Nemlineáris és komplex rendszerek viselkedése (A káosz)

A valódi világ komplex  modelleket alkotunk fizika műszaki tudományok biológia közgazdaságtan ……...

A modell egyszerű  a modellt leíró differenciálegyenlet is egyszerű lineáris, szétválasztható változójú, ….  analitikusan megoldható

Modellek geometriai pont egyenes- tömegpont ponttöltés harmonikus oszcillátor áramgenerátor ……….

Ezek a modellek milyen jól leírják a valóságot. Ami meglepő Ezek a modellek milyen jól leírják a valóságot.

Látott-e már valaki pontot egyenest a kör kerülete = 2R a narancsé?  ?

Mekkora Skandinávia kerülete?   A gömb felszíne = 4R2 A narancsé?  ?

Fizikai rendszerek lineáris oszcillátor: nemlineáris oszcillátor: (harmonikus rezgőmozgás) nemlineáris oszcillátor: kényszerrezgés: hőtágulás:

Az inga Mozgásegyenlet: linearizálás:

Az ingaóra Christian Huygens George Graham

Háromtest probléma

Szaporodás

Korlátozott szaporodás Populációnövekedési ráta: ha korlátozó feltétel:

Visszacsatolt erősítő + 1V r 1-u > > > u u u(1-u) (r=3,56994571869)

Volterra-egyenlet x - nyúl y - róka

Komplex számok iterációja Mandelbrot: z0 - fix c - változik Julia: z0 - változik c - fix

Vizsgálati módszerek Időtartomány - egy állapothatározó és az idô által kifeszített tér, pl. [r(t), t], [x(t), t], [v(t), t], … fázistér - az állapothatározók által kifeszített absztrakt tér, dimenziója megegyezik a rendszer szabadsági fokainak számával, pl. [v(t),r(t)], [P(T),V(T)], ...

Definíciók (1) trajektória - a rendszer pályája a fázistérben attraktor - a fázistér azon alakzata, amely felé a rendszer állapota a vonzástartományba eső kezdőfeltételektől függően konvergál fixpont: az attraktor egyetlen pontból áll határciklus: az attraktor zárt görbe, a rendszer periódikusan oszcillál a fázistérben különös attraktor: végtelen számú egymás melletti rétegbôl álló, nem egész dimenziójú (fraktál természetû) attraktor, a közeli pályák exponenciálisan válnak szét. Kaotikusan viselkedô rendszert ír le.

Definíciók (2) bifurkáció - periódus-kettőződés, nem-lineáris egyenletek minőségileg eltérő, új megoldásának megjelenése valamely paraméter változtatásakor. A periódus-kettőződés révén, a bifurkációk végtelen sorozatán át káoszhoz jutunk káosz - a determinisztikus rendszer belső, nem lineáris tulajdonságából adódó szabálytalan (nem periódikus) viselkedése zaj - a rendszer szabálytalan viselkedése külső véletlenszerű hatások (pl. hőmozgás) következtében

A dimenzió A Hausdorff-dimenzió általában L - a vonal hossza l - mértékegység általában d - a tér dimenziója

Tört dimenziók

Példák d=log(2)/log(3) d=2log(2)/log(3)