Technológiai folyamatok optimalizálása Folyamatok matematikai modellezése Ráduly Botond Mészáros Sándor

Mit értünk a matematikai modellezés alatt? olyan matematikai összefüggések azonosítása, amelyek leírják az optimizálandó folyamatot nem szükséges a matematikai modellezés ha „kísérletező” optimalizálást végzünk, amikor is a döntési változókat módszeresen változtatjuk a legjobb megoldás megtalálása érdekében a választott optimumkritériumtól függetlenül, ennek kifejezése a rendszer változóinak függvényében történik egy rendszer változói lehetnek döntési (független) változók illetve állapot- (függő) változók. Az állapotváltozók nem jelennek meg a célfüggvény kifejezésében.

A matematikai modell sémája x1 y1 rendszer bemenő változók x2 y2 kimenő változók xn yn a matematikai modellezés szempontjából bemenő változók egy része az optimalizálás szempontjából döntési változó, míg a többi rögzített változó

A matematikai modell sémája a feladatban rögzített változók y1 rendszer y2 kimenő változók yn döntési változók a matematikai modellezés szempontjából bemenő változók egy része az optimalizálás szempontjából döntési változó, míg a többi rögzített változó

A matematikai modell sémája a matematikai modell statikus modellek esetén egy algebrai egyenletrendszer; dinamikus modellek esetén egy differenciálegyenletekből álló rendszer az optimalizálásban akkor használható egy matematikai modell, ha a kimenő változók felírhatóak a bemenő döntési változók függvényében a matematikai modellek lehetnek lineárisak vagy nemlineárisak a rendszert leíró egyenletek függvényében a rendszert leíró egyenletek azonosítása szerint analitikus (mechanisztikus), statisztikai (empirikus) és hibrid modellekről beszélhetünk

Analitikus (mechanisztikus) modellek megmaradási törvényekre, a rendszerben végbemenő fizikai, kémiai, biológiai változások törvényeire épülnek anyagmegmaradás törvénye: belépő tömegáram – kilépő tömegáram = tömegváltozás mértéke a rendszerben energiamegmaradás törvénye: a rendszerrel időegység alatt közölt hő (vezetés, sugárzás, reakció) belépő energiaáram (mozgási, potenciális és belső energia) kilépő energiaáram (mozgási, potenciális és belső energia) a rendszer által időegység alatt végzett munka a rendszer energiaváltozásának sebessége =

impulzusmegmaradás törvénye: Mechanisztikus modellek egyenletei impulzusmegmaradás törvénye: a rendszer x irányú mozgásmennyiség-változásának sebessége a rendszerre x irányban ható erők összege = állapotegyenletek: entalpia törvénye egyetemes gáztörvény parciális nyomástörvény Henry törvénye stb... kinetikai egyenletek: Arrhenius törvénye reakciósebesség-egyenletek a reagensek konverziójának egyenletei stb...

Mechanisztikus modellek egyenletei pl. fermentációs reaktor mechanisztikus modellezése: biomassza növekedési rátája: szubsztrátum fogyási rátája: biomassza pusztulási rátája: hidrolízis rátája:

szubsztrátum koncentrációváltozásának mértéke: biomassza koncentrációváltozásának mértéke: Cs – szubsztrátum koncentrációja Cb – biomassza koncentrációja Cs,i – szubsztrátum belépő koncentrációja Cb,i – biomassza belépő koncentrációja Vr – reaktor térfogata Fi – belépő térfogatáram

Mechanisztikus modellek előnyei és hátrányai Előnyök: széles érvényességi tartomány flexibilitás – nem csak a modellezett rendszerre érvényes, hanem hasonló rendszerekre is Hátrányok: feltételezi a modellezett rendszerben végbemenő folyamatok, jelenségek beható ismeretét megfelelő szakképzettséget igényel a folyamatok egyenleteinek felírása a mechanisztikus modell általában igen komplex és nehezen használható optimalizálásra a modellt kísérleti mérések segítségével érvényesíteni kell

