IV. Hozamok és árfolyamok 16 2014. ősz Befektetések I.

IV.1. Folytonos és diszkrét hozam 16 Mit is jelent az, hogy „a hozam 10%”? Sokkal bonyolultabb kérdésről van szó, mint gondolnánk… Nézzünk egy egyszerű példát! 2014. ősz Befektetések I.

16 Mekkora a hozama annak az értékpapírnak, amelynek árfolyam 2 év alatt P0=100-ról P2=140-ra emelkedik? 100 50 P T 2 1 140 120 2014. ősz Befektetések I.

Most nézzük a két évet külön-külön! 17 Most nézzük a két évet külön-külön! 120 100 50 P T 2 1 140 2014. ősz Befektetések I.

Ez így nem jó… Az azonos növekedést más-más tőkével értük el. 17 Ez így nem jó… Az azonos növekedést más-más tőkével értük el. Közelítsünk másféleképpen a kérdéshez! 2014. ősz Befektetések I.

17 Ez már jónak tűnik… Évi 18,32% növekedéssel két év alatt éppen 140-re nő a kezdeti 100. 100 50 P T 2 120 1 140 118,32 2014. ősz Befektetések I.

Ellenőrizzük le fél évre! 18 Ellenőrizzük le fél évre! Megint más eredményt kaptunk… 2014. ősz Befektetések I.

18 P 140 120 118,32 108,78 100 50 T 1 2 2014. ősz Befektetések I.

18 E furcsa eredménysorozatot azért kaptuk, mert a felrajzolt árfolyam-görbék valójában igen különleges eseteket takarnak: Egy ilyen árfolyamgörbéhez pillanatról-pillanatra csökkenő hozamok tartoznak. „Árfolyam-görbénk csak így lehet egyenes”. 2014. ősz Befektetések I.

Folytonos kamatos kamatozás 1$ befektetés 100% kamattal, 1 év múlva 2$ félévente 50% kamat esetén 1$×1,52=2,25$ negyedévente 25% kamattal 1$×1,254=2,4414$ havonta 1$×(1+1/12)12=2,613$ hetente 1$×(1+1/52)52=2,6925$ naponta 1$×(1+1/365)365=2,7145$ óránként 1$×(1+1/8760)8760=2,7181$ percenként 1$×(1+1/525600)525600=2,718279$ másodpercenként 1$×(1+1/31536000)31536000=2,718281$ 2014. ősz Befektetések I.

19 100 P T 1 2014. ősz Befektetések I.

19 P 140 120 100 50 T 2 2014. ősz Befektetések I.

20 A diszkrét és a folyamatos kamat közötti eltérés nagyobb kamatoknál igencsak nagy: 2014. ősz Befektetések I.

IV.2. Hozam számtani és mértani átlaga 20-21 IV.2. Hozam számtani és mértani átlaga A diszkrét időpontokban mért árfolyamokat így modellezzük (amennyiben a két mért időpont alatti növekedési ütemet állandónak tekintjük): „Átlagos” P T 2014. ősz Befektetések I.

21 A folytonos hozam használatának kezdeti nehézségei később visszatérülnek. A hozamok így egyszerűen összeadhatók. 12 részidőszakból álló adathalmazunk van t1, t2, …, t12 P0, P1, P2, …, P12 r1, r2, …, r12 (logaritmikusan számolt) Ekkor a 12 részidőszak alatti összes növekedés, illetve az időszaki (folytonos kamatozással számított) átlagos hozam a következők szerint adódik: 2014. ősz Befektetések I.

21 Amennyiben a t1, t2, …, t12 időszakok megegyeznek (pl. napok, hónapok, évek stb.), akkor az átlagos hozam számítása még egyszerűbb: „sima átlag” 2014. ősz Befektetések I.

