Kamatszámítás

A mértani sorozatok alapvető szerepet játszanak a kamatszámítások, törlesztőrészlet-számítások, biztosítások, járadékszámítások matematikai problémáiban. Valójában az ún. pénzügyi matematika a matematikán belül már régen önálló területté vált. A témakörben sok olyan kifejezés van, melyekkel gyakran találkozunk a mindennapi életben, használjuk őket, sokszor anélkül, hogy jelentésükkel pontosan tisztában lennénk. Először ezekkel a fogalmakkal ismerkedünk meg.

A tőke a továbbiakban mindig a befektetett (kezdeti) pénzösszeget fogja jelenteni. A kamat az a pénzösszeg, amelyet adott idő elteltével vagy adott időközönként a befektetetőnek fizet az, akinek a pénzt kölcsönadták. A kamatláb (általában p-vel) jelölik egy %-ban adott szám, amely azt fejezi ki, hogy a kamat hány százaléka a befektetett összegnek. p= 𝑘𝑎𝑚𝑎𝑡 𝑡ő𝑘𝑒 *100 A napi szóhasználatban a kamat és a kamatláb kifejezések gyakran összemosódnak, mivel a kamat szót kamatláb értelemben használják: „12 %-os évi kamatra felvett kölcsön”. Van amikor ez az összemosódás nem okoz félreértést, de komoly zavar forrása is lehet. Tőkésítésnek nevezik azt, amikor egy időszak végén a kamatot a tőkéhez csatolják. (kamatjóváírás kifejezést is használják) Ez után már a következő időszakban a kamattal megnövelt tőke kamatozik tovább. Ezt kamatoskamat-számításnak nevezzük. Tehát a tőkésítés utáni pénzösszeg: tőke*(1+ 𝑝 100 )n Az egyenlő részletekben történő törlesztést annuitásnak nevezik.

Feladatok 1. Év elején 2 millió forintot beteszünk egy bankba, évi 10 %-os kamatláb mellett. Mennyi pénzünk lesz 5 év elteltével, ha minden év végén tőkésítenek? Hány %-kal több ez a betett összegnél? 2. 1626-ban az indiánok 26 dollár értékű üveggyöngyért eladták Manhattan szigetét a holland telepeseknek. Ezt sokszor úgy emlegetik, mint a világ legrosszabb üzletét. Tételezzük fel, hogy befektették volna az összeget évi átlagosan 6 %-os kamatláb mellett. Mennyi pénzük lenne 2010-ben? 3. Tíz éven keresztül minden év elején 100000 forintot helyezünk el egy bankban, ahol az éves kamatláb 8 %. Mennyi pénzt vehetünk fel a tizedik év leteltével? 4. Egyszer 507000 forintot tettünk be a bankba, a kamatláb mindvégig évi 12 % volt, és a futamidő végén 1 millió forintot vehettünk fel. Hány évig kamatozott a pénz, ha a kamatjóváírás évenként történt? (Az eredményt egész számra kerekítve adjuk meg!) 5. Új lakást vásárolunk, amelyhez 10 millió forint összegű kedvezményes, évi 6 %-os kamatlábbal rendelkező lakáshitelt veszünk fel 20 év futamidőre. A kölcsön törlesztése havonként történik, a hónap végén. Mennyi lesz a havi törlesztőrészlet, ha a kamatláb közben végig ugyanakkora marad?

Ha bevezetjük az r = 𝑝 100 , A jelöli a felvett hitelösszeget, n pedig a kamatlábhoz tartozó futamidőt, akkor a törlesztőrészlet: x = A * 𝑟 1 − 1 (1+𝑟) 𝑛 Ide kapcsolódik az ún. életjáradék és a nyugdíj kérdése. Ekkor egy adott összegből havonta fizetnek ki egyenlő összegeket, miközben a megmaradt pénz tovább kamatozik. A kifizetések száma nincs meghatározva. Könnyű meggondolni, hogy a probléma szoros kapcsolatban áll a törlesztőrészlet kérdésével. Ha feltételezzük, hogy a havi kamatláb állandó, akkor lim 𝑛→∞ 1 (1+𝑟) 𝑛 = 0 miatt a havi összeg x = A*r. Pl. Egy 8 millió forintos megtakarítást életjáradékra váltunk át úgy, hogy a havi kamatláb 0,6 %, akkor a járadék havi összege 48000 Ft lesz.

Beadandó házi feladat Bankba raktunk 500000 forintot 10 évre, 12%-os kamatláb mellett. Tegyük fel, hogy évi 9 %-os az árszínvonal emelkedése átlagosan (infláció). A 10. év végén hányszorosa a bankból kivett pénz vásárlóértéke a 10 évvel korábbinak? Minden év elején 250000 forintot helyezünk el egy bankban 6 éven át. Mennyi pénzünk lesz a hatodik év végén, ha az éves kamatláb 9 %? Nyugdíjpénztári befizetéseink eredményeképpen 4 millió forintunk gyűlt össze. Az összeget egy 20 év futamidejű járadékra váltjuk, ahol a kifizetések évente történnek. Mekkora éves járadékot kapunk, ha feltételezzük, hogy a futamidő végéig évi 12 %-os átlagos hozamot ér el a pénztár? Egy gépsor értéke új korában 17 millió forint. Évenként 12 %-os értékcsökkenéssel számolva mikor kerül a gépsor értéke 8 millió forint alá? Egy bank 10 %-os kamatra 3 millió forintos hitelt kínál, 15 éves futamidővel. A hitel felvétele után egy évvel kell elkezdenünk a törlesztést, egyenlő havi részletekben. A tőkésítés évente történik. Határozzuk meg a törlesztőrészlet értékét?