Műveletek, függvények és tulajdonságaik Mátrix struktúrák: MÁtrix Algebra Definíció Műveletek, függvények és tulajdonságaik Mátrix struktúrák: vektortér (n x m) gyűrű (n x n)

Miért fontos? Legtöbb adatot mátrixokban (tömbökben) tárolnak Ezen adatokkal végzett műveletek a statisztikai elemzések alapjai Fizikában többféle mátrix/tenzor ismeretes Mozgások leírás – számítógépes grafika Mátrixok hiányában bonyolult szummajeles műveletsorokkal kellene számolnunk

MÁTRIXOK - JELÖLÉS

DefinÍCIÓK számokat skalároknak hívjuk (2018, 2014) mátrix: n x m (= méret, típus) táblázat spec.: négyzetes: n=m spec.: sorvektor: 1 x n , oszlopvektor: n x 1

MÁTRIXOK EGYENLŐSÉGE Két mátrix egyenlő, ha méretük/típusuk azonos (ugyanannyi sora és oszlopa van mindegyiknek - az azonos pozíciójú elemek egyenlők: A = B, acsa ha aik=bik

sPECIÁLIS MÁTRIXOK Diagonális mátrix (n x n): Trace-nyom:

MÁTRIX MŰVELETEK Transzponálás Összeadás Szorzás

TRANSZPONÁLÁS A → AT Főátlóra tükrözzük a mátrix elemeit vagyis az i. sorból i. oszlop lesz aik→aki

TRANSZPONÁLT TULAJDONSÁGAI

Speciális tulajdonságú mátrixok: Szimmetrikus mátrix: A = AT Ferdén szimmetrikus mátrix: A = - AT Példa: szimmetrikus, adja meg az a, b, c értékékeket! MO:

Ferdén szimmetrikus mátrix A = - AT ferdén szimmetrikus, adja meg az a, b, c értékékeket! Példa: MO:

Összeadás Akkor végezhető el, ha a két mátrix mérete egyenlő Egyszerűen össze kell adni a megfelelő pozíción áll elemeket: cik=aik+bik  C=A + B + =

ÖSSZEADÁS: Ahol: Kérdések: Kommutatív? A+B=B+A ↔ aik+bik = bik + aik  

ÖSSZEADÁS: Kérdések: Kommutatív? Asszociatív? Ahol: Kérdések: Kommutatív? Asszociatív? (A+B)+C=A+(B+C) ↔ (aik+bik)+cik = aik + (bik + cik)

ÖSSZEADÁS: Kérdések: Kommutatív? Asszociatív? Van egység elem? Ahol: Kérdések: Kommutatív? Asszociatív? Van egység elem? A + EGYSÉG = A? ↔ aik + eik = aik Az összeadás egységelemét nullmátrixnak hívjuk +

ÖSSZEADÁS: Kérdések: Kommutatív? Az összeadás inverzelemét Ahol: Kérdések: Kommutatív? Asszociatív? Van egység elem? Van inverz elem? Az összeadás inverzelemét ellentett mátrixnak hívjuk = + A + INVERZ=Egység ↔ aik + invik = eik

A mátrix összeadás tulajdonságai: . Az összeadásban a mátrixok felcserélhetők: A+B=B+A ↔ aik+bik = bik + aik . Az összeadásban a mátrixok csoportosíthatók: (A+B)+C=A+(B+C) ↔ (aik+bik)+cik = aik + (bik + cik) . Minden A mátrixra és a 0 nullmátrixra igaz, hogy A + 0 = A ↔ aik +0 = aik . Minden A mátrixhoz létezik az A’ ellentett mátrix, amelyre A+A’= 0 ↔ aik + (-aik)= 0

n x m típusú MÁTRIXOK STRUKTÚRÁJA I. A mátrix összeadás tulajdonságai: 1. Az összeadásban a mátrixok felcserélhetők 2. Az összeadásban a mátrixok csoportosíthatók . Van egységelem (a nullmátrix) . Minden A mátrixhoz létezik az A’ inverz (ellentett) mátrix  Az n x m-es mátrixok az összeadásra nézve kommutatív csoportot alkotnak.

KOMMUTATÍV CSOPORT TULAJDONSÁGOK 1. KOMMU- TATÍV 3. Van EGYSÉG 4. Van INVERZ 2. ASSZOCI-ATÍV

MÁtrix SZÁMSZOROSA Legyen λR. Az m x n-s A mátrix λ számszorosa az a B mátrix, melynek elemei: bik= λaik λ A =B Példa: Adja meg az alábbi AT mátrix kétszeresét! Megoldás:

MÁtrix SZÁMSZOROSA Az adott számmal a mátrix minden elemét megszorozzuk a számmal: PÉLDA: Kérdések: 1A=? Igaz-e hogy (αµ) A= α(µA)? Igaz-e, hogy (α+µ)A= αA+µA? Igaz-e, hogy α(A+B)= αA+ αB?

