Matematika I. 3. heti előadás Deák Ottó mestertanár Műszaki Térinformatika 2013/2014. tanév szakirányú továbbképzés tavaszi félév

Számábrázolás a Maple-ben Az alábbi számtípusok pontos ábrázolása, keze- lése és megjelenítése a cél: –egész; –racionális; –valós; –komplex. Néhány adat a belső számábrázolásról: –A Maple számrendszerének alapja: 10 4 –Az adatvektor hosszának leírása: 17 bit –A legnagyobb ábrázolható szám számjegyeinek a száma: –A 10-es számrendszerben ábrázolható legnagyobb szám számjegyeinek a száma: 4*( )=524284

4. lecke (1. rész) Néhány példa az egész számokkal végezhető műveletekre:

4. lecke (2. rész) Néhány példa a racionális számokkal végez- hető műveletekre:

4. lecke (3. rész) Néhány példa a valós számokkal végezhető műveletekre:

4. lecke (4. rész) Néhány példa a valós számokkal végezhető műveletekre:

Mit tanultunk a Maple-ből? A Maple borzasztóan nagy, kb jegyű egész számok ábrázolására és használatára képes. A racionális számokat egész számpárként ábrázolja úgy, hogy a számláló és a nevező már relatív prímek (egyszerűsített alak). A valós és a komplex számokat az őket előállító kifejezések segítségével ábrázolja. A valós számok közelítéseit az evalf eljárás szol- gáltatja, mégpedig tetszőleges pontossággal. A kö- zelítés pontosságát az evalf második paramétere határozza meg. Ha ilyet nem adunk meg, akkor a Digits környezeti változó értéke adja meg a pontosságot.

A 4. lecke gyakorló feladatai 5.feladat:Végezzük el a következő műveleteket! a)2 200 b)100! c)ifactor(10^10)d) e) 2^(2^(2^(2^(2^2)))) 6.feladat:Számítsuk ki a 2,3 cm sugarú kör és gömb területét illetve térfogatát, illetve a 3,2 cm oldalhosszú négyzet és kocka területét és térfogatát 24 jegy pontos-sággal!

Az 5. gyakorló példa megoldása

A 6. gyakorló példa megoldása

5. lecke Feladat:Határozzuk meg az x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =1 egyenletű ellipszisbe írható legnagyobb téglalapot!

5. lecke megoldása (1. rész)

5. lecke megoldása (2. rész)

5. lecke megoldása (3. rész)

5. lecke megoldása (4. rész)

5. lecke megoldása (5. rész)

5. lecke megoldása (6. rész)

5. lecke megoldása (7. rész)

5. lecke megoldása (8. rész)

5. lecke megoldása (9. rész)

5. lecke megoldása (10. rész)

5. lecke megoldása (11. rész)

Mit tanultunk a Maple-ből (I.)? A szekvenciális helyettesítés általános alakja: subs(x 1 =e 1,x 2 =e 2,…,kifejezés); Hatására először az x 1 összes előfordulása e 1 -gyel, majd a keletkező kifejezésben az x 2 összes előfor- dulása e 2 -vel helyettesítődik, és így tovább. Az implicitplot a plots csomag implicit függvé- nyek rajzolására alkalmas eljárása. Alakja: implicitplot(egyenlőség,x=a..b,y=c..d,opciók); Az egyenlőség írja le az implicit függvényt, melynek független változója x, függő változója y. A második és a harmadik paraméter az ábrázolási tartományt adja meg az egyes tengelyeken.

Mit tanultunk a Maple-ből (II.)? A polygonplot a plots csomag sokszögek felraj- zolására alkalmas eljárása. Alakja: polygonplot([[x 1,y 1 ],…,[x n,y n ]],opciók); A paraméterként megadott kételemű listák egy n- szög szomszédos csúcsainak a koordinátái. Az opciók a plot eljárásnál ismertetettekkel azonosak, használatuk nem kötelező. A restart eljárással a rendszer újraindítható. Kifejezés abszolut értékét az abs eljárással számít- hatjuk ki.

