A digitális technika alapjai

Analóg és digitális jel analóg: - folytonos minden pillanatban jól meghatározható digitális: - nem folytonos csak két jól meghatározott értéket vehet fel (H, L; Igaz, Hamis; 0, 1; 0V, 5V)

Számrendszerek Általános forma (egész szám esetében) a: együttható, r: alap, n: kitevő (egész szám) Tízes számrendszer: a = 0,1,…,9; r =10 Kettes számrendszer: a = 0,1; r = 2 Tizenhatos számrendszer: a = 0,…,9, A, B, C, D, E, F; r = 16

Példák Az alap ismeretében csak az együtthatókat írjuk Tízes számrendszerbeli szám: Kettes számrendszerbeli szám: Tízes számrendszerben kifejezve: 205 Tizenhatos számrendszerbeli szám: Tízes számrendszerben kifejezve: 15200

A digitális technikában alkalmazott számrendszerek 2-es és 16-os számrendszerek 2-es előnye: - közvetlenül jelszintté alakítható; - hátránya: túl hosszú nehezen áttekinthető számsorok; 16-os előnye: - kevés együttható (számjegy) a nagy számok esetében is; - főleg memória címzéseknél használják; - hátránya: nehezebben kezelhető

2-es 16-os átalakítás Szabály: a 2-es számrendszerbeli számot jobbról balra négyes csoportokra osztjuk és hozzárendeljük a megfelelő 16-os számrendszerbeli együtthatókat. Együtthatók: 0, 1,…, 9, A, B, C, D, E, F A = 10; B = 11; C = 12; D =13; E = 14; F = 15 Példa: 0110010111010011 = 65D3 6 5 D 3

16-os 2-es átalakítás Szabály: a 16-os számrendszerbeli szám együtthatóit egyenként, közvetlenül átalakítjuk 2-es számrendszerbeli számmá. Példa: C089 = 1100000010001001 C 0 8 9

Feladatok 1401510 = ?????2 100111102 = ????10 3A116 = ????10 356410 = ?????16 23516 = ????2 110000112 = ????16

Negatív számok 2-es számrendszerben Előjelbit alkalmazása (0 +; 1 –) Probléma: +0; -0 megjelenése; összeadáskor nem nulla az eredmény. +3 0011 - 3 1011 0 1010 (-2) Megoldás: 2-es komplemens képzése Szabály 1-es komplemest képzünk (a biteket invertáljuk) az eredményhez hozzáadunk még 1-et Vagy: jobbról az első 1-ig változatlanul hagyjuk, utána a biteket invertáljuk

Példa -105 = ? 105 = 26+25+23+20 = 01101001 1-es komplemens: 10010110 hozzáadva 1-et: 10010110+ 1 2-es komplemens: 10010111 (-105) ellenőrzés: 105+ 01101001+ -105 10010111 0 (1) 00000000

A digitális technikában alkalmazott változók BIT: alapegység a digitális technikában BYTE (bájt): 8 bit alkotja WORD (szó): 2 bájt alkotja BCD kód: 2 bájt: 0, …, 9999 DWORD (dupla szó): 2 szó alkotja INTEGER (egész): -32768,…, +32767 (2-es komp) DINTEGER(dupla egész): -231,…, +231-1 REAL (valós): - 1,17*10-38,…, +3,4*1038 0 → 1 H L 00H → FFH 0000H → FFFFH H L 00000000H → FFFFFFFFH

Logikai függvények 2-es számrendszerbeli függvények, ahol a változók két értéket vehetnek fel: Igaz – Hamis (True – False) Igen – Nem (Yes – No) Magas – Alacsony (H – L) van feszültség (5V) – nincs feszültség (0V) 0 – 1; ez már matematika George Boole (1815-1864) fogalmazta meg elsőnek a törvényszerűségeit (Bool algebra)

Logikai függvények Az események közötti logikai kapcsolatokat (műveleteket) matematikailag írja le; Bemeneti mennyiségek – független változók Kimenetei mennyiségek – függő változók Függvény kapcsolat X1 X2 … Xn F1 F2 Fm Fi = f(X1, X2, …, Xn) (i = 1, 2, …, m)

A Bool algebra alapszabályai A · A = A A + A = A A · A = 0 A + A = 1 A = A A(B + A) = A A ·B + A = A A legfontosabbak: De Morgan tételei

Logikai alapműveletek ÉS (AND) – logikai szorzás (soros kapcsolat) VAGY (OR) – logikai összeadás (párhuzamos kapcsolat NEM (NOT) – logikai tagadás Minden egyéb tetszőlegesen bonyolult logikai művelet ezek segítségével felírható Pl. ÉS-NEM, VAGY-NEM, kizáró VAGY, ekvivalencia, stb.

