15. Az inflációs díjemelés és a többlethozam-visszatérítés számítása

Az előadások a következő témára: "15. Az inflációs díjemelés és a többlethozam-visszatérítés számítása"— Előadás másolata:

1 15. Az inflációs díjemelés és a többlethozam-visszatérítés számítása
Banyár József 15. Az inflációs díjemelés és a többlethozam-visszatérítés számítása Banyár József: Életbiztosítás 15. Életbiztosítás

2 A nyereségrészesedési rendszertől független díjemelési rendszer
Banyár József A nyereségrészesedési rendszertől független díjemelési rendszer Mennyivel emelkedik a biztosítási összeg? Két lehetőség: normál tarifa szerint, mintha egy teljesen új biztosítást kötne a szerződő; Mint az előző fejezetben szó volt róla, a legtöbb biztosító minden biztosítási évfordulókor lehetővé teszi a szerződőnek, hogy az előző naptári év inflációs rátája (vagy annak bizonyos százaléka) mértékében emelje az előző évi díjat, és ettől függő mértékben a biztosítási összeget. (Előző éven azt a legutolsó naptári évet értjük, amelyről hivatalos inflációs ráta áll rendelkezésre például ezért x. év januárjában az "előző" év lehet x-2 is) Ezt a lehetőséget a biztosító csak bizonyos inflációs ráta (például 10%) felett szokta felkínálni az ügyfélnek. Nyilvánvaló, hogy a díjnövelési lehetőség eleve csak a rendszeres díjas biztosításokra vonatkozik. A díjemelkedés mértéke tehát adott. De mennyivel emelkedik a biztosítási összeg? Ennek kiszámítására alapvetően kétféle lehetőség adódik. Mindkét lehetőségben közös, hogy a biztosító a többletdíjat, mint egy új biztosítás éves díját tekinti, a különbség abban van, hogy ezt az új biztosítást milyen tarifa szerint számolja. A két lehetőség: normál tarifa szerint számol a biztosító, tehát mintha egy teljesen új biztosítást kötne a szerződő; kedvezményes tarifa szerint számol. A kedvezmény felső határa természetesen az, hogy a biztosító nettó díjon adja a megnövelt biztosítást. kedvezményes tarifa (de legalább a nettó díj) szerint számol. Banyár József: Életbiztosítás 15. Életbiztosítás

3 Banyár József: Életbiztosítás 15.
az új díj: a díjtöbblet a biztosítási összeg növekménye: Jelöljük a t-edik biztosítási év elején fizetendő éves díjat-vel. Az "előző" évi inflációs rátát k-val jelölve, és feltételezve, hogy ilyen mértékben engedi a biztosító a díjat emelni, az új díj: (15.1.) vagyis a díjtöbblet: (15.2.) Ha feltételezzük, hogy a biztosító az első módszert alkalmazza (nem ad kedvezményt), és a bruttó éves díjakat 1 Ft biztosítási összegre -el jelöljük, akkor a biztosítási összeg növekménye: (15.3.) ahol , és ahol St a t-edik biztosítási év folyamán érvényes biztosítási összeg. Banyár József: Életbiztosítás 15. Életbiztosítás

4 Banyár József: Életbiztosítás 15.
…ha a zillmerezés miatt a tartam egy bizonyos részén nem kell más díjtartalék képletet használni Ha a zillmerezés miatt a tartam egy bizonyos részén nem kell más díjtartalék képletet használni, akkor a t-edik év végi díjtartalékot (a díj beérkezése előtt) egyszerűen az alábbi képlettel számolhatjuk ki: (15.4.) ahol PZ a "tartalék-", vagy "zillmer"-díj, tehát az a nettó díj, amely évről évre a tartalékba kerül. Tartalmilag nem ide tartozik, de a technikai kivitelezés hasonlósága miatt itt kell megemlíteni az ún. Garanted Insurability Option-t, vagy röviden GIO-t, amit magyarul "választható díjnövelés opció"-nak (garantált biztosíthatóság) nevezhetünk. Az ezzel az opcióval rendelkező szerződő bizonyos időszakonként (például 3 évente) az inflációs díjemelésen felüli díjemelési lehetőséget kap, ami nem az infláció kompenzálását célozza, hanem a tartósan megjavult anyagi helyzetből adódó megnövekedett biztosítási szükséglet fedezését. A GIO miatti díjnövelés technikailag ugyanúgy történik, mint ahogyan azt fent leírtuk. GIO Banyár József: Életbiztosítás 15. Életbiztosítás

