Binomiális fák elmélete Készítette: Mihajla Beáta

Az opciók vagy más származtatott termékek árazásának hasznos és nagyon népszerű módszere a binomiális fa szerkesztésén alapszik. Ez egy olyan fa, amely a származtatott termék futamideje alatt az alaptermék árfolyama által követhető lehetséges utakat jeleníti meg.

Egyperiódusú binomiális fák Osztalékot nem fizető részvény árfolyama S Származtatott termék ára f Termék árfolyama a futamidő alatt Sd-re csökkenhet vagy Su-ra növekedhet (u>1; d<1) Ha Su-ra növekszik a termékből eredő kifizetés fu, ha Sd-re csökken, akkor fd.

𝑆 𝑢 𝑓 𝑢 𝑆 𝑓 𝑆 𝑑 𝑓 𝑑

Egyperiódusú binomiális fák Egy olyan portfóliót kell magunk elé képzelni, amely mennyiségű részvényben hosszú és egy származtatott termékben való rövid pozícióból áll. Portfólió kockázatmentes legyen. A portfólió akkor kockázatmentes, ha  értékét úgy választjuk meg, hogy a portfólió végső értéke ugyanakkora mindkét lehetséges részvényárfolyam esetén.

Egyperiódusú binomiális fák Ha a részvény árfolyama felfelé mozdul el, a származtatott termék futamideje végén a portfólió értéke: 𝑆 𝑢 − 𝑓 𝑢 Ha lefele 𝑆 𝑑 − 𝑓 𝑑 A két érték egyenlő, ha 𝑆 𝑢 − 𝑓 𝑢 = 𝑆 𝑑 − 𝑓 𝑑

Egyperiódusú binomiális fák Ebből kifejezhető a delta = 𝑓 𝑢 − 𝑓 𝑑 𝑆 𝑢 − 𝑆 𝑑 A  tehát a származtatott termék és a részvény árváltozásának a hányadosa, amikor a T időpontban a fa két csúcspontja között mozgunk.

Egyperiódusú binomiális fák Ez esetben a portfólió kockázatmentes és a kockázatmentes kamatlábat kell nyereségként biztosítania. Ha a kockázatmentes kamatláb r, a portfólió jelenértéke: (𝑆 𝑢 − 𝑓 𝑢 )𝑒 −𝑟𝑇 A portfólió létrehozásának költsége S−𝑓 𝑆 −𝑓= (𝑆 𝑢 − 𝑓 𝑢 )𝑒 −𝑟𝑇

Egyperiódusú binomiális fák p - a részvényárfolyam felfelé való elmozdulásának valószínűségét mutatja 𝑝= 𝑒 −𝑟𝑇 −𝑑 𝑢−𝑑 A fenti egyenleteket rendezve 𝑓= 𝑒 −𝑟𝑇 [𝑝 𝑓 𝑢 + 1−𝑝 𝑓 𝑑 ] Ez az egyenlet lehetővé teszi, hogy az egyperiódusú binomiális modell segítségével árazzunk egy származtatott terméket.

Példa A jelenlegi részvényárfolyam 20 dollár, és tudjuk, hogy három hónap múlva az árfolyam vagy 22 dollár vagy 18 dollár lesz. Feltesszük, hogy a részvény nem fizet osztalékot, mi pedig egy európai vételi opciót szeretnénk értékelni, amellyel 21 dollárért vehetjük meg a részvényt három hónap múlva. Ez az opció a harmadik hónap végén a lehetséges két értéke közül az egyiket fogja érni. Ha a részvény árfolyam 22 dollár lesz, az opció értéke 1 dollár, ha a részvény árfolyam 18 dollár lesz, az opció értéke nulla. 𝑆 𝑢 =22 𝑓 𝑢 =1 𝑆 𝑓 =20 𝑆 𝑑 =18 𝑓 𝑑 =0

Egyperiódusú binomiális fák Példa Az egyetlen feltételezés, amelyre szükségünk van, az az, hogy nem adódik arbitrázslehetőség a befektető számára. 22-1=18 =0,25 Ha a részvényárfolyam 22-re nő, a portfólió értéke 22*0,25-1=4,5 Ha a részvényárfolyam 18-ra csökken, a portfólió értéke 18*0,25=4,5

