ÉLET- ÉS NEM-ÉLETBIZTOSÍTÁSOK

Kockázatok a biztosításokban Tiszta kockázat (pure risk) – 2 lehetséges kimenetel: Változatlan állapot (pl. nem lesz tűz) Veszteség (kár) következik be (pl. tűz lesz) Tiszta kockázatot hordoz pl. a vihar, földrengés, földcsuszamlás, villámlás, havazás, de balesetek és gépekben bekövetkezett meghibásodás is → ez a típus releváns a biztosításokban Üzleti kockázat (speculative risk) – 3 lehetséges kimenetel: Veszteség Változatlan állapot (nem jellemző, lásd pl. részvénybefektetések, ritka az, hogy a piacon nem történik semmi) Nyereség Az összetett (üzleti) kockázatok nem jellemzők a biztosításelméletben (az ilyen jellegű kockázatot más típusú eszközökkel lehet kezelni – pl. opciók, határidős ügyletek, swapok, stb.)

Biztosítható kockázatok (I.) Biztosítás definíciója: „Virtuális (veszély)közösség révén megvalósuló kockázattranszfer” A veszélyközösség egy konkrét kockázat (veszély) kivédésére, csökkentésére szervezett közösség A tagok befizetéseiből működik Célja, hogy a közösség egyes tagjait ért kárt kompenzálja Aki biztosítást köt az a közösség tagja lesz A kár bármelyik tagot érheti, de előre nem lehet tudni, hogy kit és mikor Akit viszont sújt, önmagában nehezen tud megbirkózni vele, ezért a veszélyközösség azt vállalja, hogy közösen fedezik a kárát

Biztosítható kockázatok (II.) A biztosíthatóság kritériumai 1) Legyen nagyszámú megfigyelési egység, hogy a kockázat valószínűségi alapon elemezhető legyen 2) Homogének legyenek a kockázatok Az árazás során lényeges; a díjszabás megállapítása előtt homogén csoportokat képeznek Pl. életbiztosítások esetén pl. nem és kor szerint Pl. kötelező gépjármű-felelősségbiztosításnál pl. életkor, nem, lakhely, stb. szerint 3) A károk véletlenszerűen következzenek be Szándékosság kizárása az általános szerződési feltételekben A biztosítás tervezése során kontraszelekció és morális kockázat figyelembevétele

Biztosítható kockázatok (III.) A biztosíthatóság kritériumai – folyt. 4) A károk legyenek egyértelműen becsülhetők, leírhatók A biztosítási esemény oka, helye, ideje, szereplői legyenek egyértelműen meghatározhatók A kár nagysága (nem-életbiztosítás esetén) legyen jellemezhető matematikai-statisztikai módszerekkel 5) A kár legyen korlátos, a biztosító szempontjából ne érjen el katasztrofális mértéket A biztosítók kizárják a vis major esetét, illetve a felelősségbiztosításoknál ki szoktak kötni egy maximum összeget, aminél többet nem fizetnek 6) A biztosítás legyen gazdaságos mind a biztosító, mind a szerződő számára

A biztosítások csoportosítása Személybiztosítások Az egyéneket életükben, testi épségükben, egészségükben fenyegető károk anyagi következményei ellen nyújtanak védelmet – pl. élet-, baleset-, és betegség-biztosítások Vagyonbiztosítások A dolgokban esett károk biztosítására szolgál – pl. valamennyi nem- életbiztosítás, kivéve az egészség- és balesetbiztosításokat Életbiztosítás A biztosításokat két nagy ágazatra szokták bontani: életbiztosításra és nem- életbiztosításra Az életbiztosítás az egyén életével kapcsolatos biztosítási események (pl. halál) nyújt védelmet (ide nem értve a baleseti halálra szóló biztosítást) Nem-életbiztosítás Nem-életbiztosítás az összes vagyonbiztosítás, illetve a baleset és egészségbiztosítások (minden, ami nem életbiztosítás) Pl. casco, tűz és elemi károk, lopás, pénzügyi veszteségek

