Végeselemes modellezés matematikai alapjai Szerkezet-építőmérnök MSc V. Előadás: Matematikai finitizálás. Bázisfüggvények felvétele 1D, 2D, és 3D feladatoknál Előadó: Dr. Pomezanski Vanda Olimpia

Függvénytér finitizálása Az 𝐮 vektorban szereplő ismeretlen függvények megadása: A függvényeket adott szabályok alapján választjuk ki a lehetséges függvénytér egy véges dimenziós alteréből. Az alteret az azt kifeszítő bázisfüggvények megadásával, azok lineáris kombinációjaként jelöljük ki. Bázisfüggvények: Egy elemhez tartozó kitüntetett pontok száma és a szükséges folytonosság alapján definiálhatóak. Definiálhatóak az elemhez tatozó bázisfüggvények. Definiálható a bázisfüggvények elemhez tartozó része.

Függvényfelvétel Alakfüggvények Interpolációs függvények Bázisfüggvények Jelölés: 𝑁 𝑖

Függvény tulajdonságai 𝜑 1 𝑥 = 𝑥≤ 𝑥 𝑘−1 0 𝑥 𝑘−1 ≤𝑥 ≤𝑥 𝑘 1−3 𝑥 𝑘 −𝑥 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑘−1 2 +2 𝑥 𝑘 −𝑥 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑘−1 3 𝑥 𝑘 ≤𝑥≤ 𝑥 𝑘+1 1−3 𝑥− 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘+1 − 𝑥 𝑘 2 +2 𝑥− 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘+1 − 𝑥 𝑘 3 𝑥 𝑘+1 ≤𝑥 0 𝜑′ 1 𝑥 = 𝑥≤ 𝑥 𝑘−1 0 𝑥 𝑘−1 ≤𝑥 ≤𝑥 𝑘 6 𝑥 𝑘 −𝑥 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑘−1 2 −6 𝑥 𝑘 −𝑥 2 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑘−1 3 𝑥 𝑘 ≤𝑥≤ 𝑥 𝑘+1 −6 𝑥− 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘+1 − 𝑥 𝑘 2 +6 𝑥− 𝑥 𝑘 2 𝑥 𝑘+1 − 𝑥 𝑘 3 𝑥 𝑘+1 ≤𝑥 0

1D: Bázisfüggvények felvétele vonalelemek esetében Vonalelem: egyváltozós feladat. A végeselem egy szakasz. Pontokat a két végén és ha szükséges a szakasz belsejében is felvesszük. Ezekben a pontokban előírhatjuk a függvény és a deriváltjai értékét. ELŐÍRÁSOK

1D: Bázisfüggvények felvétele vonalelemek esetében Ha egy elemnél 𝑚 darab előírásunk van, akkor 𝑚 darab interpolációs függvényt kell használnunk és azok (𝑚−1)- ed fokúak. Az egyes függvények értéke egy adott pontban egy, a többi pontban pedig zérus. Az interpolációs függvényeket igyekszünk a lehető legalacsonyabb fokszámú tagokból összeállítani: Lagrange-polinomok Hermite-polinomok Hatványsor: 1 𝑥 𝑥 2 𝑥 3 …

1D C(0) folytonos elemek Lagrange-polinom 𝑛 kitüntetett pont esetén: 𝑥− 𝑥 1 𝑥− 𝑥 2 … 𝑥− 𝑥 𝑖−1 𝑥− 𝑥 𝑖+1 … 𝑥− 𝑥 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 1 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 … 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖+1 … 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑛 Alkalmazható: Globális koordináta-rendszerben Paraméteres koordináta-rendszerben A szakaszok egyben szimplexek is, így a természetes koordináta-rendszer is alkalmazható.

1D C(0) folytonos kétpontos elem Globális koordináta-rendszer 𝑥− 𝑥 1 𝑥− 𝑥 2 … 𝑥− 𝑥 𝑖−1 𝑥− 𝑥 𝑖+1 … 𝑥− 𝑥 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 1 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 … 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖+1 … 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑛 1 𝑥 1 𝑥 2 ℓ 𝑥 𝑖 𝑥 𝑁 1 𝑁 2 𝑁 1 𝑥 = 𝑥− 𝑥 2 𝑥 1 − 𝑥 2 = 𝑥−ℓ 0−ℓ = ℓ−𝑥 ℓ 𝑁 2 𝑥 = 𝑥− 𝑥 1 𝑥 2 − 𝑥 1 = 𝑥−0 ℓ−0 = 𝑥 ℓ 𝑚=2 𝑥 1