ÉS (AND) művelet L = S1 ∙ S2 S1 S2 L Igazságtábla Jelölések: 1 1 L S1 ÉS S2 egy időben kell bekapcsolva legyen. (soros kapcsolat Igazságtábla L = S1 ∙ S2 Algebrai forma Jelölések: Hagyományos (USA) európai

VAGY (OR) művelet L = S1 + S2 S1 S2 L Igazságtábla Jelölések: 1 L 1 L Igazságtábla S1 VAGY S2 (vagy mindkettő) kell bekapcsolva legyen. (párhuzamos kapcsolat) L = S1 + S2 Algebrai alak Jelölések: Hagyományos (USA) európai

NEM (NOT) művelet (tagadás) 1 Igazságtábla S1 nyugalmi helyzetében a lámpa világít (bontó érintkező). A működtetett helyzet kioltja. Algebrai alak Jelölések: Hagyományos (USA) európai

Logikai függvények leírásmódjai Kimeneti logikai érték felírása a bemeneti változók függvényében Felírási módok (3 változós): Igazságtáblával: algebrai alakban: kanonikus formában: A B C F 1

A logikai függvények szabályos (kanonikus) alakjai Alapfogalmak: term: - azonos szimbólummal összekapcsolt változók csoportja minterm: a változók között ÉS kapcsolat van Jelölése: min n a változók száma; i a minterm sorszáma Példa: Maxterm: a változók között VAGY kapcsolat van Jelölése: Mjn n a változók száma; j a maxterm sorszáma

A logikai függvények szabályos (kanonikus) alakjai Diszjunktív forma: mintermek alkotják és a mintermek között VAGY kapcsolat van felírási mód (példa): Konjunktív forma: maxtermek alkotják és a maxtermek között ÉS kapcsolat van

A kanonikus formák közötti átalakítások Bármely logikai függvény a De Morgan azonosságoknak köszönhetően bármikor átalakíthatók egyik formából a másikba Minterm átalakítási szabály: Példák:

Példák 1) Készítsük el az igazságtáblát! 2) Írjuk fel az algebrai formát és készítsünk igazságtáblát! 3) Alakítsuk át a függvényt konjunktív formára!

Függvények egyszerűsítése Megvalósítás logikai kapukkal (logikai áramkörökkel) Egyszerűsítés szükséges algebrai úton felhasználva a Boole algebra tulajdonságait (bonyolult) De Morgan összefüggések: grafikus módon (Veitch tábla)

Példák Egyszerűsítsük algebrailag a következő függvényeket!

Grafikus egyszerűsítés B Három változós Veitch tábla Négy változós Veitch tábla 1 3 2 4 5 7 6 A C C 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 B A D

Feladatok Egyszerűsítsük grafikusan az alábbi függvényeket!

Kombinációs hálózatok Logikai áramkörökkel (logikai kapukkal) történő megvalósítás A függvény egyszerűsített formája: - hátrány: háromféle áramkörből épül fel: NEM, VAGY, ÉS

Kombinációs hálózatok Logikai függvény felírása a kombinációs hálózat alapján - látható, hogy a függvény egyszerűsíthető

Feladat Egyszerűsítse az előbbi függvényt algebrai úton és Veitch táblával is! Valósítsa meg logikai kapukkal az egyszerűsített formát!

Megvalósítás NAND kapukkal A TTL technológia alapáramköre a NAND logikán alapszik, ezért gyakran alap követelmény, hogy a megvalósítás azonos típusú áramkörökkel történjen. Módszer: az egyszerűsített diszjunktív függvényt a De Morgan összefüggéssel átalakítjuk Előbbi példa: A & D C F

Megvalósítás NOR kapukkal A CMOS technológia alapáramköre a NOR logikán alapszik, ezért gyakran alap követelmény, hogy a megvalósítás azonos típusú áramkörökkel történjen. Módszer: az egyszerűsített konjunktív függvényt a De Morgan összefüggéssel átalakítjuk Előbbi példa: ≥1 C D F A

Szekvenciális hálózatok Időfüggő logikai függvényeket valósítanak meg. A kimeneti események alakulását a bemeneti események mellett egy korábbi időpontban bekövetkezett kimeneti esemény is befolyásolhatja. Kombinációs hálózatokra épülnek, tárolókkal kiegészítve. Kombinációs logikai hálózat X1 X2 Xn Y1 Y2 Ym Z

Osztályozás Aszinkron hálózatok: Szinkron hálózatok: A kimenet előző állapotától való függést közvetlen visszacsatolással vagy tárolókkal valósítják meg, A kimeneti jellemző valamelyik bemenet változására azonnal reagál, Nincs órajel. Szinkron hálózatok: Az állapotváltozás egy engedélyező jel hatására, vele azonos fázisban zajlik, Az állapotváltozás órajelhez kötött, vagyis szinkronizálva történik.