Az életbiztosítás típusai (I.) Az életbiztosítás szereplői: a szerződő, a biztosító, a biztosított és a kedvezményezett Életbiztosítások esetén kétféle biztosítási esemény képzelhető el: A biztosított egy adott időtartamon belül (biztosítás tartama) meghal A biztosított egy adott időtartamot túl él Ezekből következik az életbiztosítás két alaptípusa: Kockázati életbiztosítás: a biztosítási esemény a biztosított halála Elérési életbiztosítás: biztosítási esemény egy előre adott időpont túlélése Az elérési és kockázati életbiztosítások kombinációja a vegyes életbiztosítás

Az életbiztosítás típusai (II.) Unit Linked vagy befektetési egységhez kötött életbiztosítás Egy speciális vegyes életbiztosítás A díj egy része a költségekre, a többi egy befektetési alapba Az ügyfél többféle befektetési alap közül választhat Van egy garantált összeg, amit a biztosított halála esetén kifizet akár elérte a bef. alapban lévő pénz ezt, akár nem A biztosítás lejártával az ügyfél megkapja a befektetés aktuális értékét

Az életbiztosítás típusai (III.) Term fix biztosítás Egy adott összeget lejáratkor mindenképpen kifizet Ha a biztosított a lejárat előtt meghal, akkor is megkapja a kedvezményezett a biztosítási összeget A díjfizetési időszak vagy a biztosítási időszak végéig tart, vagy a biztosított korábbi haláláig (onnantól kezdve díjmentes lesz) Pl. annak lehet előnyös, aki a gyereke taníttatására mindenképpen félre akar tenni egy bizonyos összeget, ugyanis ha a biztosított időközben elhalálozik, a kedvezményezett akkor is megkapja a pénzt, ha a biztosítottnak nem sikerült az egész összeget megtakarítania

Járadékbiztosítások (I.) Járadékbiztosítás: díj ellenében egy meghatározott időintervallumban és meghatározott feltételek mellett rendszeres kifizetést teljesít a biztosító Előleges (utólagos) járadék: ha a biztosító a járadéktagot mindig az időszak elején (végén) fizeti (hónap vagy év elején) Egyszeri díjas (rendszeres díjas): ha a biztosítási díjat egy összegben (rendszeresen havonta, negyedévente vagy évente) fizeti a szerződő Azonnal induló (halasztott): ha a szerződéskötés után azonnal (meghatározott idővel később, pl. 5 évvel később) indul a járadékfizetés

Járadékbiztosítások (II.) Egyszemélyes (többszemélyes): ha a járadék fizetése csak egy (több) ember életétől függ Többszemélyesre példa: egy házaspár biztosítása, ami az özvegynek fizet járadékot, a házastárs halálától az özvegy haláláig Elöl garanciaidős (hátul garanciaidős) járadék: a biztosító garantálja a járadék fizetését a járadékfizetés megindulásától X évig (a biztosított halála után X évig) Időleges járadék: csak egy előre rögzített időintervallumban, vagy a biztosított korábbi haláláig teljesít kifizetést Életjáradék: mindenképpen a biztosított haláláig szól

Magyarország korfája

Életbiztosítási kalkulus (I.) Alapfogalmak: Halálozási valószínűség (qx): annak valószínűsége, hogy egy x éves ember nem éli meg x+1-ik életévét Túlélési valószínűség: px = 1 – qx → Annak valószínűsége, hogy ha valaki megélte x-ik évét, akkor megéli x+t-iket is: px,t = px*px+1*…*px+t-1 Kihalási rend (lx): halálozási valószínűségekből képzett számsor, az induló l0 = 100 000-es populációból mennyien lesznek életben x éves korukban: lx+1 = px*lx KSH halandósági táblájában vannak a fenti fogalmakra adatok x éves korukban elhunytak száma: dx = lx – lx+1 [ qx=dx/lx ]