22 Nézzük az első példát! P0=100 részvény az 1. periódus végén 200, a 2. periódus végén ismét 100. A diszkrét hozamok: Nézzük a diszkrét számtani és a mértani átlagot: A ténylegest a mértani hozam mutatja helyesen. 2014. ősz Befektetések I.

Nézzük most a folyamatos hozamokat: 22 Nézzük most a folyamatos hozamokat: Nézzük a folyamatos számtani és a „mértani” átlagot: Folyamatosnál a két átlag megegyezik és „helyes”. 2014. ősz Befektetések I.

Most nézzük a számtani és a mértani átlag kérdését! 21 Most nézzük a számtani és a mértani átlag kérdését! Számtani átlag Mértani átlag „Növekedések átlaga” – „Átlagos növekedés” Folyamatos kamatozásnál megegyeznek. 2014. ősz Befektetések I.

Nézzük a második példát! 22 Nézzük a második példát! P0=100, P1=50, P2=75, P3=37,5 és P4=56,25 2014. ősz Befektetések I.

Miért térnek el az átlagértékek? 23 Miért térnek el az átlagértékek? Kezdjük a két diszkrét változat eltérésével! A számtani átlag időátlagolású hozam. Ennél nem foglalkoztunk azzal, hogy melyik hozam mellett éppen mekkora alapösszeg növekedett. A mértani átlag összegsúlyozású hozam. Ennél a növekedéseket súlyozzuk az időszak kezdetén jelentkező összeggel. Most nézzük a diszkrét és a folyamatos eltérését! A folyamatos kamatozás végtelen kis időszakokra osztja a teljes időszakot, és így számítja a növekedéseket. A diszkrét valójában közelítése a folytonosnak. Minél kisebbek a diszkrétnél vett intervallumok, annál pontosabb. 2014. ősz Befektetések I.

23 A diszkrét számtani mindig felülbecsli a tényleges eredményt. Ezt az okozza, hogy ugyanazon %-os változás felfelé kevésbé emeli a kisebb értékeket, mint lefelé csökkenti a nagyobbakat. „Megduplázódik” (100%) – „Lefeleződik” (-50%) Mindezek után nem meglepő, hogy a számtani „hibája” a részhozamok szórásával (szórásnégyzetével) lesz arányos: 2014. ősz Befektetések I.

24 Az első példánál a számtani átlag 25% volt, míg a mértani, illetve a folyamatos 0%. A másodok példánál a számtani átlag 0% volt, a mértani -13,4%, a folyamatos -14,4%. 2014. ősz Befektetések I.

IV.3. Átlagos és várható hozam 24-25 IV.3. Átlagos és várható hozam A befektetések világában a diszkrét és a folyamatos kamatozás, és mindkét átlagszámítás ismerete is szükséges. A befektetések „jövőbeli” várható hozamának becslését is („jobb híján”) a múltbeli eredményesség vizsgálataira építik. Tőkepiaci befektetéseknél viszonylag stabil hozamú folyamatokat tételezhetünk fel. Erre a kérdésre még részletesebben is kitérünk. Röviden, a várható hozamokat a múltbeli hozamok átlagértékei alapján adjuk meg. 2014. ősz Befektetések I.

25 Bár a mértani átlag a múltbeli eredményesség jobb mérőszáma, így kézenfekvőnek tűnik, hogy a jövőbeli várható „pénztermelő-képesség” becslésére is ezt használjuk. Azonban nem ilyen egyszerű a helyzet. Rövidebb távú várható hozamra (mondjuk egy hónapra, egy évre) ugyanis a számtani átlag adja a matematikailag korrektebb közelítést. 2014. ősz Befektetések I.

IV.4. Állandó várható hozam feltételezése 25 IV.4. Állandó várható hozam feltételezése Korábbi példáinknál a (folyamatos) árfolyamleírást használtuk. Ez jó akkor, ha a hozam fix, azonban az árfolyam legtöbbször véletlenszerűen változik. Sztochasztikus folyamatok. Időben és változójában is folytonos sztochasztikus folyamattal közelítünk, bár egyik feltétel teljesül csak pontosan. 2014. ősz Befektetések I.

