Demonstrátorok: Sulyok Ági agisulyok@gmail.com Tóth  István topijuggle@gmail.com

Henkin-Hintikka játék É: Pali is, Pista is jól sakkozik. T: Nem igaz. É: Bizonyítsd be. Mi nem igaz? T: Nem igaz, hogy Pali jól sakkozik. A ̒Pali jól sakkozik’ atomi mondat hamis. Nyertem. -------- É: Pali vagy Pista jól sakkozik. T: Bizonyítsd be. Melyikük sakkozik jól? É: Pista. T. Nyertél. É: Pali. T: Ez hamis. Nyertem.

Két játékosunk van: Én és a Természet Két játékosunk van: Én és a Természet. A játék tétje: ki kell találni egy mondat igazságát és meg kell védeni a választásunkat. A játék menete: Én megmondom, hogy szerintem a kiinduló mondat igaz-e vagy hamis. A Természet az ellenkezőjét fogja mondani. Megnézzük, milyen összetétellel (Boole-konnektívummal) jött létre a mondat. Mindegyik konnektívumhoz tartozik két játékszabály arra, hogy ilyenkor melyik mondattal kell folytatni a játékot és hogyan változik a két játékos elkötelezettsége. Az egyik szabály arról szól, mi van, ha Én a mondat igazsága mellett köteleztem el magam, a másik arról, ha a hamissága mellett.

A negáció játékszabályai: Ha állítom, hogy "A” igaz, akkor állítanom kell, hogy A hamis. Ha "A” hamisságát állítottam, akkor A igazságát kell választanom. A konjunkció játékszabályai: Ha állítod egy konjunkció igazságát, akkor meg kell tudnod védeni mindkét tagjának igazságát. A Természet választ, hogy melyiket kell megvédened. Ha állítod egy konjunkció hamisságát, akkor meg kell védened valamelyik tagjának hamisságát. Te választasz, hogy melyiket. A diszjunkció játékszabályai: Ha állítod egy diszjunkció igazságát, akkor állítanod kell egyik tagjának az igazságát. Te választasz, hogy melyiket. Ha állítod egy diszjunkció hamisságát, akkor állítanod kell bármelyik tagjának a hamisságát. A Természet választ, hogy melyiket. A játékszabályok az igazságszabályok átfogalmazásai.

Boole-Hintikka-játék, összefoglalva: Én állítom egy mondat igazságát vagy hamisságát (az első lépésben szabadon választok). A Természet ellenem játszik: mindig az ellenkező állásponton van. Minden lépésben állítanom kell egy egyszerűbb mondat igazságát vagy hamisságát. A második lépéstől kezdve a szabályok diktálják, hogy melyik játékos választhat mondatot, és milyen igazságértéket kell állítania. A végén egy atomi mondat marad, igaz vagy hamis. Ha jót állítok az utolsó lépésben, nyertem. Próbáljuk ki: 3.6 Ha a kiinduló lépésben rosszul választottam, a Természet fog nyerni. Ha jól indultam el és minden lépésben jól választok, amikor választhatok, Én nyerek. HF.:3.9

Nem igaz, hogy b kocka vagy tetraéder. Nem igaz, hogy b kicsi és piros. b nem kocka és nem tetraéder. b nem kicsi vagy nem piros. Általában: "(A  B)” igazságértéke mindig ugyanaz, mint "A  B” igazságértéke. Igazságtáblázattal könnyen ellenőrizhető. És ugyanígy van "(A  B)” és "A  B” is. Más oldalról : A zárójeleket nem lehet csak úgy elhagyni! Se konjunkciót, se diszjunkciót nem lehet tagonként negálni!!! Nem ugyanaz: (A  B) A  B A  B És ugyanígy diszjunkcióval: "(A  B)”, "A  B”, "A  B” mind különböző!

Két mondat (logikai értelemben) szinonim, ha megegyeznek az igazságfeltételeik, azaz bármely helyzetben avagy világban ugyanaz az igazságértékük. Ilyen a blokknyelvben BackOf(a, b) és FrontOf(b, a). Ez a BackOf és FrontOf predikátumok jelentésén múlik. Azt is mondhatjuk, hogy a két mondat (analitikusan) ekvivalens De ha A és B tetszőleges mondatok, ilyen szinonímia áll fenn "(A  B)” és " A  B” között, és ez csak az előforduló logikai szimbólumok jelentésén múlik. Az ilyen szinonímiát nevezzük (szigorú értelemben) logikai ekvivalenciának. Jele:  A De Morganról elnevezett két törvény tehát: (A  B)  A  B (A  B)  A  B Igazságtáblázattal tudjuk igazolni. Egy négysoros igazságtáblázatunk lesz, két eredményoszloppal:

A B (A  B) A  B T F A két eredményoszlop megegyezik, tehát a két mondat ekvivalens. HF: 3.16

További, még egyszerűbb logikai ekvivalenciák: A kettős negáció törvénye: A   A A konjunkció kommutativitása: A  B  B  A A diszjunkció kommutativitása: A  B  B  A A konjunkció asszociativitása: (A  B)  C  A  (B  C) A diszjunkció asszociativitása: (A  B)  C A  (B  C) Nem triviális kérdés: disztributív-e a konjunkció a diszjunkcióra? Igen: A (B  C)  (A  B)  (A  C) És a diszjunkció disztributív-e a konjunkcióra? HF: Bizonyítsuk be (igazságtáblázattal), hogy igen. Egy nyolcsoros igazságtáblázatot kell szerkeszteni. A szorzás disztributív (szétosztható) az összeadásra: a*(b+c) = a*b + a*c