1D C(0) folytonos hárompontos elem Globális koordináta-rendszer 𝑥− 𝑥 1 𝑥− 𝑥 2 … 𝑥− 𝑥 𝑖−1 𝑥− 𝑥 𝑖+1 … 𝑥− 𝑥 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 1 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 … 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖+1 … 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑛 1 𝑥 1 𝑥 3 ℓ 𝑥 𝑖 𝑥 𝑁 1 𝑁 3 𝑥 2 ℓ/2 𝑁 2 𝑁 1 𝑥 = 𝑥− 𝑥 2 𝑥− 𝑥 3 𝑥 1 − 𝑥 2 𝑥 1 − 𝑥 3 = 𝑥− ℓ 2 𝑥−ℓ 0− ℓ 2 0−ℓ 𝑁 2 𝑥 = 𝑥− 𝑥 1 𝑥− 𝑥 3 𝑥 2 − 𝑥 1 𝑥 2 − 𝑥 3 = 𝑥−0 𝑥−ℓ ℓ 2 −0 ℓ 2 −ℓ 𝑁 3 𝑥 = 𝑥− 𝑥 1 𝑥− 𝑥 2 𝑥 3 − 𝑥 1 𝑥 3 − 𝑥 2 = 𝑥−0 𝑥− ℓ 2 ℓ−0 ℓ− ℓ 2 𝑚=3 𝑥 2

1D C(0) folytonos kétpontos elem Paraméteres koordináta-rendszer 𝜉− 𝜉 1 𝜉− 𝜉 2 … 𝜉− 𝜉 𝑖−1 𝜉− 𝜉 𝑖+1 … 𝜉− 𝜉 𝑛 𝜉 𝑖 − 𝜉 1 𝜉 𝑖 − 𝜉 2 … 𝜉 𝑖 − 𝜉 𝑖−1 𝜉 𝑖 − 𝜉 𝑖+1 … 𝜉 𝑖 − 𝜉 𝑛 1 𝜉 1 −1 𝜉 2 𝜉 𝑖 𝜉 𝑁 1 𝑁 2 𝑁 1 𝜉 = 𝜉− 𝜉 2 𝜉 1 − 𝜉 2 = 𝜉−1 −1−1 = 1 2 1−𝜉 𝑁 2 𝜉 = 𝜉− 𝜉 1 𝜉 2 − 𝜉 1 = 𝜉+1 1+1 = 1 2 1+𝜉 𝑚=2 𝜉 1

1D C(0) folytonos hárompontos elem Paraméteres koordináta-rendszer 𝜉− 𝜉 1 𝜉− 𝜉 2 … 𝜉− 𝜉 𝑖−1 𝜉− 𝜉 𝑖+1 … 𝜉− 𝜉 𝑛 𝜉 𝑖 − 𝜉 1 𝜉 𝑖 − 𝜉 2 … 𝜉 𝑖 − 𝜉 𝑖−1 𝜉 𝑖 − 𝜉 𝑖+1 … 𝜉 𝑖 − 𝜉 𝑛 1 𝜉 1 −1 𝜉 3 𝜉 𝑖 𝜉 𝑁 1 𝑁 3 𝜉 2 𝑁 2 𝑁 1 𝑥 = 𝜉− 𝜉 2 𝜉− 𝜉 3 𝜉 1 − 𝜉 2 𝜉 1 − 𝜉 3 = 1 2 𝜉 𝜉−1 𝑁 2 𝑥 = 𝜉− 𝜉 1 𝜉− 𝜉 3 𝜉 2 − 𝜉 1 𝜉 2 − 𝜉 3 =1− 𝜉 2 𝑁 3 𝑥 = 𝜉− 𝜉 1 𝜉− 𝜉 2 𝜉 3 − 𝜉 1 𝜉 3 − 𝜉 2 = 1 2 𝜉 𝜉+1 𝑚=3 𝜉 2

1D C(0) folytonos kétpontos elem Természetes koordináta-rendszer ℓ 2 2 ℓ 1 𝑁 1 𝑁 2 Ha ℓ 2 =0 akkor 𝑁 1 = 𝐿 1 = ℓ 1 ℓ Ha ℓ 1 =0 akkor 𝑁 2 = 𝐿 2 = ℓ 2 ℓ

1D C(0) folytonos hárompontos elem Természetes koordináta-rendszer 2 𝑁 1 𝑁 3 𝑁 2 𝑁 1 𝐿 1 , 𝐿 2 = 𝐿 1 2 𝐿 1 −1 𝑁 2 𝐿 1 , 𝐿 2 = 2 𝐿 1 2𝐿 2 =4 𝐿 1 𝐿 2 𝑁 3 𝐿 1 , 𝐿 2 = 𝐿 2 2 𝐿 2 −1

