Térbeli tartószerkezetek 5. Előadás Térbeli rácsok típusai

Térbeli rácsok típusai Rácsos szerkezet: Egymáshoz kapcsolt, rudakból álló mérnöki szerkezetek. rácsos szerkezet keretszerkezet rudak nyomatékmentes csatlakozásával is teherbíró rudak nyomatékbíró csatlakozásával teherbíró síkbeli térbeli rúd-szerű viselkedés 8ea.doc by Hegedűs I. Rácsos szerkezeteken a mérnöki szóhasználat egymáshoz kapcsolt rudakból összeálló mérnöki szerkezeteket ért, mégpedig elsősorban olyanokat, amelyek terhelhetősége a rudak nyomatékmentes csatlakoztatása mellett is biztosított. Azokat a rudakból összeálló szerkezeteket, amelyek terhelhetősége csak nyomatékbíró kapcsolatok mellett lehetséges, keretszerkezeteknek nevezzük. A rácsos szerkezetek körében megkülönböztetünk síkbeli és térbeli rácsos szerkezeteket. Az elnevezések többé-kevésbé önmagukért beszélnek, bár a síkbeli rácsos szerkezeteken inkább csak rúdszerű viselkedésű síkbeli rácsos szerkezeteket szoktunk érteni. A térbeli rácsos szerkezeteket az alábbi típusokba sorolhatjuk: - rúd-szerű szerkezetek - felület-szerű szerkezetek - tömb-szerű szerkezetek Magasépítési alkalmazásukat tekintve csak az első két típusnak van jelentősége. rúd-szerű viselkedés felület-szerű viselkedés tömb-szerű viselkedés

Térbeli rácsok típusai Rúd-szerű rács Felület-szerű rács a „Cet”, Budapest Rúd-szerű rácsok St. Mary Axe, London Különböző rendeltetésű acélszerkezetű tornyok

Térbeli rácsok elmélete Térbeli rácsok elmélete XIX. század 2. felében alakult ki. Elmélet kidolgozásának úttörői: W.J.M . Rankine (1820 –1872) J.C. Maxwell (1831 – 1879) Skót mérnök - Glasgowi Egyetem tanára. - Kutatási területei: - termodinamika, - gőzgépek, fáradás, - szerkezetek erőjátéka, - talajmechanika (Rainkine-féle földnyomás). Skót matematikus és fizikus Kutatási területei: - elektromosság és - mágnesesség - gázok mozgásának elmélete - szilárd testek rugalmassága A. Föppl (1854–1924) K.W. Ritter (1847 –1906) - Német tudós, - Müncheni Műszaki Egyetem tanára - lemezegyenlet (rugalmas lemezek nagy alakváltozásai) Svájci mérnök Kutatási területei: - grafostatika grafoanalitika - mérnöki szerkezetek esztétikája William John Macquorn Rankine  (1820 –1872) Skót mérnök és fizikus, a Glasgow Egyetem tanára. Kutatási területei: termodinamika, gőzgépek, fáradás, szerkezetek erőjátéka, talajmechanika (Rainkine féle földnyomás). James Clerk Maxwell (1831 – 1879), Skót matematikus és fizikus. Kutatási területei: Elektromosság és mágnesesség alapjai, gázok mozgásának elmélet, szilárd testek rugalmassága, geometria, első színes fotográfia (1861) Johann Wilhelm Ritter (1776 –1810) Német kémikus, fizikus, filozófus. Kutatási területei: kémiai reakciók gerjesztette elektromosság, grafostatika, víz bontása elektromossággal. August Otto Föppl (1854–1924) Német tudós, Müncheni Műszaki Egyetem tanára. Föppl-von Kármán lemezegyenlet (rugalmas lemezek nagy alakváltozásai). 8ea.doc by Hegedűs I. A térbeli rácsok mérnöki elmélete a XIX. sz. második felében alakult ki. Tudománytörténeti érdekesség, hogy a térbeli rácsos szerkezetek első alkalmazásai voltaképpen megelőzték a síkbeli rácsok első alkalmazásait, ami számunkra leginkább azért hangzik hihetetlennek, mert a tartószerkezetek mechanikájának oktatásában a térbeli rácsok problémaköre lényegesen „haladottabb” stúdium a síkbeli rácsokénál. A térbeli rácsok elméletének kidolgozásában úttörő munkát végzett jónéhány kevésbé ismert nevű tudós mellett W.J.M. Rankine, J.C. Maxwell, W. Ritter és A. Föppl. Eredményeik adták az elméleti alapot és módszert pl. Eiffelnek a párizsi Eiffel-torony tervezéséhez. A térbeli rácsokról írt első összefoglaló munka a A. Föppl 1892-ben megjelent Das Fachwerk im Raume könyve.