5 A díjemelési rendszertől független nyereségrészesedési rendszer
Banyár József A díjemelési rendszertől független nyereségrészesedési rendszer a többlethozam (h’): Az ügyfélnek járó rész (h’’): A díjtartalék technikai kamatlábon felüli hozamának nagyobbik részét a biztosító általában nyereségrészesedésként juttatja vissza az ügyfélhez. A visszajuttatás mértéke - akárcsak a technikai kamatlábaké - biztosítótársaságonként eltérő. Ha a technikai kamatlábat i-vel jelöljük, a díjtartalék éves hozamát pedig h-val, akkor a többlethozam (h’) (15.5.) Például A technikai kamatláb: 5% A többlethozam ügyfélnek járó része: % Hozam: % Ekkor az ügyfélnek járó többlethozam-százalék mértékét h’’-el jelölve az nem más, mint az előző évi átlagos díjtartalék alábbi százaléka: (15.6.) Összesen a biztosítóé a hozamból: 0,1.(10 - 5) = 0,5% Összesen az ügyfélé a hozamból: 5% + 4,5% = 9,5% Banyár József: Életbiztosítás 15. Életbiztosítás

6 A biztosítások "időszámítása" különbözik a befektetésekétől.
Banyár József A biztosítások "időszámítása" különbözik a befektetésekétől. A nyereségrészesedést az előző naptári év átlagos díjtartalékára szokták vetíteni. ahol: Ezt a többlethozamot alapvetően kétféleképpen adhatja vissza a biztosító: "számlát" nyit az ügyfélnek, és erre helyezi évről évre ezt a nyereségrészesedést, és ott a díjtartalékkal együtt kamatoztatja, egy egyszeri díjas biztosítás egyszeri díjának tekinti, s ezért hozzáadja a díjtartalékhoz, és emeli a biztosítási összeget. Az első módszerről matematikailag nincs sok mondanivaló, ezért csak a másodikkal foglalkozunk. Itt mindjárt találkozunk egy problémával. A biztosítások "időszámítása" különbözik a befektetésekétől. Nevezetesen, ha például egy biztosítást március 24-én kötöttek, akkor a "biztosítási" év március 24-től, március 23-ig terjed. A befektetések eredményét azonban naptári évenként szokták számba venni, és a többleteket a szerződések között szétosztani. Ezért problémát jelent, hogy mi legyen a nyereségrészesedés alapja egy-egy szerződés esetében? Ez az alap általában az előző naptári év átlagos díjtartaléka. Tegyük fel, hogy a biztosításnak az előző naptári évben (amelyre vonatkozó nyereségrészesedés összegére vagyunk kíváncsiak) volt a t-edik biztosítási évfordulója (akkor ért véget a t-edik biztosítási év). Az előző naptári év elejétől a t-edik biztosítási évfordulóig  (töredék)év telt el. Ekkor a (nyereségrészesedés nélküli) átlagos évi díjtartalék a naptári év eleji és a naptári év végi díjtartalék egyszerű számtani átlaga lesz. A naptári év eleji díjtartalék: (15.7.) a naptári év végi díjtartalék pedig: (15.8.) A naptári év átlagos díjtartaléka ezért: (15.9.) Banyár József: Életbiztosítás 15. Életbiztosítás