1D C(1) és C(n) folytonos elemek Hermite-polinomok 𝑛 feltétel esetén: Az 𝑛 feltétel miatt 𝑛 tag lineáris kombinációjaként állítjuk elő. Ehhez egy 𝑛−1 -ed fokú polinomot használunk vektor alakba rendezve: 𝐱 T = 1 𝑥 𝑥 2 𝑥 3 … 𝑥 𝑛−1 A kombinációhoz szükséges együtthatók: 𝐚 𝑖 T = 𝑎 𝑖1 𝑎 𝑖2 𝑎 𝑖3 𝑎 𝑖4 … 𝑎 𝑖𝑛 Az 𝑖. bázisfüggvény e két vektor skaláris szorzata: 𝑁 𝑖 𝑥 = 𝐱 T 𝐚 𝑖 Az 𝐚 vektor elemei konstansok, deriváláskor csak az 𝐱 tényezőt kell deriválni: 𝑑𝑁 𝑖 𝑑𝑥 = 𝑑𝐱 T 𝑑𝑥 𝐚 A feltételeknek megfelelően az 𝑁 𝑖 𝑥 𝑖 és a 𝑑𝑁 𝑖 𝑥 𝑖 𝑑𝑥 tagokat vektorba rendezzük. Az így kapott konstansokból álló együtthatómátrix: 𝐁 . Eredményül egységvektorokat szeretnénk kapni: 𝐞 𝑖 = 𝐁 𝐚 𝑖 és 𝐚 𝑖 = 𝐁 −1 𝐞 𝑖 𝑁 𝑖 𝑥 = 𝐱 T 𝐁 −1 𝐞 𝑖 𝑁 1 𝑁 2 𝑁 3 𝑁 4 … 𝑁 𝑛 = 𝐱 T 𝐁 −1 𝐄

1D C(1) folytonos hárompontos elem Globális koordináta-rendszer 𝑛=5 𝐱 T = 1 𝑥 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4 𝑑 𝐱 T 𝑑𝑥 = 0 1 2𝑥 3𝑥 2 4𝑥 3 𝐚 𝑖 T = 𝑎 𝑖1 𝑎 𝑖2 𝑎 𝑖3 𝑎 𝑖4 𝑎 𝑖5 𝐁 = 1 𝑥 1 𝑥 1 2 𝑥 1 3 𝑥 1 4 0 1 2𝑥 1 3 𝑥 1 2 4 𝑥 1 3 1 𝑥 2 𝑥 2 2 𝑥 2 3 𝑥 2 4 1 𝑥 3 𝑥 3 2 𝑥 3 3 𝑥 3 4 0 1 2𝑥 3 3 𝑥 3 2 4 𝑥 3 3 𝑁 1 𝑁 2 𝑁 3 𝑁 4 𝑁 5 = 𝐱 T 𝐁 −1 𝐄 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3

1D C(1) folytonos hárompontos elem Paraméteres koordináta-rendszer 𝑛=5 𝐱 T = 1 𝜉 𝜉 2 𝜉 3 𝜉 4 𝑑 𝐱 T 𝑑𝑥 = 𝑑 𝐱 T 𝑑𝜉 𝑑𝜉 𝑑𝑥 = 0 1 2𝜉 3𝜉 2 4𝜉 3 2 ℓ 𝐚 𝑖 T = 𝑎 𝑖1 𝑎 𝑖2 𝑎 𝑖3 𝑎 𝑖4 𝑎 𝑖5 𝐁 = 1 −1 1 −1 1 0 1 2 ℓ −2 2 ℓ 3 2 ℓ −4 2 ℓ 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 2 ℓ 2 2 ℓ 3 2 ℓ 4 2 ℓ 𝑁 1 𝑁 2 𝑁 3 𝑁 4 𝑁 5 = 𝐱 T 𝐁 −1 𝐄 −1 +1

1D C(1) folytonos kétpontos elem Paraméteres koordináta-rendszer A koordináta-rendszer elhelyezésének hatása: −1 +1 +1 𝑑𝜉 𝑑𝑥 = 2 ℓ 𝑑𝜉 𝑑𝑥 = 1 ℓ 𝑁 1 𝜉 = 1 2 − 3 4 𝜉+ 1 4 𝜉 3 𝑁 2 𝜉 = ℓ 8 1−𝜉− 𝜉 2 + 𝜉 3 𝑁 3 𝜉 = 1 2 + 3 4 𝜉− 1 4 𝜉 3 𝑁 4 𝜉 == ℓ 8 −1−𝜉+ 𝜉 2 + 𝜉 3 𝑁 1 𝜉 =1−3 𝜉 2 +2 𝜉 3 𝑁 2 𝜉 =ℓ 𝜉− 2𝜉 2 + 𝜉 3 𝑁 3 𝜉 =3 𝜉 2 −2 𝜉 3 𝑁 4 𝜉 ==ℓ − 𝜉 2 + 𝜉 3