Fő- és mellék igénybevételek Szerkezetben fellépő igénybevételek: („klasszikus” rácsos tartó elmélet szerint) mellék-igénybevételek főigénybevételek (nyomaték, nyíróerő, normálerő növekmény) (rácsrúd erők) idealizált szerkezet főigénybevételekkel válik teherbíróvá, valós szerkezetben dominánsak, ha az idealizált hálózat alaktartó, ha a kapcsolatok kialakítása reális. idealizált modellen nem keletkeznek, valóságban fellépnek, - hatásuk, nagyságuk változó. 8ea.doc by Hegedűs I. A rácsos szerkezetek „klasszikus” elmélete a szerkezetben fellépő feszültségeket két csoportban tárgyalja. A szerkezet főigénybevételei a rácsrúd-erők, a mellék-igénybevételek pedig azok a nyomatékok, nyíróerők és normálerő-növekmények, amelyek az idealizált – tehát csomópontjain terhelt csuklós kapcsolatú – modellben nem keletkezhetnek, de a valóságban (és a valósághoz közelítő számítási modellekben) minden rácsos szerkezetben fellépnek. Az igénybevételeknek erre a csoportosítására elsősorban a rácsos szerkezet erőjátékának átláthatósága érdekében van szükség. A főigénybevétel elnevezést az indokolja, hogy ezek közreműködése nélkül az ideális, súrlódásmentes csuklós kapcsolatokkal kialakított szerkezet egyáltalán nem képes teherviselésre, de a reális kapcsolatokkal kialakított szerkezet teherviselésében is a főigénybevételek domináns szerepűek. Mellék-igénybevételek minden rácsos tartóban fellépnek, de nagyságuk és a főigénybevételek alakulására gyakorolt hatásuk tág határok közt változhat.