Mit tanultunk a Maple-ből (III.)? A plot3d könyvtári eljárás. Alakja: plot3d(f,x=a..b,y=c..d); ahol f kétváltozós kifejezés x-ben és y-ban. Hatá- sára háromdimenziós felület keletkezik a kijelölt rajzolási tartományban. A convert(f,string) parancs az f Maple objektumot karakterlánccá konvertálja minden olyan esetben, amikor ez az átalakítás értelmezhető.

Mit tanultunk a Maple-ből (IV.)? A for utasítás legegyszerűbb alakja: –for x from kezdőérték to végérték by lépésköz do –...ciklusmag –od Hatására a ciklus magja a ciklusváltozó kezdőérték,kezdőérték+lépésköz,kezdőérték+2*lépésköz... értékeire újra és újra végrehajtásra kerül. Ez addig tart, amíg a ciklusváltozó értéke meg nem haladja a végértéket. A vessző [,] infix operátor sorozatok összefűzésére szolgál. Tehát az s 1 és az s 2 sorozatra az s 1,s 2 az a sorozat, ami úgy keletkezik, hogy az s 1 elem mögé írjuk az s 2 sorozat elemeit.

Az 5. lecke gyakorló feladatai 7.feladat:Rajzoljuk fel az alábbi implicit függvénye- ket! a)x-y 2 =0b)x 2 -y 2 =0 c)(x 2 +y 2 -1)*(x 2 +y 2 -4)=0 8.feladat:Egy felül nyitott, téglatest alakú kád tér- fogata V. Milyen méretek mellett lesz a felülete a lehető legkisebb? 9.feladat:Határozzuk meg az y=2*sqrt(1-x/3)) függvény görbéjébe írható legnagyobb területű téglalapot! Szorítkozzunk az első síknegyedre!

A 7/a. gyakorló példa megoldása (I.)

A 7/a. gyakorló példa megoldása (II.)

A 7/b. gyakorló példa megoldása

A 7/c. gyakorló példa megoldása

A 8. gyakorló példa megoldása (I.)

A 8. gyakorló példa megoldása (II.)

A 9. gyakorló példa megoldása (I.)

A 9. gyakorló példa megoldása (II.)

Vegyes gyakorló feladatok 1.feladat:Keressük meg az alábbi egyenletek gyökeit! a)7*x 4 -3*x 2 +5*x-11=0 b)(x 2 +2*x-3)*(x 2 -3*x+2)=0 c)13*x 5 -12*x 4 +11*x 3 -10*x 2 +9*x-8=0 2.feladat:Ábrázoljuk az alábbi függvényeket! a)f(x)=4*x 3 -2*x 2 +16*x-4 b)g(x)=sin(x-1)*cos(x+1)-sin 2 (x-1) c)h(x)=x 2 *sin(x-1)+x*cos(x+1)

Vegyes gyakorló feladatok 3.feladat:Izoláljuk az alábbi polinomok gyökeit, és adjuk meg minden intervallumra a gyö- köt! a)x 3 -3*x-1 b)x 3 -7*x 2 -2*x-1 c)x 4 +x feladat:Határozzuk meg az alábbi függvények szélsőértékeit és ábrázoljuk együtt a függvényt, valamit az első és a második deriváltját! a)f(x)=2*x 4 -4*x 3 -11*x 2 +8*x+4 b)g(x)=x 2 *e -2*x

Vegyes gyakorló feladatok 5.feladat:Keressük ki a 10 4 és a 10 5 közé eső szom- szédos prímszámokat! (pl. 29 és 31)! 6.feladat:Határozzuk meg az alábbi számok legnagyobb közös osztóit! a)2468; b)36 2 *25!, 31568*3 4 7.feladat:Adjuk meg a 38!+45! számot követő má- sodik prímszámnál 1-gyel nagyobb szám prímtényezős felbontását!

Vegyes gyakorló feladatok 8.feladat:Határozzuk meg az y=2*cos(Pi*x/6) függvény görbéjébe írható legnagyobb területű téglalapot! A megoldást az I. síknegyedben keressük! 9.feladat:Rajzoljuk fel az alábbi implicit függvé- nyeket! a)x 3 /a 3 -y 2 /b 2 =2 b)sin(x)*cos(y)=0.5 c)ln(x*y)*(x 2 -y 3 )