n x m típusú MÁTRIXOK STRUKTÚRÁJA II. Kérdések és válaszok az összeadás tulajdonságaira: Kommutatív? Igen, igaz: A + B = B + A Asszociatív? Igen, igaz: (A + B) + C= A + (B + C) Van null elem? Igen, A + O = A Van inverz? Igen, A + (-A)=O –A elemei az A elemeinek ellentettjei (másképpen –A= (-1)A) A 3-ra KOMMUTATÍV CSOPORT Kérdések és válaszok a számszoros (FÜGGVÉNY!) tulajdonságaira: Igazak az alábbiak: 1A=A Vegyes asszociativitás: (αµ) A= α(µA) Vegyes disztributivitás: (α+µ)A= αA+µA Vegyes disztributivitás: α(A+B)= αA+ αA Az n x m méretű mátrixok a 3 műveletre és a számszorosra nézve VEKTORTERET alkotnak.

Vektorok skalárszorzata=eblső szorzata

MÁtrixOK SZORZÁSA és VEKTOROK SKALÁR(IS) SZORZATA

Szorzás általában

Szorzás Szorzás

Szorzás

Szorzás

Szorzás

Szorzás

Szorzás

MÁtrixOK SZORZÁSA PÉLDA szorzandó ↓ 17=40+ 51+6 2=5+12

Vektorok ún. külső szorzata Vektor c (n x 1)

MÁTRIXOK SZORZÁSA

MÁTRIXOK SZORZÁSA-PÉLDA

MÁtrixOK SZORZÁSA Ahhoz, hogy össze lehessen szorozni két mátrixot, az ELSŐ mátrixnak annyi oszlopa kell hogy legyen, ahény sora a MÁSODIKNAK! A . B = C (m  n)  (n  p) = (m  p) AB mérete

MÁtrixOK SZORZÁSA AB mérete

EGY NÉPSZERŰ MÁTRIX:

MÁtrixOK SZORZÁSA Megjegyzés: Mátrix mindig szimmetrikus

NÉGYZeteS MÁtrixOK SZORZÁSA Négyzetes mátrixok hatványai: Diagonális mátrixok hatványai: Fentiek miatt van értelme mátrix polinomoknak is (később)

MÁTRIX SZORZÁS TULAJDONSÁGAI AB ÁLTALÁBAN nem egyenlő BA Elképzelhető, hogy BA –t nem is lehet végrehajtani: Az is lehet, hogy „fordítva” is végrehajtható, de mérete más lesz: A  B = C (2  3)  (3  2) = (2  2) B  A = D (3  2)  (2  3) = (3  3)

MÁTRIX SZORZÁS NEM KOMMUTATÍV Példa:

MÁTRIX egyenletek Egyenletrendezés valós számok esetében: Mátrixoknál: Ha C INVERTÁLHATÓ (később erre visszatérünk), akkor A = B

MÁTRIX egyenletek Példa: DE:

MÁTRIXOK SZORZÁSÁNAK TULAJDONSÁGAI Ha végrehajtható, akkor a mátrix szorzás ASSZOCIATÍV A(BC) = (AB)C Érvényes a disztributív szabály: A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC

Definíció: Az R gyűrű olyan halmaz, amin két művelet van értelmezve. A + és *, amelyek a követlező tulajdonságokat teljesítik: 1. (R,+) kommutatív csoport 2. * asszociatív 3. A disztributív szabály igaz : (a + b) * c = (a * c) + (b * c) a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

NÉGYZETES MÁTRIXOK STRUKTÚRÁJA Mivel a mátrixok a fent definiált összeadásra nézve - kommutatív csoportot alkotnak Továbbá a - szorzás asszociatív - a szorzás disztributív az összeadásra nézve A négyzetes mátrixok a szokásos + és * műveletekre nézve ún. GYŰRŰT alkotnak.

MÁTRIXOK SZORZÁSÁNAK TULAJDONSÁGAI AB ≠ BA nem érvényes Ha végrehajtható, akkor a mátrix szorzás ASSZOCIATÍV A(BC) = (AB)C Érvényes a disztributív szabály: A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC Négyzetes mátrixokra van egység, EA=AE

MÁTRIXOK INVERZE A = A=E = E= (AA*)=( A)A*=EA*=A* Ha egy műveletre vonatkozóan létezik egység, értelmes kérdés, van-e inverz? Definíció: Az A négyzetes mátrix inverzének nevezzük azt a -gyel jelölt (n x n-es) mátrixot, amelyre: A = A=E Ha egy művelet asszociatív, akkor az inverz egyértelmű: = E= (AA*)=( A)A*=EA*=A*

ELNEVEZÉSEK SZORZÁSRA vonatkozó egységét EGYSÉGMÁTRIXNAK, A négyzetes mátrix SZORZÁSRA vonatkozó egységét EGYSÉGMÁTRIXNAK, inverzét (ekkor A négyzetes) INVERZ mátrixnak, ÖSSZEADÁSRA vonatkozó egységét NULLMÁTRIXNAK inverzét ELLENTETT mátrixnak nevezzük.