Mellék-igénybevételek forrása 1. Rúdjaikon terhelt rácsos tartók vizsgálhatjuk két támaszú tartó analógiával (oda-vissza igaz) Rúdon keletkező M; V meghatározható 2. Másodrendű igénybevétel-növekmény hajlított-nyomott rudakon Közelítő meghatározási mód: (Southwell-féle formula) N: rácsrúderő Nkr: rúd kritikus ereje bár az Euler kritikus erő alapján vezették le jól használható általános esetben is: - rugalmas - képlékeny szerkezetnél - tetszőleges megtámasztás esetén Nyilvánvalóan mellék-igénybevételek keletkeznek a rúdjaikon is terhelt rácsos tartókban. Ezeket az igénybevételeket legegyszerűbben úgy vehetjük figyelembe, hogy a terhelt rudakat csuklós kéttámaszú tartóknak tekintjük, és meghatározzuk a kéttámaszú tartók támaszreakcióit, nyomatéki és nyírási igénybevételeit. E művelet arra is útmutatást ad, hogy hogyan vezessük vissza a rudakon is terhelt rácsos tartók vizsgálatát a csomópontjain terhelt rácsos tartó vizsgálatára: a támaszreakciók ellentettjeit a csomópontokon külső teherként kezelve olyan terhelésű rácsos tartót kapunk, amelynek főigénybevételei azonosak a rudakon is terhelt rácsos tartóéval. Talán nem fölösleges emlékeztetnünk arra, hogy a hajlított rudakban keletkező igénybevételek nagyságát befolyásolja a hajlítással egyidejűleg működő normálerő is. Ezt a befolyásolást a másodrendű igénybevétel-növekmények számításának közelítő módszerével vehetjük figyelembe. A módszer szerint az igénybevétel-növekménnyel megnövelt hajlítási igénybevételeket úgy kapjuk, hogy a szokásos módon kiszámított értékeket megszorozzuk egy általában -vel jelölt növelő tényezővel. Ennek a nagyságát a Southwell-féle formula alapján vesszük fel: , ahol N a rácsrúdban működő nyomóerőt, Nkr pedig ennek a kritikus értékét jelöli. Bár a formulát tisztán rugalmas viselkedésű szerkezetek Euler-féle kihajlása alapján vezették le, jól alkalmazható rugalmas-képlékeny szerkezetekre vonatkozóan és a kihajlás bonyolultabb eseteiben is. A rácsrudak kritikus erején a fenti formulában az ún. lokális kihajlást okozó nyomóerőt értjük. Ez azt jelenti, hogy a rácsrúd végpontjaiban fekvő csomópontokat mozdulatlannak tekintjük. A kihajlás síkját nem a rácssík, hanem a vizsgált rúd keresztmetszetének inercia-főirányai határozzák meg. Csuklós kapcsolatú rácsrudak esetén a kihajlási hossz a rácsrúd geometriai hossza. A valóságban ritkán alkalmazunk csuklós kapcsolatú rácsrudakat, emiatt a lokális kihajlás vizsgálatánál a kihajlási hosszat kisebb értékre – kb. a hálózati hossz 0.8-szorosára – szokták fölvenni. A mellék-igénybevételek további forrása ugyanez a körülmény, tehát az, hogy a csomópontok sohasem ideális csuklók. Azok a számítások, amelyeket azzal a feltételezéssel végzünk, hogy a rácsrudak merev befogással csatlakoznak a csomópontokhoz, általában azt mutatják, hogy a szerkezet teherviselésében ilyenkor is a rácsos tartó főigénybevételei dominálnak, ha a rácsos tartó idealizált hálózata (amelyben a csatlakozások helyén ideális csuklókat tételezünk fel,) alaktartó. Ellenkező esetben – pl. a Vierendeel-tartóknál – a főigénybevétel-mellékigénybevétel megkülönböztetés indokolatlanná válik, hiszen a sarokmerevség nélkül nem alaktartó szerkezetnek nem értelmezhetők a főigénybevételei. A hagyományos szerkezettervezői gyakorlat igyekszik az ilyen szerkezeti kialakítást elkerülni, mert a főigénybevételek ilyen értelmű hiánya nehezen követhető erőjátékot – a szokásos szerkezetekhez képest nagy lehajlásokat, jelentős feszültség-koncentrációt stb. – okozhat. Az utóbbi évtizedben jelentős eltávolodás érzékelhető ettől a hagyományos szerkezettervezői szemlélettől, elsősorban a felület-szerű rácsos szerkezetek körében. Ennek a magyarázatát elsősorban az adja, hogy a hálózat felvételétől az erőtani számításon át a csomóponti részletek kidolgozásáig számítógépi programok alkalmazásával végzett szerkezettervezésben kevéssé különülnek el egymástól a rácsos szerkezet fő- és mellék-igénybevételei. Mégsem lenne bölcs dolog szem elől téveszteni az igénybevételek ilyen hierarchiáját, hiszen a kibővült számítástechnikai lehetőségek nem változtatnak azon a tényen, hogy a húzott-nyomott szerkezeti elemek anyagszükséglete rendre alacsonyabb a hasonló „statikai teljesítményű” hajlított-nyírt szerkezetekénél, ezért az optimális szerkezetekhez közelebb állnak azok a rácsos tartók, amelyekben a teherviselést a főigénybevételek adják. 3. Csomópontok nem ideális csuklók - lokális kihajlási hossz a csomópontok távolságánál kisebb (0,8 -1,0) - ha befogott modellel számolunk főigénybevételek dominálnak (kb. azonosak a csuklós modellen számítottal) csuklós kapcsolattal is alaktartó szerkezet esetén

Fő- és mellék igénybevételek „Nem hagyományos szerkezetek”: - merev csomóponttal kialakított szerkezetek - sarokmerevség nélkül nem alaktartó szerkezetek fő- és mellék-igénybevételek nem különülnek el számítógép számítással könnyen követhető hagyományos mérnöki tervezés igyekezett elkerülni - nehezen követhető erőjáték - szokásoshoz képest nagy lehajlások (másodrendű számítás igénye) - feszültségkoncentrációk napjainkban elterjedt szerkezetek Rácsos típusú szerkezetek, DE csak merev csomóponttal alaktartók. Óvatosnak kell lenni a tervezésnél.