25-26 Gondoljunk az árfolyamokkal kapcsolatos tanulmányainkra! (Üzleti gazdaságtan) A befektetők a befektetések (piaci) kockázatától függő hozamelvárások mellett fektetnek be. A piaci várható hozamok is ezekhez a hozamelvárásokhoz igazodnak. Minden pillanatban akkora az ár, hogy az ár és a jövőbeli várható jövedelmek viszonya éppen a kockázatához illő elvárt hozamot adja. Árfolyamváltozás: változik jövőbeli jövedelmekkel kapcsolatos várakozás, mialatt nem változik a kockázat, ezzel együtt az elvárt hozam sem. Egy befektetés várható hozama tehát állandó! 2014. ősz Befektetések I.

? Jók Hozam Kockázat Rosszak rf E(r) β E(Fn) E(F2) E(F1) E(FN) … P0 N P0 E(r) β rf ? Jók Rosszak Hozam Kockázat 2014. ősz Befektetések I.

„Olcsó” „Megfelelő árú” Hozam Kockázat rf E(r) β E(Fn) E(F2) E(F1) … N n 2 1 P0 P0 E(r) β rf „Olcsó” „Megfelelő árú” Hozam Kockázat 2014. ősz Befektetések I.

… … … E(r) β rf … 2014. ősz Befektetések I.

Most gondolkodjunk el a tőzsdei (tőkepiaci) árazódás intenzitásának kérdésein! (A témára még részletesebben is visszatérünk majd.) Nézzünk előbb egy-két adatot az új információk beépítési gyorsaságáról, pontosságáról! 2014. ősz Befektetések I.

„Kétség kívül” előrejelezhetetlen események. 21 db 1989-2002 között megesett „rossz hír” Zátonyra futott olajszállító tanker (Exxon) Repülőgép-szerencsétlenségek (United Airlines, USAir) Üzemrobbanások (Texaco, Quantum Chemical, Phillips Petroleum, ARCO) Igazgató, elnök váratlan halála (McClatchy Newspapers, Gillette). Tőzsdei nyitva tartás alatti 6 db Tőzsdei nyitva tartáson kívüli 15 db 2014. ősz Befektetések I.

Tőzsdei nyitva tartás alatti események - 5 10 15 20 98,5 102,5 100,0 97,0 Árfolyam Idő percekben Tőzsdei nyitva tartás alatti események Tőzsdei nyitva tartáson kívüli események 2014. ősz Befektetések I.

Általánosságban megállapíthatjuk, hogy a tőzsdéken az új információk beépítésének sebessége és pontossága igen nagy. Az árazás alapja, hogy a pillanatnyi ár éppen akkora várható hozamot biztosítson, amekkora a vállalt kockázatért jár. 2014. ősz Befektetések I.

Normál hozam Abnormális hozam Várható hozam t 1 E ( r ) β P P 1 f β i Normál hozam Abnormális hozam Várható hozam t P P 1 2014. ősz Befektetések I.

Új információk, véletlenszerűség árfolyam Új információk, véletlenszerűség múlt jelen idő jövő 2014. ősz Befektetések I.

Mivel a kockázatosság állandó, így a várható hozam is állandó. 25-26 A befektetők tehát a befektetések kockázatától függő adott hozamelvárások mellett fektetnek be. A piaci várható hozamok is ezekhez a hozamelvárásokhoz kell igazodjanak. Azaz, minden pillanatban akkora az ár, hogy az ár és a jövőbeli várható jövedelmek viszonya éppen a kockázatához illő elvárt hozamot adja. Mivel a kockázatosság állandó, így a várható hozam is állandó. A jövőbeli jövedelmekkel kapcsolatos várakozás folyamatosan változik (mialatt a kockázat állandó), erre reagál az árfolyam. 2014. ősz Befektetések I.