Életbiztosítási kalkulus (II.) Nettó díj: a kockázati díjrészt jelenti Bruttó díj: nettó díj + biztonsági pótlék + vállalkozói díjrész (ktg-ek) Biztonsági pótlék: a kockázat változékonysága vagy pontosabb statisztikai meghatározásának lehetetlensége miatt alkalmazott díjpótlék Életbiztosításoknál nincs DE: halálozási valószínűségek az országos halandósági táblából, pedig főleg jobb anyagi helyzetben lévők kötnek éb-t, az ő halálozási valószínűségeik jobbak az átlagosnál Technikai kamatláb: a biztosító által a díjtartalék után fizetendő garantált hozam A Pénzügyminisztérium szabályozza a maximumát, ami 2005.03.30. óta 2,9% Ekvivalencia elv: E(PV(bevételek)) = E(PV(kiadások))

Életbiztosítási kalkulus (III.) Feltételezzük: Biztosítási összeg 1 Ft Biztosítási esemény év végén következik be (évvégi pénzáramok) 1. példa: Mennyi egy 22 éves férfi egyéves kockázati életbiztosításának egyszeri nettó díja, ha a technikai kamatláb 0 és a biztosítás összege 1? Ekvivalencia elv → biztosítás egyszeri díja = várható kiadások jelenértéke Halálozási valószínűség q22 → a várható kifizetés 1*q22 2. példa: ua., mint 1., de kétéves díj: Megoldás: 1*q22 + 1*p22*q23 3. példa: ua., mint 2., de a technikai kamatláb i A diszkontfaktor legyen v = 1/(1+i) Megoldás: 1*q22*v + 1*p22*q23*v2

Életbiztosítási kalkulus (IV.) 4. példa: Mennyi egy 22 éves férfi 1 éves elérési éb- nak egyszeri nettó díja, ha a technikai kamatláb i és a biztosítás összege 1? Megoldás: 1*p22*v 5. példa: ua., mint 4., de kétéves díja Megoldás: 1*p22*p23*v2 A vegyes éb egyszeri díja = az elérési + kockázati éb egyszeri díja 6. példa: 3. és 5. együtt Megoldás: 1*q22*v + 1*p22*q23*v2 + 1*p22*p23*v2 = 1*q22*v + 1*p22*v2*(q23 + p23) = 1*q22*v + 1*p22*v2

Életbiztosítási kalkulus (V.) Járadékbiztosítás ~ elérési bizt.-ok sorozata Példa: Mennyi egy 60 éves nő 3 éves időleges előleges járadékának nettó egyszeri díja, ha a járadéktag 1 Ft és a technikai kamatláb i? A biztosítónak akkor keletkezik kifizetése, ha a biztosított év elején életben van A szerződő az első évben biztosan kap pénzt, mert az mindjárt a szerződéskötéskor esedékes A többi évben csak akkor, ha megéli Tehát a megoldás: 1 + 1*p60*v + 1*p60*p61*v2

Életbiztosítási kalkulus (VI.) Term fix nettó egyszeri díja: 1*vn Ez nem éb., mert nincs benne halálozási, elérési kockázat vn az n éves diszkontfaktor: az n év múlva esedékes 1 Ft ma mennyit ér Az n éves term fix nettó rendszeres díja? Most pontosan tudjuk, mennyi lesz a biztosító kifizetése (1*vn) A bevételei pedig ~ egy n éves előleges időleges járadék, DE: most nem a biztosított kapja a járadéktagot, hanem a szerződő fizeti a biztosítónak n éves előleges időleges járadék nettó egyszeri díja: (x: jelenlegi életkor, n > 1) 1+1∗ 𝑗=𝑥 𝑥+𝑛−2 𝑘=𝑥 𝑗 𝑝 𝑘 𝑣 𝑗−𝑥+1

Életbiztosítási kalkulus (VII.) Felírjuk az ekvivalencia egyenletet: ahol P az n éves term fix nettó rendszeres díja P-vel való szorzás: a biztosító bevételei nem 1 Ft-os összegű biztosítás, hanem P Ft-os Kifejezve P-t adódik a megoldás Megjegyzés: a többi életbiztosítás rendszeres díjánál is ugyanez az eljárás 1) nettó egyszeri díj 2) ekvivalencia egyenlet, kiadások jelenértéke = nettó egyszeri díj 3) kifejezzük P-t 1∗𝑣 𝑛 =𝑃∗ 1+1∗ 𝑗=𝑥 𝑥+𝑛−2 𝑘=𝑥 𝑗 𝑝 𝑘 𝑣 𝑗−𝑥+1

