Fraktálok a tőzsdén Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Bolyai Intézet Geometria Tanszék Matematika-tanár szak Szakdolgozat Fraktálok a tőzsdén Gombos Kitti Kata Témavezető: Dr. Kurusa Árpád 2010
Tartalomjegyzék Bevezető Káosz és fraktál 2.1 Fraktálok a természetben 2.2 Káosz és fraktál 2.3 Fraktálok előállítása 2.4 Szabálytalanság és dimenzió 2.5 Önhasonlóság Fraktálok és dimenzióik 3.1 Hausdorff-dimenzió 3.2 Dobozszámláló dimenzió 3.3 Konkrét számítások Fraktálok a közgazdaságban 4.1 Bevezetés 4.2 A hozamok függetlensége 4.3 R/S analízis és Hurst-exponens Fraktálok keresése a valós tőzsdéken 5.1 A Dow Jones index vizsgálata 5.2 A General Electric részvény vizsgálata 5.3 A magyar BUX index hasonlóságai és eltérései a nemzetközi indexektől 6. Fraktálok és furcsaságok 6.1 Peano-görbe 6.2 Az ördögi lépcső 6.3 Koch-sziget 7. Tartalmi összefoglaló 8. Irodalomjegyzék 9. Felhasznált ábrák listája 10. Köszönetnyilvánítás 11. Nyilatkozat
1. Bevezető
2. A fraktálfogalom és kialakulása 1975 Mandelbrot: a fraktál Falconer az alábbi tulajdonságok teljesülése után nevez egy halmazt fraktálnak: Finom struktúrája van Túl szabálytalan ahhoz, hogy leírható legyen a klasszikus geometriában Önhasonló Fraktáldimenziója nagyobb mint a topológiai dimenziója Egyszerűen definiálható
2.1 Fraktálok a természetben
2.2 Káosz és fraktál Hétköznapi értelemben a káosz a teljes zűrzavar, a fejetlenség, a rendetlenség, illetve az összevisszaság megjelölésére utal Matematikai értelemben: Molekuláris Determinisztikus káosz - Káoszjáték (Sierpinski-háromszög)
2.3 Fraktálok előállítása
Cantor-halmaz
Sierpinski-háromszög
Sierpinski-szőnyeg & Menger-szivacs
Mandelbrot-halmaz
Koch-görbe
2.4 Szabálytalanság és dimenzió
Nem rektifikálható görbék
2.5 Önhasonlóság Szigorú önhasonlóság Pontbeli önhasonlóság Szigorú önhasonlóság X önhasonlóság (természetben előforduló fraktálok)
3. Fraktálok és dimenzióik 3.1 Hausdorff-dimenzió 3.2 Dobozszámláló-dimenzió 3.3 Konkrét számítások kb. 1,352 kb. 1,59 kb. 1,26
4. Fraktálok a közgazdaságtanban 4.1 Bevezetés Hagyományos gondolkozás Újklasszikus iskola 4.2 A hozamok függetlensége A piaci hatékonyság szintjei: Gyenge hatékonyság Közepes hatékonyság Erős hatékonyság 4.3 R/S analízis és Hurst-exponens Az R/S-analízis különböző időperiódusokra kiszámolja a kumulált adatok átlag körüli ingadozásainak R terjedelmét, majd ezt az adatok S szórásával elosztva standardizálja Mit is mutat meg számunkra a Hurst-exponens? ha H<0.5 akkor ún. antiperzisztens viselkedés ha H=0,5 véletlen bolyongás ha H>0.5 perzisztens viselkedés
5. Fraktálok keresése a valós tőzsdéken
5.1 A Dow Jones index vizsgálata A vizsgálat lépései: Az árfolyamokból készített diagram képe fraktál? Függetlenség vizsgálata R/S-analízis
1. Dobozszámláló-dimenzió kiszámítása dimDJ: kb.1,204
2. Függetlenség vizsgálat A vizsgálat eredménye: A Dow Jones ipari index hozamai nem függetlenek az 2000. január és 2009. december közötti időszakban, ezáltal nem áll fenn a hatékony piacok hipotézise.
3. R/S-analízis
Eredmény: H=0,418 A Dow Jones ipari index 2000. január és 2009. decembere közötti hozamai közepesen hatékonyak.
5.2 A General Electric részvény vizsgálata Lépései: a hozamok függetlenségének vizsgálata R/S-analízis
1. Függetlenség vizsgálata A General Electic részvény hozamai az 2000. január és 2009. december közötti időszakban függetlenek, így fennáll a hatékony piacok hipotézise.
2. R/S-analízis H=0,5
5.3 A magyar BUX index hasonlóságai és eltérései a nemzetközi indexektől Észrevételek: 2000-res évi vizsgálatok: 0,7 körüli Hurst-expones Saját vizsgálat: 2000 januártól 2009 decemberéig terjedő adatsorra, 0,553 körüli érték az utóbbi években a magyar piac „másolja” a külföldre jellemző gazdasági tendenciákat
6. Fraktálok és furcsaságok Peano-görbe Az ördögi lépcső Koch-sziget
6.1 A Peano-görbe
6.2 Az ördögi lépcső (1)
6.2 Az ördögi lépcső (2) Az ördögi lépcső az a síkhalmaz, amelyet az f függvény grafikonja, az x-tengely és az y=1 egyenletű egyenes határol.
6.3 Koch-sziget (1)
6.3 Koch-sziget (2)
Köszönöm a figyelmet!