Rácsos tartó szerkesztés alapelve Klasszikus alapelv főigénybevételek dominálnak feltétel: rácsrudak alaktartó és helyben maradó hálózata szükséges Hálózat: csomópontokból és a rácsrudak tengelyvonalaiból álló, összefüggő geometriai alakzat. Alaktartó hálózat (gömbcsuklók + végtelen merev rudak): - változatlan alak mellett képes a külső terheket viselni - hálózat csak merevtest-szerű mozgásra képes (csomópontot összekötő végtelen rudakat merevnek feltételezve) Helyben maradó szerkezet: a megtámasztásai (vagy felfüggesztései) minden lehetséges teher esetén elmozdulás-mentesen rögzítik. A rácsos tartók szerkesztésének klasszikus alapelve olyan szerkezet felvétele, amelynek teherviselését a főigénybevételek közreműködése biztosítja. Ehhez az egymáshoz, ill. a merev alzathoz kapcsolt rácsrudak alaktartó és helyben maradó hálózata szükséges. A hálózatot akkor tekintjük alaktartónak, ha a hálózati csomópontok helyére gömbcsuklókat, a hálózati vonalak helyére végtelen merev rudakat képzelve olyan szerkezetet kapunk, amely változatlan alak mellett képes tetszőleges külső teher elviselésére. Helyben maradó egy szerkezet, ha azt a megtámasztásai (vagy felfüggesztései) minden lehetséges teher esetén elmozdulás-mentesen rögzítik.

Hálózati határozottság Geometriailag határozott hálózat: bármelyik hálózati vonal eltávolítása esetén megszűnik az alaktartóság hálózati vonalak száma az alaktartósághoz minimálisan szükséges szám Fontos tulajdonság: Lehetőség van egy-egy tetszőlegesen kiválasztott hálózati vonal hosszának kicsiny (ún. infinitezimális) megváltoztatására anélkül, hogy a többi hálózati vonal hosszán változtatnánk. A szerkezet kis gyártási hibákkal is építési kényszerek (összefeszítés) nélkül összeszerelhető. Geometriailag határozatlan hálózat: hálózati vonalak száma kisebb az alaktartósághoz szükségesnél hálózat alakja a hálózati vonalak hosszváltozása nélkül szabadon változhat

Hálózati határozottság Geometriailag túlhatározott hálózat: hálózati vonalak száma több, mint ami az alaktartóság biztosításához minimálisan szükséges összeszerelés során szerelési kényszer lép fel kis gyártási hibákkal nem szerelhető össze a hálózat Geometriailag határozott hálózat statikailag is határozott (rúderő meghatározható a csomópontokra ható külső és belső erők egyensúlyából) Geometriailag túlhatározott hálózat statikailag határozatlan több lehetséges rúderő rendszer is kialakulhat benne Ezek különbsége külső teher nélkül is kialakulhat sajátfeszültségi rúderő rendszer statikai határozatlansági fok geometriai túlhatározottsági fokot adó rudak száma

Hálózati határozottság Statikailag határozott megtámasztás: Ha a megtámasztás a szerkezet helyben tartásához szükséges minimális számú rúddal lehetséges. statikailag határozott megtámasztás + statikailag határozott szerkezet geometriailag határozott hálózat rúderők az egyensúlyi feltételek alapján egyértelműen meghatározhatók adott terhelés esetén Statikai határozottság feltétele: r + t = 3 c c: csomópontok száma t: külső megtámasztások fokszáma r: rudak száma Térbeli szerkezet csomópontjaira 3-3 egyensúlyi egyenlet írható fel egy merev szerkezetre 6: r + 6 = 3 c egyenletnek teljesülnie kell