NYUGDÍJBIZTOSÍTÁS

Értelmezés Biztosítástanban a nyugdíjbiztosítás (nyb) szigorú értelemben nem felel meg a köznyelvben használt nyb-nak Biztosítástani értelemben az életjáradék a nyb Életjáradék esetében pontosan tudjuk, hogy mennyi lesz a járadéktag értéke és hogy mennyit kell befizetnünk érte Köznyelvi értelemben minden olyan biztosítási formát, amely egy bizonyos életkor elérésével kifizetést ígér a biztosítottaknak nyb-nak nevezünk

Felosztó-kirovó rendszer Más néven: pay as you go (PAYGO) Finanszírozási típust jelent: az aktuálisan befolyó járulékokból folyósítják a nyugdíjakat Jellemzően állami nyugdíjterveknél használják Kereső tevékenységet végzők száma * járulékalapot képző átlagjövedelem = nyugdíjasok száma * átlagnyugdíj Legnagyobb problémája, hogy érzékeny a befizetők számára, az átlagos befizetés nagyságára, a nyugdíjasok számára Az 1. pillér Magyarországon is felosztó-kirovó finanszírozású Életkilátások javulása + a születések csökkenése (öregedő társadalom), alacsony aktivitási ráta

Tőkefedezeti A befizetések tartalékok formájában a tőkepiacon kerülnek befektetésre A rendszer hatékonyságának alapja a tőkepiaci eredmény Jellemzően a magán nyugdíjterveknél használják A legnagyobb kockázat a tőkepiaci teljesítményben van Magyarországon (a 2. és) a 3. pillér, azaz (a magán nyugdíjpénztárak) és az önkéntes nyugdíjpénztárak tőkefedezeti típusúak

Szolgáltatással meghatározott Más néven: defined benefit (DB) A szolgáltató egy bizonyos ellátási szintet garantál A befektetési és a hosszú élet (longevity) kockázata a szolgáltatóé – nem minden esetben vállalja mindkét kockázatot De ha igen, akkor Az ellátási szint előre rögzített A nyugdíj csak a jövedelemtől és a munkában töltött időtől függ Állami ny.rsz.: általában szolgáltatással meghatározott, felosztó- kirovó finanszírozással Magán nyugdíjtervek: munkáltatói terveknél fordul elő szolgáltatással meghatározott rendszer Magyarországon az 1. pillér szolgáltatással meghatározott

Hozzájárulással meghatározott Más néven: defined contribution (DC) Csak azt rögzítik, hogy a tagoknak mekkora hozzájárulást kell teljesíteniük A befektetési és a longevity kockázat a biztosítotté Tőkefedezeti nyugdíjrendszerrel szokták kombinálni Lehetnek hibrid tervek is Pl. elsősorban hozzájárulással meghatározott nyugdíjak, de biztosítanak egy minimumot (DC, DB keveréke, vagy másképp DC minimum garanciával)

Névleges hozzájárulással meghatározott (I.) A hagyományos állami nyugdíjrendszerek (PAYGO–DB) fenntarthatósága világszerte probléma Egy alternatíva: névleges hozzájárulással meghatározott (notional defined contribution, NDC) rendszer Felosztó-kirovó finanszírozás, de a tagok a járulékokat egy „névleges” egyéni számlára fizetik be Névleges, mivel a számla csak számviteli célokat szolgál Valójában a befizetéseket a jelenlegi nyugdíjasoknak kifizetik A számlához egy virtuális hozam kapcsolódik – általában valamilyen makroökonómiai változó(k)hoz kötik Leggyakrabban a gazdaság átlagos bérnövekedési üteme De gyakran infláció és a GDP növekedési üteme is

