Miki és a nyerő stratégia

Az előadások a következő témára: "Miki és a nyerő stratégia"— Előadás másolata:

1 Miki és a nyerő stratégia
Waldhauser Tamás SZTE Bolyai Intézet

2

3 Nyerő stratégia keresése
diszkrét kétszemélyes determinisztikus teljes információs véges végesfokú szimmetrikus normál játékokban.

4 X X X X X X X X X O X O X O X O X X O X O X O X O X O X O O X O X O X X O O X X O

5 Claude Gaspar Bachet de Méziriac
( )

6 Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

7 Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

8 Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

9 Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

10 Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

11 Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

12 Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

13 Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

14 Jó és rossz állások rossz állások jó állások végállások

15 Jó állásból csak rossz állásba lehet
rossz állások jó állások végállások

16 Rossz állásból mindig lehet jó állásba
rossz állások jó állások végállások

17 A játszma menete rossz állások jó állások végállások

18 A Sprague–Grundy-függvény
Legyen H ⊆ N, például H  { 0, 1, 2, 4, 6 }. max H  6 (maximal) min H  0 (minimal) mex H  3 (minimal excluded) Magyarul minimális kimaradó: miki H  min N∖H  min { 3, 5, 7, 8,  }  3.

19 A Sprague–Grundy-függvény
Rendeljünk a játék minden a állásához egy (a) természetes számot a következő szabály szerint: (a)  miki { (b1), (b2) , , (bk) }. a bk b1 b2

20 A Sprague–Grundy-függvény
Tétel (Sprague 1935, Grundy 1939): Ilyen  függvény létezik, mégpedig pontosan egy, és ennek zérushelyei éppen a jó állások.

21 Jó állásból csak rossz állásba lehet
bk b1 b2 bi (a)  miki { (b1), (b2) , , (bk) }

22 Jó állásból csak rossz állásba lehet
bk b1 b2 bi (a)  miki { (b1), (b2) , , (bk) }  0

23 Jó állásból csak rossz állásba lehet
bk b1 b2 bi (a)  miki { (b1), (b2) , , (bk) }  0  i (bi)  0

24 Rossz állásból mindig lehet jó állásba
bk b1 b2 bi (a)  miki { (b1), (b2) , , (bk) }

25 Rossz állásból mindig lehet jó állásba
bk b1 b2 bi (a)  miki { (b1), (b2) , , (bk) }  0

26 Rossz állásból mindig lehet jó állásba
bk b1 b2 bi (a)  miki { (b1), (b2) , , (bk) }  0  i (bi)  0

27 Kivonási játékok állás: természetes szám
lépés: az aktuális számot egy előre megadott K kivonási halmaz valamely elemével csökkentjük A Bachet játéknál K  { 1, 2, , 10 }. Mini Bachet játék: K  { 1, 2 }.

28 A mini Bachet játék SG-függvénye
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

29 A mini Bachet játék SG-függvénye
10 9 8 miki ∅  0 7 6 5 4 3 2 1

30 A mini Bachet játék SG-függvénye
10 9 8 miki ∅  0 7 6 5 4 3 2 1

31 A mini Bachet játék SG-függvénye
10 9 8 miki { 0 }  1 7 6 5 4 3 2 1

32 A mini Bachet játék SG-függvénye
10 9 8 miki { 0 }  1 7 6 5 4 3 2 1 1

33 A mini Bachet játék SG-függvénye
10 9 8 miki { 0, 1 }  2 7 6 5 4 3 2 1 1

34 A mini Bachet játék SG-függvénye
10 9 8 miki { 0, 1 }  2 7 6 5 4 3 2 2 1 1

35 A mini Bachet játék SG-függvénye
10 9 8 miki { 1, 2 }  0 7 6 5 4 3 2 2 1 1

36 A mini Bachet játék SG-függvénye
10 9 8 miki { 1, 2 }  0 7 6 5 4 3 2 2 1 1

37 A mini Bachet játék SG-függvénye
10 9 8 miki { 0, 2 }  1 7 6 5 4 3 2 2 1 1

38 A mini Bachet játék SG-függvénye
10 9 8 miki { 0, 2 }  1 7 6 5 4 1 3 2 2 1 1

39 A mini Bachet játék SG-függvénye
10 9 8 miki { 0, 1 }  2 7 6 5 4 1 3 2 2 1 1

40 A mini Bachet játék SG-függvénye
10 9 8 miki { 0, 1 }  2 7 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1

41 A mini Bachet játék SG-függvénye
10 9 8 miki { 1, 2 }  0 7 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1

42 A mini Bachet játék SG-függvénye
10 9 8 miki { 0, 2 }  1 7 1 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1

43 A mini Bachet játék SG-függvénye
10 9 8 2 miki { 0, 1 }  2 7 1 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1

44 A mini Bachet játék SG-függvénye
10 9 8 2 miki { 1, 2 }  0 7 1 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1

45 A mini Bachet játék SG-függvénye
10 1 9 8 2 miki { 0, 2 }  1 7 1 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1

