Numerikus differenciálás és integrálás y y f ’(x) f(x) f(x)  f(x) x x x1 x1 x2 Gräff József

Tartalomjegyzék Numerikus differenciálás módszerei Első és második differencia hányados A módszer tulajdonságai Differenciál egyenlet átírási módja Numerikus integrálás módszerei Egylépéses formulák Többlépéses formulák Runge-Kutta módszer

Numerikus differenciálás Adott egy f(x) valós függvény, melynek szeretnénk adott pontjaiban a függvény érintőit meghatározni numerikusan. Ha f(x) differenciálható, akkor differenciálhányadosa közelítőleg előállítható a függvény értékek lineáris kombinációjaként. Ez akár differenciál egyenleteket numerikus megoldásához is felhasználható.

Differenciálás Legyen az f(x) függvény diszkrét pontokban adott: yi = f(xi) Ahol: xi azok a diszkrét pontok, ahol a függvény értékét keressük, erre igaz, hogy xi+1 = xi+h h a lépésköz yi a függvény értékek a diszkrét pontokban

Első derivált kiszámítása Matematikailag levezethető az alábbi összefüggések: A közelítési hiba nagyságrendje: f ’(xi) Jelentése: Az i-edik helyen úgy közelítjük meg a függvény meredekségét, hogy felírjuk xi-1 és xi+1 helyen levő függvény értékek által alkotott húr meredekségét. y f(x) yi+1 yi-1 y’ h h x xi-1 xi xi+1

Második derivált meghatározása Matematikailag levezethető az alábbi összefüggések: A közelítési hiba nagyságrendje: Jelentése: Az i-edik helyen úgy közelítjük meg a függvény meredekségét, hogy felírjuk xi-1 és xi+1 helyen levő függvény értékek által alkotott húr meredekségét. y f(x) yi+1 yi-1 h x xi-1 xi xi+1 h h

A módszer tulajdonságai Könnyű, egyszerű képletek Az f(x) függvény pontjait ismerni kell A differenciálás a mérési hibákat, hirtelen ugrásokat nagyon felnagyítja, stabilitási problémák adódnak Szimulációhoz nagyon kicsi lépésköz kell

Differenciál egyenlet átírása Tekintsük az alábbi, klasszikus másodrendű differenciál egyenletet: Az egyenlet a differencia hányadosok segítségével így alakul: Ahhoz, hogy a következő, tehát x(ti+1) értéket megkapjuk, ki kell fejezni a fenti egyenletből (egyszerűsítések után):

A D.E. kezdőértékei Adottnak tekintjük a következő kezdeti értékeket: Viszont x1-re is szükségünk van, ezért azt kénytelenek vagyunk a kezdeti feltételekből kikövetkeztetni: x x’0 x1 = x0+x’0*h Ha ez megvan, akkor iterációval x2-től kiszámítható minden x érték x0 t h