Névleges hozzájárulással meghatározott (II.) Nyugdíjkorhatár elérésekor a nyugdíjat egy annuitásként határozzák meg Az egyéni számla hozamokkal növelt „egyenlege” és a várható hátralévő élettartam alapján A nyugdíjkalkulációhoz unisex korspecifikus várható élettartamot használnak (néhány évente frissítik) A rendszer két nagy előnye a PAYGO–DB-vel szemben: A biztosítottra ösztönzőleg hat: befizetéseit és annak hozamait nyomon tudja követni az „egyéni számláján” A demográfiai folyamatokra kevésbé érzékeny: figyelembe veszi az aktuális várható élettartamot

Esettanulmány (I.) Mennyit kell félretennünk havonta, ha magunk szeretnénk biztosítani a teljes nyugdíjunkat? Most csak az alábbi paraméterek: m: mennyi idő múlva akarunk „nyugdíjba menni” n: mennyi időre akarjuk biztosítani a nyugdíjunkat B: mekkora havi nyugdíjat akarunk Havi fix, reálértelemben, azaz mai árszínvonalon r: mekkora hozam mellett tudjuk megtakarításainkat befektetni Most: kockázatmentes hozam, reálértelemben → A: mekkora havi összeget kell félretennünk Havi fix, reálértelemben, tehát mindig inflációval növeljük a megtakarításokat (reméljük, bérünk is legalább inflációval emelkedik...)

Esettanulmány (II.) Nézzük, hogyan alakul megtakarításaink összértéke (M): Most, azaz a 0. hónap elején helyezzük el az első összeget 0. hónap vége: M0 = A 1. hónap vége: M1 = A*(1+r) + A 2. hónap vége: M2 = A*(1+r)2 + A*(1+r) + A m. hónap vége: Mm = A*(1+r)m + A*(1+r)m-1 + … + A Egy mértani sor, tehát: 𝑀 𝑚 =𝐴 1− 1+𝑟 𝑚+1 1− 1+𝑟 =𝐴 1+𝑟 𝑚+1 −1 𝑟

Esettanulmány (III.) Az m. hónap végén kapjuk az utolsó fizetést, ebből helyezzük el az utolsó megtakarítást és élünk meg az m+1. hónapban, utána kezdjük el felélni a megtakarításokat Feltételezzük, hogy mindig hó elején, egyben felvesszük az adott hónapra vonatkozó összeget – tehát az első felvét az m+1. hónap végén, az utolsó felvét pedig az m+n-1. hónap végén van (ez utóbbit költjük el az m+n. hónap során) A pénzáramprofilunk tehát az alábbi: … A B 1 2 m-2 m-1 m m+1 m+2 m+n m+n-2 m+n-1

Esettanulmány (IV.) Megtakarításink összértéke tehát a továbbiakban a következőképp alakul: m+1. hónap vége: Mm+1 = Mm*(1+r) – B m+2. hónap vége: Mm+2 = Mm+1*(1+r) – B = Mm*(1+r)2 – B*(1+r) – B Hiszen az el nem költött megtakarítások tovább kamatoznak… m+3. hónap vége: Mm+3 = Mm+2*(1+r) – B = Mm*(1+r)3 – B*(1+r)2 – B*(1+r) – B m+n-1. hónap vége: Mm+n-1 = Mm*(1+r)n-1 – B*(1+r)n-2 – B*(1+r)n-3 – … – B

Esettanulmány (V.) 𝐴=𝐵 1− 1+𝑟 −𝑛+1 1+𝑟 𝑚+1 −1 A B-s tagok egy mértani sort alkotnak, tehát: Mivel csak m+n-ig akarjuk biztosítani a megélhetésünket, így az előtte való periódusig kell, hogy kitartsanak a megtakarításaink, tehát az Mm+n-1 = 0 egyenletet kell megoldanunk A-ra (átrendezés és egyszerűsítések után): 𝑀 𝑚+𝑛−1 =𝐴 1+𝑟 𝑚+1 −1 𝑟 1+𝑟 𝑛−1 −𝐵 1+𝑟 𝑛−1 −1 𝑟 𝐴=𝐵 1− 1+𝑟 −𝑛+1 1+𝑟 𝑚+1 −1