Kvantitatív módszerek 5. Valószínűségi változó Elméleti eloszlások Dr. Kövesi János egyetemi tanár

A valószínűségi változó 68 A valószínűségi változó A valószínűségi változó fogalma A valószínűségi változó jellege Diszkrét Folytonos 

A valószínűségi változó jellemzői 69 A valószínűségi változó jellemzői Diszkrét Folytonos Eloszlásfüggvény Valószínűség-eloszlás fv. Sűrűségfüggvény Várható érték Elméleti szórás F(k) F(x) pk — — f(x) M() M() D() D() 

Valószínűség-eloszlás függvény 69 Valószínűség-eloszlás függvény pk = P(  = k ) Tulajdonságai: 

69 Pk - Feladat pk 1/6 1 2 3 4 5 6 k 

Eloszlásfüggvény F(k) = P(  < k ) F(x) = P(  < x ) 69 Eloszlásfüggvény F(k) = P(  < k ) F(x) = P(  < x ) Tulajdonságai:  Monoton növekvő: F(a)  F(b), ha a < b   Balról folytonos, szakadáshelyein a függvényérték a baloldali határértékkel egyezik meg. 

70 F(k) - Feladat 1/6 1 2 3 4 5 6 k F(k) 1/3 1/2 2/3 5/6 1 

69 pk és F(k) kapcsolata ahol a < b 

𝑃 𝑎≤ξ<𝑏 =𝐹 𝑏 −𝐹 𝑎 = 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =Terület 𝒇(𝒙) Terület a b F(𝒙) F(𝒃) F(𝒂) 𝑃 𝑎≤ξ<𝑏 =𝐹 𝑏 −𝐹 𝑎 = 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =Terület a b

70 Sűrűségfüggvény f(x) = F’(x) Tulajdonságai: f(x)  0 

f(x) és F(x) kapcsolata 70 f(x) és F(x) kapcsolata f(x) = F’(x) ahol a < b 

Várható érték ?! Tulajdonsága: 70 Várható érték pk 1/6 1 2 3 4 5 6 k Tulajdonsága: Feladat: Határozzuk meg a kockadobás várható értékét! ?! 

71 Szórásnégyzet, szórás Tulajdonsága: 

Egyéb jellemzők Medián Kvantilisek Módusz Momentumok Ferdeségi mutatók 71 Egyéb jellemzők Medián Kvantilisek Módusz Momentumok Ferdeségi mutatók Lapultsági mutatók 

72 Binomiális eloszlás 

Feladat (Binomiális eloszlás) 72 Feladat (Binomiális eloszlás) Mekkora valószínűséggel találunk egy 5%-os selejtaránnyal jellemezhető tömeggyártásból kivett 20 elemű véletlen mintában 1 db selejtes terméket? p = 0,05 n = 20 k = 1 P(k=1) = p1 = 0,3774 

Feladat (Binomiális eloszlás) 73 Feladat (Binomiális eloszlás) Az UEFA szigorú előírásai alapján… a.) P(=0) = p0 = 0,5987  0,6 UEFA 0,62=0,36 b.) P(=0) = p0 = 0,3585 P(=1) = p1 = 0,3774 KFT 0,7359 0,73593=0,40 

74 Poisson-eloszlás 

Feladat (Poisson-eloszlás) 74 Feladat (Poisson-eloszlás) Egy készülék meghibásodásainak átlagos száma 10000 működési óra alatt 10. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a készülék 200 működési óra alatt nem romlik el! M() =  = 200·10/10000 = 0,2 P(=0) = 0,8187 P(>0) = 0,1813 

Feladat (Poisson eloszlás) 75 Feladat (Poisson eloszlás) Egy készülék szavatossági ideje … Binomiális  Poisson  = 2000·0,0005 = 1 pk Lehetséges bevétel p0 = 0,3679 +1 M() = 0,746 p1 = 0,3679 +3/4 p2 = 0,1839 +1/2 p3 = 0,0613 +1/4 p4 = 0,0153 0 p5 = 0,0031 -1 Tehát a szavatosságra 25%-ot fordít! 

