol: (konstruktívan, erősítés) Ha f1 és f2 átlapol: (destruktívan, kioltás)

Ie = I1 + I2+ 2I1  I2 cos(1-2 ) (Ii = Ai2/2) Interferencia (1/T) ∫cos(2 t)dt = 0 Időbeli átlagoláskor: Geometriai összegzés Ie = I1 + I2+ 2I1  I2 cos(1-2 ) (Ii = Ai2/2)  az interferencia tag

Interferencia Ie = I1 + I2 + 2I1  I2 Itt: 1 + 1 = 4 1 = 2 + 2k ( = 2k ) – azonos fázis Ie = I1 + I2 + 2I1  I2 Itt: 1 + 1 = 4 1 = 2 + (2k+1) ( = (2k+1) ) – ellentétes fázis Ie = I1 + I2 - 2I1  I2 Itt: 1 + 1 = 0  = teszőleges – véletlen fázis . (A fázisok időátlaga és annak cosinusa = 0) Ie = I1 + I2 (Az intenzitások ilyenkor szuperponálódnak!) Itt: 1 + 1 = 2

Egyirányú szuperpozíció Eltérő frekvencia (kissé) Rezgések Egyirányú szuperpozíció Lebegés Eltérő frekvencia (kissé) ω1 ≈ ω2 Itt: 1 + 1 = 0 → 4 Időben fluktuál! ω1 - ω2 = ω ; ω/ ω << 1

Rezgések Egyirányú szuperpozíció Eltérő frekvencia, de racionális frekvencia arány: n ω1 = m ω2 Harmonikus marad ! Eltérő frekvencia, irracionális frekvencia arány: Nem harmonikus

Egymásra merőleges szuperpozíció Rezgések Egymásra merőleges szuperpozíció Harmonikus n ωx = m ωy Nyitott görbék Nem harmonikusak

Rezgések egyirányú szuperpozíció

Rezgések

korábban 1 /2 = l v = E/  = -1 ( E/) Állóhullámok

Állóhullámok

Pálcák rezgése Nemharmonikus Lemez torziós rezgése

Membránok, lemezek rezgése Csomó vonalak Álló hullámok Chladni féle ábrák Téglalap: Gong: Koncentrikus csomó vonalak felhangok: o , 2.07 o, 3.90 o, 5.98 o