46 A mini Bachet játék SG-függvénye
10 1 9 8 2 (n)  n mod 3 7 1 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1

47 A mini Bachet játék SG-függvénye
10 1 9 8 2 n jó állás  3n 7 1 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1

48 A Bachet játék SG-függvénye
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ miki ∅  0

49 A Bachet játék SG-függvénye
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ miki {0}  1

50 A Bachet játék SG-függvénye
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ miki {0,1}  2

51 A Bachet játék SG-függvénye
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ miki {0,1,2}  3

52 A Bachet játék SG-függvénye
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ miki {0,1,,9}  10

53 A Bachet játék SG-függvénye
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ miki {1,2,,10}  0

54 A Bachet játék SG-függvénye
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ miki {2,3,,10,0}  miki {0,2,3,,10}  1

55 A Bachet játék SG-függvénye
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ (n)  n mod 11

56 A Bachet játék SG-függvénye
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ n jó állás  11n

57 Kivonási játékok Tétel: Ha a kivonási halmaz véges, akkor a kivonási játék SG-függvénye periodikus. Tétel (Althöfer, Bültermann): A K = {1,8,31,38,39} kivonási halmaz esetén a periódus hossza

58 KöMaL 1997/12

59 Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1

60 Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki ∅  0

61 Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0}  1

62 Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1}  2

63 Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1,2}  3

64 Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {1}  0

65 Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1,2}  3

66 Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1,3}  2

67 Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {1,4,5,6,7}  0

68 Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1,2,4,5,6,7}  3

69 Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1

70 Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1

71 KöMaL 1993/12

72 Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 (6,5)

73 Nim Két kupac kaviccsal játszunk. Egy lépésben
valamelyikből (de csak az egyikből!) elvehetünk bármennyit. Az nyer, aki az utolsó kavicsot elveszi. Nyerő stratégia: törekedjünk szimmetriára!

74 Nim-összeadás 7 6 5 4 3 2 1 6  5  3

75 Nim A k kupac kaviccsal játszott nim (n1, n2, , nk)
állásához tartozó SG-érték n1  n2    nk. A k  2 esetben: n1  n2  0  n1  n2.

76 Sarokba a királyt! 7 6 5 4 3 2 1

77 Sarokba a királyt! 7 6 5 4 3 2 1 miki ∅  0

78 Sarokba a királyt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0}  1

79 Sarokba a királyt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {1}  0

80 Sarokba a királyt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0}  1

81 Sarokba a királyt! 7 1 6 5 4 3 2 miki {0,1}  2

82 Sarokba a királyt! 7 1 6 5 4 3 2 miki {0,1,2}  3

83 Sarokba a királyt! 7 1 6 5 4 3 2 miki {0,1,3}  2

84 Sarokba a királyt! 7 1 2 6 3 5 4 miki {2,3}  0

85 Sarokba a királyt! 7 1 2 6 3 5 4 miki {0,2,3}  1

86 Sarokba a királyt! 7 1 2 6 3 5 4 (n,m) jó állás  2n,m

87 Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1

88 Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 miki ∅  0

89 Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0}  1

90 Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1}  2

91 Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1,2}  3

92 Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1}  2

93 Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {1,2}  0

94 Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1,2,3}  4

95 Sarokba a királynőt! 7 8 6 5 3 4 2 1 miki {2,3,4,5,6}  0

96 Sarokba a királynőt! 7 8 6 5 3 4 2 1 miki {0,2,3,4,5,6,7,8}  1

97 Sarokba a királynőt! 7 8 6 9 1 4 5 10 3 2

98 Sarokba a királynőt! 7 8 6 9 1 4 5 10 3 2

99 Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 (6,5)

100 Wythoff-nim Két kupac kaviccsal játszunk. Egy lépésben elvehetünk
az egyikből bármennyit, vagy mindkettőből ugyanannyit. Az nyer, aki az utolsó kavicsot elveszi. Nyerő stratégia? A szimmetria nem segít!

101 Willem Abraham Wythoff
( )

102 Wythoff-nim

103 Wythoff-nim

104 Wythoff-nim

105 Wythoff-nim

106 Wythoff-nim Legyen (an,bn) a Wythoff-nim n-edik jó állása. n 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ an 11 12 14 bn 10 13 15 18 20 23 Tétel (Wythoff 1907):

107 Osztályozás 3 Tic-tac-toe 4 Bachet 5 Bachet játék nyerő stratégiája 6-13 Jó és rossz állások 14-17 Miki 18 SG-függvény 19-26 Kivonási játékok 27 Mini Bachet SG 28-47 Bachet SG 48-56 Kivonási játék SG periodikus 57 KöMaL: kivonási játék 58 Sarokba a bástyát! 59-70 KöMaL: Sarokba a sánta bástyát! 71 Sarokba a bástyát! -> nim 72 Nim 73 Nim-összeadás 74 Többcsomós nim SG 75 Sarokba a királyt! 76-86 Sarokba a királynőt! 87-98 Sarokba a királynőt! -> Wythoff-nim 99 Wythoff-nim 100 Wythoff 101 Wythoff SG Wythoff SG Wythoff tétele 106