IV.5. Állandó volatilitású, időben független hozam feltételezése 26 IV.5. Állandó volatilitású, időben független hozam feltételezése A részvényárfolyamok ingadozásának kérdése már jóval bonyolultabb. Az árfolyamok ingadozását a (normális eloszlású) hozam σ(r) szórásából származtatjuk. 2014. ősz Befektetések I.

Azonos normális eloszlásúak összege: 27 Azonos normális eloszlásúak összege: Összeg várható értéke: Összeg szórása: Ez már a korrelációs kapcsolatoktól is függ Csak két esetet vizsgálunk: ki,j=1 és ki,j=0 Általános képlet két elemre Általános képlet n elemre 2014. ősz Befektetések I.

27-28 Két elemnél: n elemnél: 2014. ősz Befektetések I.

PT lognormális eloszlású Ábrázoljuk! 28 Legyenek az r1, r2, …, rn hozamok egy P0-ból PT-be tartó árfolyam n darab ti (azonos hosszúságú) időszakai alatti azonos normális eloszlás szerint alakuló hozamai! T=nti Első megközelítésként legyen ki,j=1, azaz a tagok tökéletesen függjenek egymástól. Ekkor PT PT lognormális eloszlású Ábrázoljuk! 2014. ősz Befektetések I.

28 ri 1 2 3 n=4 ri1 ri2 E(ri) ri3 n, T 2014. ősz Befektetések I.

29 4ri n, T 3ri nr1 2ri nr2 1ri nE(ri) nr3 2014. ősz Befektetések I.

29 P0 Pi 1 2 3 4 n, T P1 P2 P3 2014. ősz Befektetések I.

Adja meg annak a P0=100 árfolyamú befektetésnek az n=9 év múlvai hozamát és árfolyamát (mint valószínűségi változót), amelynek egymástól tökéletesen függő normális eloszlású éves (azonos) hozamainak az alábbiak a paraméterei! E(ri)=12%, σ(ri)=20% 2014. ősz Befektetések I.

30 Most nézzük a ki,j=0 esetet, tehát azt, amikor a tagok tökéletesen függetlenek egymástól. ri 1 2 3 n=4 E(ri) n, T 2014. ősz Befektetések I.

30 n, T nE(ri) 4ri 3ri 2ri 1ri 2014. ősz Befektetések I.

31 1 2 3 4 P0 n, T Pi 2014. ősz Befektetések I.

31 1 P0 2 3 4 n, T Pi 2014. ősz Befektetések I.

Adja meg annak a P0=100 árfolyamú részvények az n=9 év múlvai hozamát és árfolyamát (mint valószínűségi változót), amelynek egymástól tökéletesen független normális eloszlású éves (azonos) hozamainak a következők a paraméterei! E(ri)=12%, σ(ri)=20% Milyen sávban lesz 95,45% valószínűséggel a fenti részvény hozama és árfolyama 9 év múlva? 2014. ősz Befektetések I.

Folytonossá tétel Végtelen kis változások végtelen összegződése 32 Folytonossá tétel Végtelen kis változások végtelen összegződése n helyett T szükségünk van egy időegység kijelölésére Év E(ri) helyett a folyamatos kamatozású E(rc) σ(ri) helyett a σ(rc) egységnyi időre (egy évre) vonatkoztatva Ez a volatilitás 2014. ősz Befektetések I.

Most térjünk vissza árfolyammodellünkhöz. 32 Most térjünk vissza árfolyammodellünkhöz. A hozam várható értékének állandóságáról már szóltunk. Most a hozam szórásának (a volatilitásnak) az állandóságát látjuk be. Úgy tekintjük, hogy a hozamokat a várhatótól eltérítő (azaz a „szórást okozó”) új információk érkezése olyan normális eloszlású valószínűségi változóval ragadható meg, amelynek várható értéke éppen nulla, A „jó” és a „rossz” hírek azonos esélyűek. szórása pedig állandó Az információk véletlensége állandó. 2014. ősz Befektetések I.

