Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1

Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 mex ∅  0

Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 mex {0}  1

Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 mex {0,1}  2

Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 mex {0,1,2}  3

Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 mex {0,1}  2

Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 mex {1,2}  0

Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 mex {0,1,2,3}  4

Sarokba a királynőt! 7 8 6 5 3 4 2 1 mex {2,3,4,5,6}  0

Sarokba a királynőt! 7 8 6 5 3 4 2 1 mex {0,2,3,4,5,6,7,8}  1

Sarokba a királynőt! 7 8 6 9 1 4 5 10 3 2

Sarokba a királynőt! 7 8 6 9 1 4 5 10 3 2

Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 (6,5)

Wythoff-nim Két kupac kaviccsal játszunk. Egy lépésben elvehetünk az egyikből bármennyit, vagy mindkettőből ugyanannyit. Az nyer, aki az utolsó kavicsot elveszi. Nyerő stratégia? A szimmetria nem segít!

Willem Abraham Wythoff (1865-1939)

Wythoff-nim

Wythoff-nim

Wythoff-nim

Wythoff-nim

Wythoff-nim Legyen (an,bn) a Wythoff-nim n-edik jó állása. n 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ an 11 12 14 bn 10 13 15 18 20 23

Wythoff-nim Legyen (an,bn) a Wythoff-nim n-edik jó állása. n 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ an 11 12 14 bn 10 13 15 18 20 23 Tétel (Wythoff 1907):

Wythoff-nim Legyen (an,bn) a Wythoff-nim n-edik jó állása. n 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ an 11 12 14 bn 10 13 15 18 20 23 n 1 2 3 4 5 6 7 8 an 0F 1F 100F 101F 1001F 10000F 10001F 10100F 10101F bn 10F 1000F 1010F 10010F 100000F 100010F 101000F 101010F

Wythoff-nim Példa: Mi a jó lépés a (11,17) állásból? 11 = 10100F párja 101000F = 18 (11,17) → (11,18) 17 = 100101F párja 1001010F = 28 (11,17) → (28,17) 17−11 = 6, a6 = 9, b6 = 15 (11,17) → (9,15) / /

Wythoff-nim Példa: Mi a jó lépés a (12,23) állásból? 12 = 10101F párja 101010F = 20 (12,23) → (12,20) 23 = 1000010F párja 100001F = 14 (12,23) → (14,23) 23−12 = 11, a11 = 17, b11 = 28 (12,23) → (17,28) / /

Wythoff-nim Példa: Mi a jó lépés a (16,23) állásból? 16 = 100100F párja 1001000F = 26 (16,23) → (16,26) 23 = 1000010F párja 100001F = 14 (16,23) → (14,23) 23−16 = 7, a7 = 11, b7 = 18 (16,23) → (11,18) /

Wythoff-nim n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ an 11 12 14 bn 10 13 15 18 20 23

Wythoff-nim n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ an 11 12 14 bn 10 13 15 18 20 23 Sejtés: bn = an + n

Wythoff-nim n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ an 11 12 14 bn 10 13 15 18 20 23 {0,0} → 1

Wythoff-nim n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ an 11 12 14 bn 10 13 15 18 20 23 {0,0,1,2} → 3

Wythoff-nim n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ an 11 12 14 bn 10 13 15 18 20 23 {0,0,1,2,3,5} → 4

Wythoff-nim n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ an 11 12 14 bn 10 13 15 18 20 23 {0,0,1,2,3,5,4,7} → 6

Wythoff-nim n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ an 11 12 14 bn 10 13 15 18 20 23 {0,0,1,2,3,5,4,7,6,10} → 8

Wythoff-nim n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ an 11 12 14 bn 10 13 15 18 20 23 Sejtés: an = mex {a0, a1,…, an-1 , b0, b1,…, bn-1 }

Wythoff-nim n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ an 11 12 14 bn 10 13 15 18 20 23 Tétel: an = mex {a0, a1,…, an-1 , b0, b1,…, bn-1 } és bn = an + n