Empirikus (statisztikai) modellek A modellezett rendszer változói közötti összefüggéseket empirikusan azonosítjuk A kapott egyenletek nem (vagy csak igen erőltetett módon) értelmezhetőek, ezért black-box modelleknek is nevezzük őket Kiindulási pont: ha a kívánt tartományban a modell helyesen leírja az összefüggéseket, sokszor nem lényeges, hogy a egyenleteknek van-e fizikai alapjuk, vagy teljesen önkényesek Empirikus modellezési módszerek: lineáris regreszió, polinomiális regresszió, mesterséges intelligencia hálózatok (ANN), NARMA modellek stb. Minden empirikus modellezési módszer meglehetősen nagy felhalmozott kísérleti adatmennyiséget igényel. Ennek hiányában nem lehet azonosítani egy empirikus modellt.

biomassza növekedési rátája: Lineáris regresszió biomassza növekedési rátája: mérési eredmények rn empirikus modell Cs a növekedési ráta egyenlete: rn = a1 + a2 ∙ Cs

biomassza növekedési rátája: Polinomiális regresszió biomassza növekedési rátája: mérési eredmények rn empirikus modell rn = a1 + a2 ∙ Cs + a3 ∙ Cs2 Cs az azonosított egyenletek (vagyis az empirikus modellek) csak egy bizonyos tartományban érvényesek és nem használhatóak hasonló rendszerek esetén ha a rendszeren bármit módosítunk, ami nem volt figyelembe véve a modellkészítés során, a modellt újra kell csinálni

rn DO Cs Többváltozós polinomiális regresszió ha az oldott oxigén (DO) koncentrációja változik a reaktorban, a növekedési ráta modellje nem lesz érvényes rn = a1 + a2∙Cs + a3∙Cs2 + a4∙DO + a5∙DO2

Empirikus modellek előnyei és hátrányai Előnyök: Nem szükséges modellezett rendszer és a benne végbemenő jelenségek s folyamatok beható ismerete Nem szükséges bonyolult matematikai algoritmusok ismerete a modellek azonosítása érdekében Az emp. modellek matematiakilag viszonylag egyszerűek ezért relatíve kis számítási kapacitást igényelnek Hátrányok: nagyon sok mérési eredményt igényelnek csak az előállításukra használt mérési eredmények tartományában érvényesek

Optimalizálási módszerek 1. Analitikus módszerek „klasszikus” optimumszámítási módszerek már a XVIII sz.-ban ismertek voltak (Newton, Leibnitz, stb.) a megoldást pontosan megtalálják feltételekkel és feltételek nélkül is használhatóak az optimalizálandó célfüggvény folytonos és deriválható kell legyen, valamint a deriváltaknak legalább egy része is folytonos kell legyen 1.a. Feltétel nélküli célfüggvények optimalizálása Legyen y = f(x) folytonos és deriválható függvény. A függvénynek maximumja van az x = x* pontban, ha létezik egy pozitív ε úgy, hogy minden – ε és + ε közötti bármely Δx értékre f(x* + Δx) - f(x*) ≤ 0

Amennyiben az előbbi feltételeknek megfelelően f(x. + Δx) - f(x Amennyiben az előbbi feltételeknek megfelelően f(x* + Δx) - f(x*) ≥ 0, úgy a fügvénynek minimumja van az adott x = x* pontban. Felírva a Taylor sorozatot: f(x* + Δx) - f(x*) = f’(x*)Δx + 0,5 ∙ f”(x*) Δx2 + ∙ ∙ ∙ ∙ Hogy f(x*) egy extremum legyen, ahhoz szükséges hogy f’(x) = 0. Ennek ismeretében: x* -ban minimum van, ha f”(x*) Δx2 > 0 x* -ban maximum van, ha f”(x*) Δx2 < 0 Ha f”(x*) Δx2 = 0, akkor: ha az első zérótól különböző derivált páros rendű, akkor x* maximum ha ez a derivált negatív és x* minimum ha ez a derivált pozitív. ha az első zérótól különböző derivált páratlan rendű, akkor x* egy inflexiós pont vízszintes tangenssel