7 Banyár József: Életbiztosítás 15.
a(z ügyfélnek járó) többlethozam a bónusz biztosítási összeg növekedése: A fentiekben természetesen látensen feltételeztük, hogy nem a vizsgált naptári évben keletkezett, illetve jár le a szerződés, és hogy a biztosítás éves díjfizetésű (innen a P korrekciós tényező a biztosítási év eleji díjtartalékban) rendszeres díjas biztosítás. Az első és utolsó töredékév esetében a díjtartalékok arányos részét szokták venni, az egyszeri díjas biztosításoknál pedig a fenti képletből egyszerűen hiányoznak a P tagok. A már korábban kiosztott nyereségrészesedések díjtartalékát a fenti módon interpoláljuk, és hozzáadjuk a nyereségrészesedés alapjához. A biztosító az így kiszámított átlagos díjtartalék után adja a nyereségrészesedést, amelynek mértéke h’’. Vagyis a(z ügyfélnek járó) többlethozam nem más, mint: (15.10.) De ez a többlethozam közvetlenül az ügyfél díjtartalékát gyarapítja a következő naptári év elejétől. Viszont nem tudjuk, hogy mennyivel emelkedik a biztosítási összeg. A biztosítók a nyereségrészesedést általában nettó díjas tarifával, vagyis költségek felszámítása nélkül szokták átváltani biztosítási összegre. Mivel azonban a naptári év elejétől a tartamból hátralévő évek száma nem egész szám, a nettó egyszeri díjakat is interpolálni kell a naptári év elejére. Mivel az adott naptári év eleje a t-edik és a t+1-edik biztosítási évforduló közé esik, ezért az és az egyszeri díjakat kell interpolálni. Az interpolált egyszeri díj ezért: (15.11.) Ennek megfelelően a bónusz biztosítási összeg növekedése (dBS) a naptári évfordulótól az alábbi: (15.12.) ahol: Banyár József: Életbiztosítás 15. Életbiztosítás

8 Banyár József: Életbiztosítás 15.
Integrált díjemelési és nyereségrészesedési rendszer – a revalorizációs technika a többlethozam százalék pontosan azt mutatja meg, mennyivel emelkedik a díjtartalék. Ha tehát ez a százalék a díjemelés mértéke is, akkor a díjemelés következtében és a nyereségrészesedés következtében előálló biztosítási összeg-emelkedés pontosan a többlethozam-százalék mértékére egészíti ki egymást. A fenti két inflációkezelési megoldást együtt, de technikailag egymástól függetlenül szokták alkalmazni. Beszéltünk azonban egy olyan technikáról, amelyik integrálja a két módszert, és amelynek az az előnye a fentiekhez képest, hogy - szemben az egymástól függetlenül alkalmazott nyereségrészesedéssel és díjemeléssel - itt minden fontos mennyiség - díj, díjtartalék, biztosítási összeg, - ugyanolyan mértékben emelkedik, és ez a mérték a biztosító által az ügyfélnek visszajuttatott többlethozam-százalék. Ezt a technikát hívjuk "revalorizációs" technikának. A revalorizációs technikának az a felismerés az alapja, hogy ha valamely biztosítási évfordulón emeljük a díjat x%-kal, akkor a biztosítási összeget azért nem tudjuk ilyen, csak ennél kisebb mértékben emelni (például a vegyes biztosítás esetében, ahol leggyakrabban alkalmazzák ezt a technikát), mert a díjtartalékból hiányzik a rész, amelyet az x%-os biztosítási összeg-többlet után a biztosítás kezdetétől kezdve kellett volna felhalmozni. A hiány pontosan az addigi díjtartalék x%-a. S itt jön be a revalorizációs technika, amely azt mondja, hogy a többlethozam százalék pontosan azt mutatja meg, mennyivel emelkedik a díjtartalék. Ha tehát ez a százalék a díjemelés mértéke is, akkor a díjemelés következtében és a nyereségrészesedés következtében előálló biztosítási összeg-emelkedés pontosan a többlethozam-százalék mértékére egészíti ki egymást. Természetesen a kép csak első megközelítésben ilyen egyszerű, ha megvizsgáljuk a részleteket, akkor sok problémát találunk. Az alábbiakban ezért nem tárgyaljuk részletesen a revalorizációs technika minden egyes problémáját, csak az alapokat. Banyár József: Életbiztosítás 15. Életbiztosítás