Sőt, ez bármely kis időszakaszokra érvényes. 32 Modellünk tartalmazott még egy fontos kitételt, az emlékezetnélküliséget: Sőt, ez bármely kis időszakaszokra érvényes. Ez a tőkepiaccal kapcsolatos eddigi feltételezéseinkből következik. Az állandó várható hozam feltételezésénél arra építettünk, hogy a piac végtelen gyorsan és pontosan reagál a véletlenül érkező új információkra. De, ha a véletlenül érkező információkra végtelen gyorsak a reakciók, akkor az ezeket követő új információkra való reakciók független kell legyenek az előzőektől. 2014. ősz Befektetések I.

32-33 Volatilitás becslése Amennyiben az egyes időegységek hozamalakulásai függetlenek egymástól, T időszakot szemlélve a szórás Nézzük ezután meg, hogy miként becsülhetnénk meg a volatilitást múltbeli adatokból! Tekintsük a 0, 1, 2, …, n időpontban az azonos t távolságokra lévő árfolyamadatokat! (t években kifejezett, de nem feltétlenül éves hosszúságú.) Először számítsuk ki az egyes szakaszok hozamait! rct,i folytonos hozamok a t időszak alatti változásokat mutatják éves értelemben! 2014. ősz Befektetések I.

Majd helyettesítsünk be az általános képletbe: 33 Miután megvagyunk a „kis t-k alatti” hozamokkal, számítsuk ki ezek szórását! Majd helyettesítsünk be az általános képletbe: 2014. ősz Befektetések I.

Becsülje meg a t=0,5év hosszúságú időszakok végén a következő árfolyamadatokat mutató értékpapír volatilitását! P0=100; P1=110,517; P2=90,484; P3=105,127; P4=122,14 2014. ősz Befektetések I.

Tekintsük át az eddigi tudásunk birtokában a közelmúltbeli tőzsdei eseményeket! 2014. ősz Befektetések I.

rT E(rc)T T 1 2014. ősz Befektetések I.

2014. ősz Befektetések I.

2014. ősz Befektetések I.

Szigma-szabályok A várható érték körül 2, 4, 6 stb. szórásnyi tartományban mekkora valószínűséggel helyezkednek el a adatok: ±1σ sávban (-1,25% - +1,25%) az adatok 68,27%-a ±2σ sávban (-2,5% - +2,5%) az adatok 95,45%-a Átlagosan havonta egy napon ±3σ sávban (-3,75% - +3,75%) az adatok 99,73%-a Átlagosan másfél évenként egy napon ±4σ sávban (-5% - +5%) az adatok 99,9937%-a Átlagosan 63 évenként 1 napon ±5σ sávban (-6,25% - +6,25%) az adatok 99,999943%-a Átlagosan 7000 évenként 1 nap -1σ -2σ -3σ -4σ -5σ 5σ 4σ 3σ 2σ 1σ 2014. ősz Befektetések I.

Tények ±5σ sávban az átlagosan 7000 év helyett évente. Vastag farkú (fat tail) eloszlások A hozamok emlékezetnélküliek, de a volatilitások nem. A hozamok nem korrelálnak, de a hozamnégyzetek igen. Hosszú ideig kicsi volatilitás, majd a piac „felbolydul” (nagy árfolyamváltozások), és jellegzetesen nagyobb volatilitású időszak következik. (Az ok nem teljesen tisztázott.) -1σ -2σ -3σ -4σ -5σ 5σ 4σ 3σ 2σ 1σ 2014. ősz Befektetések I.

