Matematika a filozófiában Készítette: Gábriel Anna Városmajori Gimnázium Felkészítő tanár: Kertai Helga

Mi a matematika? Értelmező szótár: az anyagi világ általános összefüggéseiből - mennyiségek, formák, stb - elvont fogalmakat alkotó és logikai elemzéssel általános törvényeket megállapító tudomány. Filozófiai megközelítések: Platonizmus: matematikai objektumok tőlünk függetlenül léteznek Empirizmus: minden matematikai tudást tapasztalati úton szerzünk Logicizmus: a logika kiterjesztése Formalizmus: “játék a betűkkel” Intuicionizmus: az emberi agy produktuma Strukturalizmus: a mintázatok elmélete

Mi tesz egy matematikai állítást igazzá? Közös: a matematikai állításoknak jelentése van De: matematika formalista felfogása: matematikai objektumoknak nincs jelentése! → formális rendszerek tudománya (Hilbert) Realizmus: Egy matematikai állítás akkor igaz, ha megfelel a minket körülvevő fizikai valóságnak Matematikai platonizmus: A matematika klasszikus fogalmainak önálló létezést tulajdonít Intuicionizmus: A matematikai objektumoknak nincs konstrukciójuktól független létezése –> intuíció létezése, mely a priori adott –> objektivitás, használhatóság

Filozófia a matematikában – ókortól az újkorig Eleai filozófia hatására megjelenik a deduktív bizonyítás Pithagoreusok: -tökéletes számok -barátságos számok Platón ideatana → matematikai tételek objektivitása Tétel bizonyításának két módja: -mutatunk rá példát -nem létezésének feltételezéséből ellentmondásra jutunk Végtelen definíciója Paradoxonok

Modern matematikafilozófia által felvetett problémák Mik az irracionális számok? Euler-féle poliéder tétel megcáfolása → Galois nemszerkeszthetőségi tétele Cantor: négyzet oldalán kevesebb pont mint a négyzetben? -nem -igen: „Látom, de képtelen vagyok elhinni” → nem folytonos függvények -cáfolat: Peano-görbe

Gödel-tételek I: Minden ellentmondásmentes, a természetes számok elméletét tartalmazó, formális-axiomatikus elméletben megfogalmazható olyan mondat, mely se nem bizonyítható, se nem cáfolható. II: Ellentmondásmentes, a természetes elméletben az 'ez az elmélet ellentmondásmentes' mondatnak megfelelő formális kijelentés nem bizonyítható. → következmények, eredmények

A matematika alapfogalmait tárgyaló filozófiai kérdések Mi a nulla? - a mennyiség hiánya - 'semmi' → de a nulla létezik, vagyis a semmi van. Akkor viszont már valami → eredeti feltevés cáfolata Mik a negatív számok? - nullánál kisebb számok → a semminél kisebb → lehetetlen - viszonyítási kérdés? Mi a végtelen? - határtalan, a legnagyobb mennyiség - számértékileg a nulla reciproka - megszámlálhatóan/nem megszámlálhatóan végtelen? → ugyanannyi pozitív szám, mint egész szám? → rövidebb szakaszon ugyanannyi pont, mint egy hosszabb szakaszon?

Hilbert Grand Hotel paradoxonja Végtelen mennyiségek paradox viselkedését demonstrálja Végtelen sok szoba, végtelen sok vendég, új vendég elhelyezése mégis megoldható → mindenki a szobaszámánál eggyel nagyobb szobába költözik Végtelen sok vendég elhelyezésének kérdése Végtelenszer végtelen sok vendég? Végtelen sok végtelen férőhelyes busz érkezése esetén → elhelyezés lehetséges – prímszámok hatványai mindig küldönböző páratlan számok Paradoxon? → nem! (megszámlálhatóan végtelen) Teljes indukció nulladik lépésének szükségesége

Források Lakatos Imre: Bizonyítások és cáfolatok Stanislas Dehaene: A számérzék – Miként alkotja meg az elme a matematikát? Sain Márton: Matematikatörténeti ABC http://hu.wikipedia.org/wiki/A_matematikafilozófia_története http://hu.wikipedia.org/wiki/Matematikafilozófia