Exponenciális eloszlás 76 Exponenciális eloszlás F(x) 1 f(x)  ha x<0 ha x0 ha x0 ha x<0 M() = 1/ D() = 1/ 

A feltételes valószínűség fogalma Feladat : Egy telefonfülke előtt állunk … a.) E m l é k e z t e t ő b.) c.) 

Feladat (Exponenciális eloszlás) 77 Feladat (Exponenciális eloszlás) Egy automatizált gépsor hibamentes működésének … F(200)-F(150) = 

Feladat (Exponenciális eloszlás) 77 Feladat (Exponenciális eloszlás) Egy radioaktív anyag… M() = 2 év Az anyag fele elbomlik x = 1,39 év P(3) = 1- P(<3)=1-F(3)= 0,2231 

Feladat (Exponenciális eloszlás) 78 Feladat (Exponenciális eloszlás) f(x)  F(1/) = ? 63,21% F(1/) = = 1 - 0,3679 = 0,6321 M() = 1/ 

Normális (Gauss-) eloszlás 80 Normális (Gauss-) eloszlás f(x)  F(x) 0,5 M() =  D() =   

80 Standardizálás Standardizálás logikai menete M(u) = 0 D(u) = 1 

80 Standardizálás Az eloszlás 0 körül szimmetrikus, ezért: 

Feladat (Normális eloszlás) 82 Feladat (Normális eloszlás) 200 g névleges tömegű mosópor töltésekor előírás szerint az ATH=190g, amely alá a legyártott mennyiség 4%-a kerülhet. A jelenlegi töltési folyamatban μ=204,4g, σ=9,4g. a.) Megfelel a gyártás az előírásoknak? Ha nem akkor milyen töltési szintet kell elérni, hogy megfeleljen? b.) Mekkora legyen a szórás, hogy μ=204,4g lehessen a töltés várható értéke? 

Feladat-1 (Normális eloszlás) 82 Feladat-1 (Normális eloszlás) P(<190) = F(190) = 204,4  = 9,4 6,3% ? 190 1-0,9370 = 0,063 

Feladat-1 (Normális eloszlás) 82 Feladat-1 (Normális eloszlás) P(<190) = F(190) =0,04 204,4  = 9,4 ?? 0,96 4% 190 ?? =206,45 g  =8,22 g 

Feladat-2 (Normális eloszlás) 83 Feladat-2 (Normális eloszlás) A bélszínrolót négyesével …. P(<55) = F(55) = = (1) = 0,8413 1-0,8413 = 0,1587  0,16 0,164 = 0,0006 Binomiális eloszlás: p= 0,16 k= 4 n= 4 táblázatból 

Feladat-3 (Normális eloszlás) 83 Feladat-3 (Normális eloszlás) Export konyak töltésénél az 510ml alatti palackok aránya legfeljebb 3% lehet. Megvizsgáltak egy n=20.000 darabos tételt: az átlag űrtartalom 532,4ml, a szórás 6 ml volt. Mekkora az adott tételnél a töltési veszteség értéke, ha á=1000 Ft/palack? 

Feladat-3 (Normális eloszlás) 83 Feladat-3 (Normális eloszlás) P(<510) = 0,03 = F(510) = u= -1,88 (-u) = 0,97 =510+1,88·6= 521,3 ml (532,4-521,3)·20 000 = 222 000 ml 222 000/521,3= 425 db 425 000 Ft 

Feladat-4 (Normális eloszlás) 84 Feladat-4 (Normális eloszlás) Egy bankfiókban a napi kifizetések összege N(3,6 mFt; 0,9 mFt) eloszlást követ. a.) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a napi kifizetések összege a  intervallumba esik? b.) Mekkorára kellene a kifizetések szórásának megváltozni ahhoz, hogy az 5 mFt feletti kifizetések valószínűsége 4% legyen? c.) Mennyi pénzt kell tartani a fiókban, ha 95%-os valószínűséggel akarjuk biztosítani a kifizetések teljesítését? 

Feladat-4 (Normális eloszlás) 84 Feladat-4 (Normális eloszlás) a.) b.) c.)

A központi határeloszlás tétele 86 A központi határeloszlás tétele 

A központi határeloszlás tétele 86 A központi határeloszlás tétele 