IV.6. Tökéletes árazású árfolyamok 33-34 IV.6. Tökéletes árazású árfolyamok Tökéletesen árazó tőkepiaci világ árazása Egységesen informált, racionális befektetők, tranzakciós költségek nélküli, végtelen gyors reakciói. A befektetések állandó kockázatosságai (bétái) miatt állandó hozamelvárások. Az új információk („hírek”) nulla várható értéke és időben állandó szórása miatt állandó volatilitás és időbeli függetlenség („emlékezetnélküliséget”). 2014. ősz Befektetések I.

Egy kis tőkepiaci árfolyamok modellezése történelem… Robert Brown: „Az 1827. év június, július és augusztus hónapjaiban a növényi virágporokban rejlő partikulák mikroszkopikus megfigyelésének rövid taglalatja” Brown-mozgás 2014. ősz Befektetések I.

1900. Louis Bachelier: „Théorie de la Speculation”. 1860. James Maxwell: a gázok tulajdonságai az atomi mozgásokkal magyarázhatók. Ez megmagyarázza a Brown-mozgást is. 1900. Louis Bachelier: „Théorie de la Speculation”. 1912. Albert Einstein: A Brown-mozgás matematikai háttere. 1965. Fama és Samuelson: „Tőzsdei árfolyamok viselkedése” 2014. ősz Befektetések I.

Sztochasztikus folyamatok 33-34 Sztochasztikus folyamatok Bolyongó mozgás, folyamat Brown-mozgás Hozam: aritmetikai Brown-mozgás Árfolyam: geometriai Brown-mozgás Wiener-folyamat Markov-folyamat Ito-folyamat E folyamatok jellegzetessége tehát, hogy t időszakonként egymástól független normális eloszlások véletlen értékei szerint „ugrál” a hozam. 2014. ősz Befektetések I.

2014. ősz Befektetések I.

Időbeli diverzifikáció csapdái „Egyet veszít, kettőt nyer” alapon 1000$. Elutasítás (1000$ elvesztése nagyobb veszteség, mint 2000$ nyerésének öröme). „De elfogadom a fogadást, ha vállalod, hogy százszor felajánlod azt.” „Egy dobás nem elég ahhoz, hogy a nagy számok törvénye megfelelő biztonsággal érvényesüljön.” Nézzünk utána! 2014. ősz Befektetések I.

Mivel az egyes érmefeldobások egymástól függetlenek: 1000 $-ért 50% eséllyel 2000$ 50% eséllyel -1000$ Mivel az egyes érmefeldobások egymástól függetlenek: A kockázat nő! Igaz, csak a négyzetgyökösen. 2014. ősz Befektetések I.

Teljesen más eseteket jelent, hogy n egy portfólió elemszáma: „Ne egyszerre dobjunk fel 1000 $-t, hanem 100-szor 10-10$-t!” Ebben az esetben az 1000$-os portfóliót osztjuk fel 100 részre, nem pedig 100 újabb fogadást kötünk. Ilyenkor érvényesül a „nagy számok törvénye”. 2014. ősz Befektetések I.

Nézzünk egy másik példát! A=5, egy rf és egy E(r)=15%, σ(r)=20% kombináció. Optimális választás: 0,4 - 0,6 Befektetőnk „megijed”, mert hozama 95%-kal -13,8% és 34,2% között ingadozik Arra gondol viszont, hogy ő hosszabb távra tervez, a különböző időszakok hozamai függetlenek, így végeredményben igen stabilan fogja hozni az éves 10,2%-ot. 2014. ősz Befektetések I.

Kétségtelen, hogy hosszabb távra kalkulálva a hozamok éves átlagos ( Kétségtelen, hogy hosszabb távra kalkulálva a hozamok éves átlagos (!) szórása csökken, méghozzá az idő négyzetgyökével. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a befektetés hosszabb távra kevésbé kockázatos! Hiszen az egyre kisebb éves átlagos hozamok az idővel arányosan egyre inkább „felnagyítódnak”. 2014. ősz Befektetések I.

De nem! E(rc)T 1 T rT 2014. ősz Befektetések I.

E(r) 4 n, T 1 9 2014. ősz Befektetések I.