Tároló áramkörök (flip-flop) Egy bit tárolására alkalmas Rendszerint két kimenete van: ponált (Q) és negált (Q) Fontosabb típusai: statikus tárolók (pl. RS) a bemenetre kapcsolt jel hatására, a kimenet azonnal megváltozik. kapuzott tárolók (pl. D, T, JK) a kimenet értéke a bemenet(ek)re kapcsolt jel kombinációján kívül még egy kapuzó jeltől (órajel) is függ. kétfokozatú (master-slave) tárolók az órajel felfutó élén a bemeneti értékek először a masterbe íródnak, majd a lefutó él hatására megjelenik a slave kimenetein, amelyek egyben a tároló kimenetei is.

RS tárolók (statikus tároló) - R (RESET) törlő bemenet; hatására a kimenet (Q) nulla értéket vesz fel. - S (SET) beíró bemenet; hatására a kimenet (Q) egyes értéket vesz fel. R S Qn+1 X 1 Qn RS tároló igazságtábla R=0; S=0, nem megengedett bemeneti értékek (X), mert ekkor mindkét kimenet 1 lenne, az pedig nem lehetséges (Q és Q nem lehet azonos értékű) R=1; S=1, nem változik a kimenet értéke

T típusú tároló (trigger) Qn+1 Qn 1 T tároló igazságtáblája órajel függő kapuzott tároló; C az órajel bemenete; T vezérlő bemenet; működése: ha a T bemenetére időnként logikai 1-est kapcsolunk, akkor a kimenet értéke órajel hatására billen (triggerel). Vagyis ha a kimenet Q=1 volt, akkor Q=0 értékű lesz és fordítva.

D típusú tároló (Delay) Qn+1 1 D tároló igazságtáblája órajel függő kapuzott tároló; C az órajel bemenete; D adat bemenet; működése: a tároló bemenetére kapcsolt információ az órajel hatására beíródik a tárolóba. Vagyis egy órajel periódusnyi késleltetés történik.

JK tárolók Legelterjedtebb tároló típus Kapuzott tároló, amely kiküszöböli az RS tárolók hibáját, vagyis a nem megengedett bemeneti kombinációt (R=0; S=0) J beíró bemenet; K törlő bemenet; C órajel bemenet. J K Qn+1 Qn 1 - igazságtábla Működése: J=0; K=0 értékek megengedettek, de az órajel hatására kimeneten nem történik változás. J=1; K=1 értékekre, órajel hatására a kimenet billen (triggerel)

T és D tárolók megvalósítása JK tárolókkal Sok esetben T és D tárolókat is JK tárolókkal valósítunk meg. - T tároló - D tároló

Számláló áramkörök Képes számolni és tárolni az órajel impulzusok számát Tárolókból (flip-flop) épül fel Egy tároló, egy bitet képes tárolni, vagyis két értéket 0 és 1-et, azaz kettőig tud számolni. n tárolóból álló számláló max. 2n-ig tud számolni

Osztályozás Órajel vezérlés szerint: Kódolás szerint: aszinkron számláló: az órajelek általában csak az egyik, többnyire a legkisebb helyértéket képviselő flip-flopját vezérlik. szinkron számláló: az órajelek az összes flip-flopot egyszerre vezérlik. Kódolás szerint: - bináris számláló: kódolás binárisan; - decimális számláló: kódolás decimálisan; A számlálás iránya szerint: - előre számláló; - hátra számláló; - előre-hátra (reverzibilis) számláló.

Bináris számlálók Aszinkron bináris számláló

Bináris számlálók Szinkron bináris számláló

Decimális számlálók Aszinkron decimális számláló

Decimális számlálók Szinkron decimális számláló

Léptető regiszterek A bementre adott információ minden órajel hatására egy flip-floppal tovább lép. Soros párhuzamos átalakítást is megvalósíthat.