Fraktálok Egy általános, d=1,2,3 dimenzióban megjelenő alakzat lefedése Feddjük le az alakzatot ε élű d-dimenziós kockákkal. Határozzuk meg lefedéshez szükséges kockák legkisebb N(ε ) számát adott ε felbontás mellett. Vizsgáljuk hogyan nő N(ε), ha csökkentjük a felbontást. A tapasztalat szerint, ha ε<<1, akkor N(ε) ~ ε-D0. Ha D0 kisebb, mint a tér d dimenziója, D0<d, akkor az alakzat fraktál, és D0 annak fraktál dimenziója, Mandelbrot, 1975

V(ε) ~ N(ε) εd ~ εd-D0 mindig nullához tart, mert d-D0>0. Hagyományos alakzatokra, pl. görbére, körre, D0=d. A fraktálok tagolt alakzatok A fraktálok kerülete (felülete) K(ε) ~ N(ε) εd-1 ~ εd-D0-1 divergál, ha d-D0-1<0, ha tehát: D0>d-1. A fraktálok térfogata V(ε) ~ N(ε) εd ~ εd-D0 mindig nullához tart, mert d-D0>0. A fraktáloknak nincs térfogatuk, nullmértékű alakzatok!

A fraktál dimenzió mérése (box counting) Ha lnN -et ábrázoljuk ln(1/ ε) függvényében, akkor egy D0 meredekségű egyenest kapunk. Nagyon nagy és kis ε-okra eltérés. Legalább két nagyságrenden keresztül teljesüljön az egyenes tulajdonság (különben gyakorlati értelemben sem fraktál). Ahol az egyenes viselkedés teljesül, ott a rendszer fraktál jellegű, önhasonló. Kis részletei kinagyítás után ugyanolyanok mint nagyobb rajzolatai.

A legjobb fraktál: A Hold felszíne önhasonló a 10-6 m-tol a 106m-ig, azaz 12 nagyságrenden keresztül. D0=2.2 ‘Kevésbé’ jók: Tibet, D0=2.5, a Föld másutt D0=2.3 A legfraktálabb élelem: piramis karfiol

Szabályos fraktálok dimenziója Ha a fraktál egy egységből egy lépésben N egyforma kisebb egységre bomlik, melyek mérete az eredeti r-szerese (r<1): n lépés után ε= rn, N(ε)=Nn Ezért ln N(ε)=n ln N= D0 ln(1/ε) = =D0 ln(1/r) A dimenzió D0=lnN/ln(1/r) Sierpinski-háromszög Mozaik Anagni-ból (Olaszo), 1104-ből. D0=ln3/ln2=1,56.

További példák D0=ln9/ln3=2 Nem fraktál, mert D0=d=2, a terület véges D0=ln7/ln3=1,77 Fraktál, mert D0<d=2, területe 0, a kerület divergál D0=2 Fraktál, mert D0<d=3, térfogata 0

Építészeti fraktálok D0=ln20/ln3=2,72 Xavier Vilalta, Shopping center, Addis Ababa, Etiópia Taipei Performing Art Center

Cantor-szálak D0=1+ln2/ln(1/r)>1 A Cantor-halmaz és az intervallum direkt szorzata: D0=1+ln2/ln(1/r)>1

D0=ln2/ln(1/r1)+ln2/ln(1/r2) Cantor-felhő Két Cantor-halmaz direkt szorzata D0=ln2/ln(1/r1)+ln2/ln(1/r2)

A matematika problémája a fraktálokkal A Weierstrass-függvény, 1872 Folytonos, de sehol sem differenciálható. Hermite levele Stieltjeshez a XIX sz. végén: „Rémülettel és borzalommal fordulok el ettől a siralmas fekélytől: függvények, melyeknek nincsen deriváltjuk!” A fraktálok „matematikai szörnyetegek”, melyek nem fordulhatnak elő a természetben, csak a matematikában, gondolták -> Bourbaki-mozgalom 1935, öncélú absztraktság

A Mandelbrot-halmaz (1980) A matematikai Mandelbrot-halmaz azon c komplex számokból áll (a „komplex számsík” azon pontjainak mértani halmaza), melyekre az alábbi zn rekurzív sorozat: z0=0 nem tart a végtelenbe.

Numerikusan azt figyeljük, hogy adott c komplex számra a zn mennyire távolodik el az induló z0 ponttól, azaz az origótól. Ha ez a távolság nagyobb kettőnél, akkor azt mondjuk, hogy a vizsgált c pontban az iteráció divergál. Ha az iteráció 10000 lépésig nem kerül ki a 2 sugarú körből, akkor megtaláltuk a M-halmaz egy pontját, és a c helyet feketére színezzük.

A teljes Mandelbrot-halmaz: A fekete tartományban c komplex számokra a z komplex szám bármilyen nagy iteráció után is véges Azért nem lehet köze a fizikához, mert a fordított „mozgás”: zn=±(zn+1 –c)1/2 nem egyértelmű. A Newton-egyenlet mindig megfordítható.

Kövér fraktálok Lyukacsos alakzat, melynek van térfogata (ementáli sajt), de az ε felbontással mért térfogat lassan konvergál az egzakt (nem nulla!) térfogathoz: V(ε)-V ~ εα , α<1 Hagyományos alakzatokra α=1, Példák: a szerkesztés n-edik lépésében nem λ-szorost, hanem λn-szerest vágunk ki, λ<1. λ=0.6

Káosz és fraktálszerkezet A fizikában előforduló káoszban csak a következő típusú fraktálok fordulhatnak elő (sematikus ábrázolásban) Permanens Tranziens Súrlódásos Cantor-szál (k.attraktor) Cantor-felhő (k. nyereg) (disszipatív) Súrlódásmentes kövér fraktál (k. sáv) Cantor-felhő (k. nyereg) (konzervatív)

Káosz és fraktálszerkezet Konkrét esetekkel (melyek az előző ábrázolás deformált rajzainak tekinthetők) Permanens Tranziens Súrlódásos (disszipatív) Súrlódásmentes (konzervatív) Ezek a fraktálok a Newton-egyenletből következnek!

Ajánlott oldalak és irodalom: Informatika tanárjelöltek fraktál oldala: http://matchsz.inf.elte.hu/logosecsetvonasok/lecke7.html Nagy Péter káosz-játéka: http://nagypeter-gamf.uw.hu/kaosz-jatek Kecskés Lajos, Egy ölnyi végtelen, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002