Fordítás (formalizálás, interpretáció) A fordításnak meg kell tartania a jelentést (azaz az igazságfeltételeket). Másképp: az eredeti és a lefordított mondatnak minden lehetséges világban meg kell, hogy egyezzen az igazságértéke. Ha ezzel megelégszünk, az annyit jelent, hogy ha A* helyes fordítása az A mondatnak, akkor A* minden szinonimája (minden vele ekvivalens mondat) is jó fordítás. Módszer: mindig kívülről befelé haladunk. Példa: 3.21 első mondata egy diszjunkció. A diszjunkció első argumentuma egy atomi mondat. A második argumentumát tovább tudjuk bontani, mert az egy konjunkció. A konjunkció argumentumai már atomi mondatok, tehát készen vagyunk. Házi feladat: 3.21 (+ 3.22) Célszerű a Tarski’s World segítségével megírni, egy .sen fájl formájában.

A Boole-konnektívumok logikája Kitérő a logikai lehetőségről Egy K konklúzió következménye a P1, P2, ... Pn premisszáknak: Lehetetlen, hogy P1, P2, ... Pn igaz legyen, de K hamis. Speciális eset: n=0 Azaz: lehetetlen, hogy K hamis legyen. Pl. ‘a=a’ ilyen mondat. Az ilyen mondatokat nevezzük logikai igazságoknak, feltéve, hogy a ‘lehetetlen’ annyit jelent, hogy logikai okokból lehetetlen. Ennek ellenkezője az ellentmondás (logikai lehetetlenség). (1) (Tet(b)  Cube(b)  Dodec(b)) lehetséges a geometriai objektumok világában, de nem lehetséges Tarski’s World-ben. Azaz az(1) mondat a blokknyelvben (analitikus) ellentmondás, nem lehet igaz. (2) Tet(b)  Tet(b) nem lehetséges, hogy igaz, mert akár igaz Tet(b), akár hamis, ez a mondat hamis és ehhez azt se kell tudnunk, mit jelent Tet(b). Tehát ez ellentmondás, logikai lehetetlenség. A következmény definíciója attól függ, hogy mi számít (logikai) lehetőségnek. Ezért többféle következményfogalom van.

Igazságtáblázatok Az igazságkonnektívumok bevezetésénél már szerepeltek. Ha egy mondat n különböző atomi mondatot tartalmaz, akkor az igazságtáblázata 2n sorból áll. Az igazságtáblázat sorai reprezentálják a logikai lehetőségeket abban az elméletben, amiben éppen most dolgozunk (kijelentéslogika [propositional logic], 0-rendű logika, tautológiák elmélete). Ha egy mondat igazságtáblázatának eredményoszlopában csupa T áll, akkor a mondat logikai igazság, közelebbről tautológia (0-rendű logikai/kijelentéslogikai igazság). Ha két mondat igazságtáblázatának az eredményoszlopa megegyezik, akkor a két mondat kijelentéslogikailag (tautologikusan) ekvivalens. Példák: De Morgan-szabályok. Igazságtáblázattal tetszőleges mondat esetében meg tudjuk határozni, az atomi mondatok milyen igazságértékelése (evaluation) mellett igaz. Ezen belül: tautológia-e, (tautologikusan) lehetséges-e? Tautológia, ha minden sorban T van. Tautologikusan lehetséges (TT-possible), ha legalább egy sorban T van

Igazságtáblázatokat a Boole nevű programmal tudunk készíteni. Példa: (A  (A  (B  C)))  B A kettős vonaltól balra levő oszlopok a referenciaoszlopok, tőle jobbra van(nak) az értékelendő mondatok oszlopa(i). A Table menüben vannak az oszlopok hozzáadására vagy törlésére való utasítások. Annyi referenciaoszlopra van szükségünk, ahány atomi mondat, ill. mondatbetű szerepel a kiértékelendő mondat(ok)ban. Tehát most az A, B, C mondatbetűknek lesz egy-egy referenciaoszlopa (Build reference columns gomb). A referenciaoszlopokat kitölthetjük kézzel is, csak fel kell sorolnunk mind a 8 lehetőséget. De megteszi a Fill reference columns gomb is. Az egyes sorokban az igazságértékeket magunknak kell kitöltenünk. Ha egy konnektívum alá kattintunk, Boole zölddel jelzi az argumentuma(i)t. Ha mindegyik zöld kockában van már igazságérték, akkor a konnektívum igazságtáblázata alapján meg tudjuk mondani, hogy a helyre, ahova kattintottunk, milyen igazságértéket kell írnunk, és ki tudjuk tölteni az egész oszlopot. Ha (valamelyik) zöld kocka üres, akkor előbb ki kell számítanunk annak a konnektívumnak az értékét, amely alatt van. Tehát belülről kifelé kell haladnunk az értékelésnél.

Ha készen vagyunk (elértünk a legkülső konnektívumig), akkor meg tudjuk állapítani, hogy a mondatunk tautológia-e, ellentmondás-e, vagy egyik se. Az Assessment gombbal feljövő menüben rögzíteni tudjuk ezt a megállapításunkat. Meg tudjuk Boole-ban írni az igazságtáblázatot a diszjunkció konjunkcióra való disztributivitásának ellenőrzésére. Ehhez két eredményoszlopra van szükségünk. Az Assessment-ben azt tudjuk megállapítani, hogy a két mondat ekvivalens-e (igen), illetve hogy az első mondat következik-e a másodikból (igen), és a második következik-e az elsőből (igen). Az ekvivalencia két mondat között kölcsönös következményviszonyt jelent. HF: 4.7 – ne feledkezzenek meg az assessment-ről!

A logikai igazságok fajtái Analitikus(tágabb értelemben vett logikai) igazságok Szigorú értelemben vett logikai igazságok Tautológiák Példák a blokknyelvből: Tautológia: Cube(a)  Cube(a) Szigorú értelemben logikai igazság, de nem tautológia: a=a Analitikus, de nem szigorú értelemben logikai igazság:Cube(a)  Tet(a)  Dodec(a)

A logika centrális fogalmai általában és a kijelentéslogikában Logikai igazság Logikai ekvivalencia Logikai következmény Kijelentéslogikában Tautológia Tautologikus ekvivalencia Tautologikus következmény Definíció igazságtáblázattal A mondat igazságtáblázatának eredményoszlopában minden sorban T áll. A két mondat igazságtáblázatának eredményoszlopa megegyezik. Azokban a sorokban, ahol mindegyik premissza igaz, a konklúzió is igaz

Példa: Az A  B és a A  B mondatoknak következménye B. Fitch formátumban: A  B A  B B Két lehetőségünk van : Ellenőrizzük igazságtáblázattal (Boole). Ellenőrizzük indirekt úton: tegyük fel , hogy a premisszák igazak és a konklúzió hamis. Ha ebből ellentmondásra jutunk, a következtetés helyes. Ha B hamis, de A  B igaz, akkor A-nak igaznak kell lennie. De akkor A  B hamis, és ez ellentmond annak a feltevésünknek, hogy mindkét premissza igaz. Ugyanez formalizálva, analitikus fa készítésével: https://ruzsa.tbitai.me/ Ennek következő alkalommal vágunk neki.