Síkbeli rácsos tartók szerkesztése „síkcella” alapelem: 3 rúd, csuklós kapcsolat, alaktartó, statikailag határozott. Legtöbb rácsos tartó közös csomópontoknál egymáshoz kapcsolt háromszög elemekből áll. Síkban alaktartó, de térben nem alaktartó! Kezdjük az alaktartóság vizsgálatát a síkbeli rácsos tartók vizsgálatával. (Nem szabad elfeledkeznünk azonban arról, hogy a síkban alaktartónak mutatkozó szerkezetek térbeli elmozdítással szemben általában nem alaktartóak.) A síkbeli rácsos tartók alapelemei három egymáshoz csuklósan csatlakozó rúdból álló alaktartó, egyben statikailag határozott erőjátékú háromszögek. A legegyszerűbb kialakítású rácsos tartókat úgy foghatjuk fel, mint közös csomópontjaikkal egymáshoz kapcsolt háromszögekből álló, alaktartó síkbeli alakzatokat.

Síkbeli rácsos tartók szerkesztése hálózatfejlesztés: 2 új rúd + 1 új csomópont, háromszögek összeolvasztása alaktartó háromszögrács: b=2c-3 b: rudak száma c: csomópontok száma helyben maradó, statikailag határozott: b+r=2c r: rögzítő kapcsolórúd szükséges, de nem elégséges feltétel Ha a háromszög alakú „síkcellákat” úgy csatlakoztatjuk egymáshoz, hogy egy-egy új háromszög egy-egy új csomópont és két új rúd felhasználásával álljon elő, megfelelő megtámasztás mellett az alaktartóság és a statikai határozottság feltételeit egyaránt teljesítő rácsos tartót kaphatunk. Ha két „síkcellát” az egyik élük mentén csatlakoztatunk egymáshoz, ez csupán a közössé váló csomópontok és a közös él „összeolvasztását” jelenti, ha csak egyik sarokpontjuk mentén, akkor az alaktartó csatlakoztatás egy további kapcsolórúd alkalmazását is igényli. Akármelyik hálózatfejlesztési eljárással alakítjuk ki a végső alakot, a 3 csomópontból és három rúdból álló kiinduló hálózathoz minden új csomópont hozzáadáskor két új rúd adódik hozzá. Ilyenformán az alaktartó háromszögrácsban a csomópontok c száma és a rudak b száma között az alábbi összefüggés áll fenn: b = 2c - 3 Részletes vizsgálattal meg lehet mutatni, hogy ha a hálózat akármelyik rúdját elhagyjuk, a rács valóban elveszti az alaktartóságát. Ahhoz, hogy az alaktartó rácsot a síkban mozdulatlanná tegyük, megfelelően elrendezett r = 3 kapcsolórúddal a merev alzathoz kell rögzíteni. A b + r = 2c összefüggés egyszersmind a rácsos szerkezet statikai határozottságának szükséges feltétele. Bizonyos körültekintéssel át lehet alakítani az így alaktartóvá és mozdulatlanná tett rácsot a rúdpótlás módszerével. Ez pl. abban áll, hogy egy-egy rácsrúd végeit másik két csomóponthoz kapcsoljuk. Az esetek jelentős részében azonban ezzel elvész a szerkezet alaktartósága (és a szerkezet belsőleg statikailag határozatlanná is válik.) A rúdpótlás másik lehetősége az, hogy egy-egy rudat elhagyunk a rácsból, és az elhagyott rudak számával megnöveljük a szerkezetet a merev alzathoz kapcsoló rudak számát. Szerencsés esetben ezt megtehetjük úgy, hogy a rögzített szerkezet alaktartóságát és mozdulatlanságát is megőrizzük, de általánosságban nem. Emiatt az alaktartó és mozdulatlan síkbeli rácsos szerkezet csomópontjainak, ill. belső és kapcsoló rúdjainak minimális számára vonatkozó összefüggés csak szükséges, de önmagában nem elégséges feltétele annak, hogy a rácsos szerkezet alaktartó, mozdulatlan és statikai határozott erőjátékú legyen. nem elégséges, mert: egy-egy rudat elhagyhatunk a rácsból és pótolhatjuk támasszal szerencsés esetben alaktartó és mozdulatlan marad De nem biztos