9 Banyár József Egyszerűsítések: 1. A pótlékok a tartam során változatlanok, vagyis a nettó díj minden esetben ugyanolyan mértékben nő, mint a bruttó díj. 2. A díjtartalékot nem zillmerezzük. 3. A nyereségrészesedést nem naptári, hanem biztosítási évenként osztjuk. Néhány egyszerűsítést alkalmazunk. A nettó díjakhoz minden egyes kor-tartam kombináció esetében ugyanazokat a (nettó díj százalékában meghatározott nagyságú) pótlékokat adjuk hozzá, vagyis a nettó díj minden esetben ugyanolyan mértékben nő, mint a bruttó díj. A díjtartalékot nem zillmerezzük. A nyereségrészesedést nem naptári, hanem biztosítási évenként osztjuk. Ez a biztosító számára vet fel technikai problémát, nevezetesen, hogy minden pillanatban tudnia kell az aktuális befektetési hozamot. Ennél sokkal súlyosabb probléma - s emiatt nem lehet minden további nélkül ezt a módszert alkalmazni - az ügyfelek azon követelése, hogy hitelesített nyereségadatok alapján számítsák ki a nekik járó többlethozamot. Ilyen hitelesített adatok pedig rendszerint csak a naptári évre vonatkozóan, annak zárása után néhány hónappal állnak a biztosító rendelkezésére. A többlethozam alapja nem az évi átlagos, hanem a naptári év végi díjtartalék. 4. A többlethozam alapja nem az évi átlagos, hanem a naptári év végi díjtartalék. Banyár József: Életbiztosítás 15. Életbiztosítás

10 Banyár József: Életbiztosítás 15.
Bebizonyítjuk, hogy a fenti feltételek mellett a nyereségrészesedés és a díjemelés révén keletkezett biztosítási összeg-emelkedés mértéke tényleg megegyezik az ügyfélnek járó többlethozam (h’’) mértékével Először be kell bizonyítanunk, hogy a fenti feltételek mellett a nyereségrészesedés és a díjemelés révén keletkezett biztosítási összeg-emelkedés mértéke tényleg megegyezik az ügyfélnek járó többlethozam (h’’) mértékével. A bizonyítást az első emelésre, illetve nyereségosztásra végezzük el. Ha az első évi nettó díjat P1-el jelöljük, ahol - mint tudjuk - (15.13.) akkor a második évi díj: (15.14.) Ekkor a díjnövekedés miatti biztosítási összegemelkedés, (itt használjuk ki a pótlékok egyenlőségére tett feltevést, ezért számolhatunk tovább nyugodtan nettó díjakkal): (15.15.) Ekkor: Banyár József: Életbiztosítás 15. Életbiztosítás

11 Banyár József: Életbiztosítás 15.
A nyereségrészesedés miatti biztosítási összegemelkedés: A bizonyítandó tehát az, hogy: A nyereségrészesedés miatti biztosítási összegemelkedés pedig (itt azt a feltevést használjuk ki, hogy a nyereségrészesedés alapja az év végi díjtartalék): (15.16.) A bizonyítandó tehát az, hogy: (15.17.) Banyár József: Életbiztosítás 15. Életbiztosítás

12 Banyár József: Életbiztosítás 15.
S-el leosztva, és a zárójeleket felbontva, az egyszerűsítéseket elvégezve az alábbi egyenletet kapjuk: S-el leosztva, és a zárójeleket felbontva, az egyszerűsítéseket elvégezve az alábbi egyenletet kapjuk: (15.18.) S mivel itt a két ellentétes előjelű tag kiejti egymást, a egyenletet kapjuk, vagyis bebizonyítottuk az állítást. Mint mondtuk, nem kívánunk további részletekbe belemenni, ezért csak azt említjük meg, hogy mi történik, ha az egyik évfordulókor az ügyfél visszautasítja a díjemelést, illetve annak csekély mértéke miatt a biztosító nem ajánlja fel ezt a lehetőséget. Ebben az esetben az a legcélszerűbb, ha a mégis keletkezett nyereségrészesedés elhelyezésére a számlás módszert választják a fenti két módszer közül, mert ez nem "rontja el" a revalorizáció későbbi években történő alkalmazásának lehetőségét. mivel itt a két ellentétes előjelű tag kiejti egymást: Banyár József: Életbiztosítás 15. Életbiztosítás