1D C(1) és C(n) folytonos elemek Természetes koordináta-rendszer ℓ 2 𝜉 𝜉= ℓ 2 𝑁 1 𝐿 2 =1−3 𝐿 2 2 +2 𝐿 2 3 𝑁 2 𝐿 2 =ℓ 𝐿 2 −2 𝐿 2 2 + 𝐿 2 3 𝑁 3 𝐿 2 =3 𝐿 2 2 −2 𝐿 2 3 𝑁 4 𝐿 2 =ℓ 𝐿 2 3 − 𝐿 2 2 𝑁 1 𝐿 1 =3 𝐿 1 2 −2 𝐿 1 3 𝑁 2 𝐿 1 =ℓ 𝐿 1 2 − 𝐿 1 3 𝑁 3 𝐿 1 =1−3 𝐿 1 2 + 𝐿 1 3 𝑁 4 𝐿 1 =ℓ 𝐿 1 −2 𝐿 1 2 + 𝐿 1 3 𝐿 1 + 𝐿 2 =1 Megadhatók a függvények vegyesen is, mindig az egyszerűbbet választva!

2D: Bázisfüggvények felvétele felületelemek esetében Pascal-háromszög, teljes 𝑛-ed fokú polinomok 1 x y x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 x4 x3y x2y2 xy3 y4

Példa különböző koordináta rendszerekre Globális koord.r.: Paraméteres koord.r.: Természetes koord.r.:

Egyszerű módszer kézi számításhoz

2D C(0) folytonos négyszögelemek A Pascal-háromszögből négyszögeket „vágunk ki”. Nem teljes polinomok!

2D C(0) bilineáris négyszögelem Paraméteres koordináta-rendszer

2D C(0) biquadratikus négyszögelem Paraméteres koordináta-rendszer

2D C(0) 8 csomópontos serendipity-elem Paraméteres koordináta-rendszer Az 𝐱 vektorba nem kerülnek be a Pascal-háromszögből kimetszett azon elemek melyek mindkét változójukban elsőnél magasabb fokúak:

2D C(1) folytonos háromszögelem A háromszög oldalainál nem csak a függvények és deriváltjaik oldalirányú metszeteinek egyezését, hanem az az oldalakra merőleges irányú egyezést is biztosítani kell.

Függvény illesztés 𝑝 – a függvény értéke, 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 - az érintő iránytangense, 𝑝 𝑥𝑥 , 𝑝 𝑥𝑦 , 𝑝 𝑦𝑦 - a görbület értéke. 𝑝 𝑛 - az érintősíkra merőleges irány. Paraméteres koordináták esetében deriváláskor a láncszabályt kell alkalmazni:

2D C(1) folytonos függvény téglalapelemhez

3D: Bázisfüggvények felvétele térbeli elemek esetében Pascal-gúla Globális koord.r.: Paraméteres koord.r.: Természetes koord.r.:

3D: Téglatestek 8 sarokpontos elem

3D: Serendipity téglatest 𝜉 𝜂 𝜁

Bázisfüggvények felvétele Teljes 𝑛-ed fokú polinomok: minden koordináta irányban ugyanolyan kitevőjű tagok szerepelnek benne. Hiányos polinomok: nem konform elemek Bázisfüggvények célja: Geometria leírása, lokális és globális koordináta-rendszer közötti kapcsolat megadása Elmozdulásfüggvények közelítése Izoparametrikus elemek: mindkét közelítésre ugyanazokat a függvényeket használjuk Szubparametrikus elemek : a koordináta leírás alacsonyabb fokú Szuperparametrikus elemek : az elmozdulásfüggvények közelítése alacsonyabb fokú

Irodalom Dr. Bojtár Imre, Dr. Gáspár Zsolt: Tartók Statikája IV. Műegyetemi Kiadó, 1993. Bojtár Imre, Gáspár Zsolt: A végeselemmódszer matematikai alapjai, BME Tartószerkezetek Mechanikája Tanszék, Budapest, 2009. Bojtár Imre, Gáspár Zsolt: Végeselemmódszer építőmérnököknek, TERC Kiadó Budapest, 2003.