Térbeli rácsos tartók szerkesztése „tércella” alapelem: alaktartó és statikailag határozott 4 csomópont – tetraéder-rács, 6 csomópont – oktaéder-rács, 8 csomópont – beátlózott hexaéder-rács, Ennek a szerkesztési elvnek a térbeli megfelelője az, ha megfelelő számú csomópont és rúd alkalmazásával az alaktartóság és a statikai határozottság feltételeit egyaránt teljesítő „tércellákat” alakítunk ki, majd ezeket egymáshoz csatlakoztatjuk. A legegyszerűbb ilyen tércellák a négy csomópontot tartalmazó tetraéder-rács, a hat csomópontot tartalmazó oktaéder-rács és a nyolc csomópontot tartalmazó, lapsíkjain „beátlózott” hexaéder-rács (kocka).

Térbeli rácsos tartók szerkesztése hálózatfejlesztés: tércellák összeolvasztása alaktartó térbeli rács: b=3c-6 b: rudak száma c: csomópontok száma helyben maradó, statikailag határozott: b+r=3c r: rögzítő kapcsolórúd szükséges, de nem elégséges feltétel Az alaktartóság és a statikai határozottság követelményeinek egyaránt eleget tevő térbeli rács kialakítása mégis sokkal összetettebb feladat, mint síkbeli rácsos tartó esetén, mert a tércellák többféleképp (pl. a rácsháromszögek „összeolvasztásával”, megfelelő számú belső kapcsoló rúd alkalmazásával) kapcsolhatók statikailag határozott módon egymáshoz. Ellenőrizni lehet, hogy az alaktartó tércellák alaktartó egymáshoz kapcsolásakor egybeeső csomópontok és rudak „összeolvasztásával” kialakuló alaktartó térbeli rácsban a csomópontok és a rudak száma közti összefüggés b = 3c - 6. A minimális számú rúd alkalmazásával alaktartó kialakítású rácsot megfelelően elrendezett r = 6 kapcsolórúddal kapcsolhatok elmozdíthatatlanul a merev alzathoz. A kívánt hálózat kialakításához térbeli rácsok esetén is gyakran alkalmazzák a belső, ill. a kapcsoló rudak valamilyen rendszer szerinti áthelyezését („rúdpótlást”) is, aminek megfelelő kivitele nem változtat a szerkezet alaktartóságán, mozdíthatatlanságán és statikai határozottságán, de minden ilyen átrendezés jelentősen módosíthatja a rácsrúderő-eloszlás jellegét. A térbeli rács rudjainak, külső kapcsolórúdjainak és csomópontjainak száma közti b + r = 3c. összefüggés ugyanúgy csak szükséges feltétele az alaktartósággal és mozdíthatatlansággal egyidejű statikai határozottságnak, mint a korábbi feltétel volt síkbeli rácsos tartók esetén.

Térbeli rácsos tartók szerkesztése Síkbeli feladatokhoz szokott szemlélet számára követhetőbb, ha rácssíkok egymáshoz kapcsolásával hozunk létre térbeli rácsokat. hálózatfejlesztés: - rácssíkok, rácsfelületek összekapcsolása A síkbeli feladatokhoz szokott szemlélet számára követhetőbb eljárás, ha nem tércellák, hanem rácssíkok, rácsfelületek egymáshoz kapcsolásával származtatjuk a térbeli rácsokat. Erre általában lehetőség van rúdszerű és felület-szerű térbeli rácsoknál is. A továbbiakban mi is ezt az utat követjük. statikailag határozatlanak általában két nem alaktartó síkbeli hálózat összekötésével statikailag határozatlan, alaktartó térrács

Térbeli rácsos tartók szerkesztése Alakoptimáló algoritmusok vannak Klasszikus optimalizálási feladat (geometria fix, szelvényre optimálunk) Topológiai optimálás (hálózatra keressük az optimálisat) Célfüggvény: Anyagfelhasználás minimalizálása Eredmények: Állandó elrendezésű terhek esetén az optimum statikailag határozott, vagy túlhatározott szerkezet. Változó elrendezésű terhek esetén statikailag határozatlan szerkezet. Állandó terheknél ezt választjuk. Változó terheknél ezt választjuk.