Matematika II. 4. előadás Geodézia szakmérnöki szak 2010/2011. tanév Műszaki térinformatika ágazat tavaszi félév

A 4. előadás vázlata A féléves feladat kiadása Gráfelméleti alapismeretek Legrövidebb útvonal keresése a gráfban

Gráfok Mi a gráf? –Adott n pont a síkban (P = {P 1, P 2, P 3, …, P n ), a P halmazt nevezzük a gráf csúcspontjainak. –Élnek nevezzük a gráf két tetszőleges csúcspontját összekötő vonalat (nem feltétlenül egyenes!). –Jelölje e ij azt az élt, amely az i. és a j. csúcspontot köti össze. –Legyen E = {e ij, 1  i, j  n} az élek halmaza. –Az él irányított, ha a csúcsok sorrendje egyben haladási irányt is jelent.

Gráfok Mi a gráf? –A G = {P, E} halmazt gráfnak nevezzük. Példa gráfra:

Gráfok Példa irányított gráfra:

Gráfok Útvonal két pont, P 1 és P 7 között (irányítás nélküli gráfban):

Gráfok Útvonal két pont, P 1 és P 7 között (irányított gráfban):

Gráfok Impedancia (súly) hozzárendelése a gráf éleihez:

Gráfok Legkisebb súlyú (impedanciájú) útvonal keresése a gráfban a P 1 és a P 7 csúcsok között:

Útvonalkeresés a gráfban I. A legrövidebb útvonal kikeresésének algoritmusa: –A kezdőponthoz 0-t, a többi ponthoz végtelent rendelünk hozzá. -A kezdőpontból kiinduló élek súlyát rendre hozzá- adjuk a kezdőpont súlyához, és ha ez kisebb, mint a végpont aktuális súlya, akkor kicseréljük. -Megjegyezzük, melyik él mentén értük el ezt a legkisebb értéket. -Az eljárást a többi csúcspontra is elvégezzük, amiből eddig még nem indultunk el.

Útvonalkeresés a gráfban II. A legrövidebb útvonal kikeresésének algoritmusa (folytatás): –Az eljárás akkor ér véget, ha az összes csúcspontból elvégeztük az előzőeket és mindegyik csúcsponthoz végtelentől különböző értéket rendeltünk már hozzá. -Ekkor a legrövidebb út összesített súlya a végpontban álló szám, az útvonal pedig innen visszafelé haladva, a jelölt élek mentén járható be.

Mintapélda az útvonalkeresésre 1. lépés: induló állapot előállítása

Mintapélda az útvonalkeresésre 2. lépés: a P 1 -ből kiinduló élek végpontjaiban az összegzett súly és irány beírása

Mintapélda az útvonalkeresésre 3. lépés: a P 2 -ből kiinduló élek végpontjaiban az összegzett súly és irány beírása

Mintapélda az útvonalkeresésre 4. lépés: a P 3 -ból kiinduló élek végpontjaiban az összegzett súly és irány beírása

Mintapélda az útvonalkeresésre 5. lépés: a P 4 -ből kiinduló élek végpontjaiban az összegzett súly és irány beírása

Mintapélda az útvonalkeresésre 6-8. lépés: a P 5 -ből, a P 6 -ból és a P 8 -ból kiin- duló élek végpontjaiban az összegzés elvégzése

Mintapélda az útvonalkeresésre 9. lépés: Miután az összes éllel kiszámoltuk az összegzett súlyt, kapjuk az optimális út súlyára a P 7 -es csúcsban a 14 értéket, és az útvonalat a nyilak mentén visszafejtve kapjuk a P 1 - P 2 - P 4 - P 6 -P 7 végeredményt.

Gyakorló feladat az útvonalkeresésre

A gyakorló feladat megoldása

Az optimális út súlyára a jobb szélső csúcsban leolvashatjuk a 16 értéket, az optimális útvonalat pedig a piros vonalak mentén járhatjuk be.