Matematika 11.évf. 1-2.alkalom Hatványozás és a gyökvonás kapcsolata: A törtkitevőjű hatványok Exponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek Készítette: Zsigóné Seres Judit

Ismétlés: Hatványozás Elnevezés:

Hatványozás azonosságai Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy az alapot a kitevők összegére emeljük.

Hatványozás azonosságai Azonos alapú hatványokat úgy osztunk, hogy az alapot a számláló és a nevező kitevőjének különbségére emeljük.

Hatványozás azonosságai Hatványt úgy hatványozunk, hogy a kitevőket összeszorozzuk.

További két azonosság

Példák hatványozásra

Példák hatványozásra

Hatványozás kiterjeszthető negatív kitevőre

A hatványozás azonosságai alkalmazhatók negatív kitevőre is

Hatványozás törtkitevő esetén Egy a pozitív szám p/q-adik hatványa megegyezik az alap p-edik hatványának q-adik gyökével. A fenti szabály lehetővé teszi az átjárást gyökvonás és a hatványozás között.

Kapcsolat a hatványozás és a gyökvonás között Ebből is adódik, hogy a hatványozás és a gyökvonás műveleti tulajdonságai szoros rokonságot mutatnak.

Mintapélda

Exponenciális egyenletek I. típus: Azonos alapú hatványokra visszavezethető exponenciális egyenletek: Arról lehet felismerni, hogy azonos alapú hatványok között csak szorzás és osztás jel van. Minta példa: Megoldás:

Példa az I. típusra

II. típus: Egyből nem lehet közös alapra hozni Példa a II. típusra II. típus: Egyből nem lehet közös alapra hozni Arról lehet felismerni, hogy összeadás és/vagy kivonás jel is szerepel benne. Minta példa: Megoldás:

Exponenciális egyenletek III. típus: Másodfokúra visszavezethető ISMÉTLÉS: A másodfokú egyenlet általános alakja: ax2+bx+c=0 ahol a,b,c valós számokat jelölnek Ha a=0, akkor bx+c=0 elsőfokú egyenletet kapjuk. A másodfokú egyenlet megoldóképlete:

Ismétlés: Megoldóképlet használata Oldja meg az alábbi másodfokú egyenletet a valós számok halmazán!

Exponenciális egyenletek III. típus: Másodfokúra visszavezethető Arról lehet felismerni, hogy az egyenletben egy hatvány és annak négyzete is szerepel. Minta példa: Megoldás:

Exponenciális egyenlőtlenségek A megoldása hasonlít az egyenletekéhez, viszont a relációs jelre figyelni kell, mert miután elhagyjuk a hatványalapot a relációs jel iránya megváltozhat! - Megmarad a relációs jel, ha a hatványalap nagyobb, mint egy egész, azaz az exponenciális függvény szigorúan monoton növekvő. - Megfordul a relációs jel, ha a hatványalap kisebb, mint egy egész, azaz az exponenciális függvény szigorúan monoton csökkenő.

Exponenciális függvények

Exponenciális egyenlőtlenség

Exponenciális egyenletrendszerek Egyik megoldási mód: Ha lehet új ismeretlen bevezetése után alkalmazzuk a már korábban megtanult módszerek valamelyikét: 1. Behelyettesítő módszer vagy 2.Egyenlő együtthatók módszere

Exponenciális egyenletrendszerek Másik megoldási mód: Ha nem lehet új ismeretlent bevezetni, akkor az egyenleteket külön-külön elkezdjük megoldani. A hatványalapok elhagyása után már alkalmazhatjuk a megtanult módszerek valamelyikét: 1. Behelyettesítő módszer vagy 2.Egyenlő együtthatók módszere

Ismétlés: Egyenletrendszerek megoldása behelyettesítő módszerrel Egyenletrendszerek megoldásakor keressük azokat a számokat, amelyek mindkét egyenletet kielégítik. A behelyettesítő módszer lépésekben: 1.Az egyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent. 2.Ezt behelyettesítjük a másikba. 3.Megoldjuk az egyenletet. 4. Kijön az egyik ismeretlenre egy megoldás. 5. Ezt a megoldást visszahelyettesítem a kifejezett alakba vagy valamelyik egyenletbe. 6.Kijön a másik ismeretlenre is egy megoldás. 7. Ellenőrzés után felírjuk az (x;y) számpárt.

Ismétlés: Behelyettesítő módszer alkalmazása Oldjuk meg behelyettesítő módszerrel: x-2y=1 3x-5y=5 Az első egyenletből kifejezzük az x-et: x=1+2y Ezt a II.-ba x helyére beírjuk: 3(1+2y)-5y=5 Zárójelfelbontás után: 3+6y-5y=5, amit megoldva y=2-t kapunk. Ezt a megoldást visszahelyettesítjük a I. vagy II. egyenletbe vagy most a kifejezett alakba: x=1+2*2x=5 lesz az eredmény. Ellenőrzés: I. 5-2*2=1  1=1 és II. 3*5-5*2=5 5=5 Megoldás: (x;y)=(5;2)

Ismétlés: Egyenletrendszerek megoldása az egyenlő együtthatók módszerével Egyenletrendszerek megoldásakor keressük azokat a számokat, amelyek mindkét egyenletet kielégítik. Az egyenlő együtthatók módszere lépésekben: 1.Célunk az egyik ismeretlent kiejteni, ezért úgy szorzom az egyenleteket, hogy az egyik ismeretlen előtti szám (együttható) megegyezzen. 2.Ezután a két egyenletet összeadom vagy kivonom egymásból, hogy ez az ismeretlen kiessen. 3.A megmaradt egyenletet megoldjuk. 4. Kijön az egyik ismeretlenre egy megoldás. 5. Ezt a megoldást visszahelyettesítjük az egyik egyenletbe. 6.Kijön a másik ismeretlenre is egy megoldás. 7. Ellenőrzés után felírjuk az (x;y) számpárt.

Ismétlés: Egyenlő együtthatók módszerének alkalmazása Oldjuk meg az egyenlő együtthatók módszerével: 3x+2y=1 7x+5y=4 Cél, hogy az x-et kiejtsük, ezért 3*7=21x-et csinálunk belőle. Vagyis az első egyenletet 7-tel, míg a másodikat 3-mal szorozzuk végig. 21x+14y=7 21x+15y=12 Az II. egyenletből kivonjuk az I-t: 15y-14y=12-7, amit kiszámolva y=5 adódik. Az y=5 megoldást visszahelyettesítjük pl. az I. egyenletbe: 3x+2*5=1, amit megoldva 3x+10=1 adódik, amit rendezve 3x=-9, azaz x=-3 lesz az eredmény. Ellenőrzés: I. 3*(-3)+2*5=1  1=1 és II. 7*(-3)+5*5=4  4=4 Megoldás: (x;y)=(-3;5)

Exponenciális egyenletrendszer

Exponenciális egyenletrendszer