Egyperiódusú binomiális fák Tegyük fel, hogy esetünkben a kockázatmentes kamatláb évi 12% (=r) T=0,25 u=1,1 d=0,9 𝑓 𝑢 =1 𝑓 𝑑 =0 𝑝= 𝑒 0,03 −0,9 1,1−0,9 =0,6523 A 𝑓= 𝑒 −𝑟𝑇 [𝑝 𝑓 𝑢 + 1−𝑝 𝑓 𝑑 ] egyenletet alkalmazva pedig 𝑓= 𝑒 −0,03 0,653∗1+0,3477∗0 =0,633

Egyperiódusú binomiális fák 𝑓=0,633 Ez azt mutatja, hogy az arbitrázslehetőségek hiányában az opció mostani értékének 0,633 dollárnak kell lennie. Ha magasabb lenne, a portfólió a kockázatmentes kamatlábnál nagyobb nyereséget biztosítana

Kétperiódusú binomiális fák Két időszak Minden időszak alatt a részvényárfolyam vagy a kezdeti értékének u-szorosára nő, vagy d-szeresére csökken.

𝑆 𝑢 2 𝑓 𝑢𝑢 𝑓 𝑢 𝑆 𝑢 𝑆 𝑢𝑑 𝑓 𝑢𝑑 𝑆 𝑓 f 𝑆 𝑑 𝑆 𝑑 2 𝑓 𝑑 𝑓 𝑑𝑑

Kétperiódusú binomiális fák Feltesszük, hogy a kockázatmentes kamatláb r, és az egyet időintervallumok hossza t év. A 𝑓= 𝑒 −𝑟𝑇 [𝑝 𝑓 𝑢 + 1−𝑝 𝑓 𝑑 ] egyenlet újbóli alkalmazásával a következőt kapjuk: 𝑓 𝑢 = 𝑒 −𝑟t [𝑝 𝑓 𝑢𝑢 + 1−𝑝 𝑓 𝑢𝑑 ] 𝑓 𝑑 = 𝑒 −𝑟t [𝑝 𝑓 𝑢𝑑 + 1−𝑝 𝑓 𝑑𝑑 ] 𝑓= 𝑒 −𝑟t [𝑝 𝑓 𝑢 + 1−𝑝 𝑓 𝑑 ]

Kétperiódusú binomiális fák Az első két egyenletet a harmadikba helyettesítve kapjuk 𝑓= 𝑒 −𝑟t [ 𝑝 2 𝑓 𝑢𝑢 +2𝑝 1−𝑝 𝑓 𝑢𝑑 +(1−𝑝 ) 2 𝑓 𝑑𝑑 ]

Példa A részvény árfolyama 20 dollárról indul és mindkét időszakban 10%-kal növekedhet vagy 10%-kal csökkenhet. Feltesszük, hogy mindkét időszak hossza három hónap, és a kockázatmentes kamatláb évi 12%. Mint az előzőekben, 21 dolláros kötési árfolyamú opciót vizsgálunk. 𝑆 𝑢 2 =24,2 𝑓 𝑢𝑢 𝑓 𝑢 D 𝑆 𝑢 =22 B 𝑆 𝑢𝑑 =19,8 A 𝑓 𝑢𝑑 E 𝑆 𝑓 =20 f C 𝑆 𝑑 =18 𝑆 𝑑 2 =16,2 𝑓 𝑑 𝑓 𝑑𝑑 F

Kétperiódusú binomiális fák Az opció értéke a B csúcspontban úgy számolható ki, hogy csak arra a részére összpontosítunk. Ahol az u=1,1, d=0,9, r=0,12, T=0,25, valamint p=0,6523 ahogy azt korábban kiszámoltuk. Így felírható az egyenlet: 𝑒 −0,12∗0,25 (0,6523∗3,2+0,3477∗0)=2,0257 A csúcsban 𝑒 −0,12∗0,25 (0,6523∗2,0257+0,3477∗0)=1,2823 Tehát az opció értéke 1,2823 dollár.

Amerikai opciók Az eljárás hasonló, visszafelé haladunk a binomiális fa csúcsától a gyökeréig, csak minden csúcspontnál ellenőrizzük, hogy az opció lejárat előtti lehívása optimális-e.

A binomiális fák használata a gyakorlatban Ha a binomiális fákat a gyakorlatban alkalmazzák, akkor az opció élettartamát harmic vagy több időszakra bontják. Minden időszakban egy binomiális részvényárfolyam-elmozdulás történik. Harminc periódus esetén 2 30 lehetséges részvényárfolyam-utat vizsgálnak.

Köszönöm a figyelmet!