Példa Egy gőzvezeték hőszigetelésének költsége (lej/m∙év)a következő formájú: C1 = a∙x + b A hőveszteség költsége (lej/m∙év): C2 = c/x +d ahol a,b,c,d pozitív állandók és x a hőszigetelés vastagsága (m). Határozzuk meg a szigetelés vastagságát úgy, hogy a költségek összege minimális legyen. y = a∙x + b + c/x +d y C1 C2 x C a minimum feltétele: y’ = a – c/x2 = 0, innen x = (c/a)1/2 y’’ = 2∙c/x3 = 2∙c∙(a/c)3/2

1.b. Feltételes célfüggvények optimalizálása (egyenlőség-feltételes) Behelyettesítés módszere, Lagrange multiplikátorok módszere Legyen az y = f(x1,x2) célfüggvény kitéve a g(x1,x2) = 0 feltételnek. Ekkor x2 = h(x1) és y = f(x1, h(x1)), amely már egy feltétel nélküli célfüggvény és megoldható az alőbbikebne leírt módon. Példa Minimalizáljuk y = 4∙x12 + 2∙x22 + 4∙x1∙x2 +2∙x2 + 1 célfüggvényt, úgy, hogy x1 + x2 = 0 x1 = - x2  y = 4∙(-x2)2 + 2∙x22 + 4∙(-x2)∙x2 + 2∙x2 + 1 = 2∙x22 + 2∙x2 + 1 dy/dx2 = 4∙x2 + 2 = 0  x2 = - 0.5 d2y/d2x2 = 4 ≥ 0  x2 egy minimum. Visszahelyettesítve x1= 0.5, tehát a megoldás f(x1*,x2*) = 0.5

1.c. Egyenlőtlenség-feltételes célfüggvények optimalizálása Egyenlőtlenség-elhanyagolás módszere, egyenlőtlenség-átalakítás módszere a célfüggvényt feltétel nélküliként kezeljük ellenőrizzük hogy a stacionárius pontok a megengedett tartományon belül vannak-e ha igen, akkor a feltétel nélküli feladat megoldása azonos a feltételesével ha nem, akkor a megoldás a feltételek által megszabott határon (peremen) található. Ez esetben a peremfeltételeket egyenlőséggé alakítjuk és így oldjuk meg a feladatot

Példa Minimalizáljuk y = 4∙x12 + 2∙x22 + 4∙x1∙x2 + 2∙x2 + 1 célfüggvényt, úgy, hogy x1 + x2 = 0 x1 + x2 - x1∙x2 ≥ 1.5 Ellenőrizzük, hogy x1 + x2 - x1∙x2 = 0.5 -0.5 – 0.5 ∙ (-0.5) = 0.25 ≤ 1.5 , vagyis az egyenlőtlenségi feltétel nem teljesül. Felírjuk tehát, hogy x1 + x2 - x1∙x2 = 1.5 és megoldjuk a minimalizálási problémát a behelyettesítés módszerével x1 = 1.2247 x2 = -1.2247 f(x1*,x2*) = 1.5505

Egyenlőtlenség-átalakítás módszere: - az egyenlőtlenségbe beviszünk egy fiktív pozitív változót - az átalakított egyenlőtlenség így egyenlőséggé alakul - az egyenlőség-feltételes optimalizálási problémát az előbbiekben már tárgyalt módon oldjuk meg Példa: y = 4∙x12 + 2∙x22 + 4∙x1∙x2 + 2∙x2 + 1 x1 + x2 ≥ 0 x1 + x2 - x1∙x2 ≥ 0.5 Átalakítva: x1 + x2 = x32  x32 - x1 - x2 = 0 x1 + x2 - x1∙x2 = x42 + 0.5  x42 - x1 - x2 + x1∙x2 = - 0.5 Elterjedt átalakítások: x ≥ 0 x = y2 , x = ey, x = |y| 1 ≥ x ≥ 0 x = sin2 y, x = ey /(ey + e-y) b ≥ x ≥ a x = a + (b - a) ∙ sin2 y