Kockázat és megbízhatóság Alapvető megbízhatósági eloszlások Dr. Kövesi János

Kockázat és megbízhatóság Poisson-eloszlás Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság Feladat Egy készülék meghibásodásainak átlagos száma 10000 működési óra alatt 10. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a készülék 200 működési óra alatt nem romlik el! M() =  = 200·10/10000 = 0,2 P(=0) = 0,8187 P(>0) = 0,1813 Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság Feladat Egy készülék szavatossági ideje egy év. A készülék 2000 darab azonos, különlegesen megbízható elemet tartalmaz, amelyek a szavatossági idő alatt egymástól függetlenül 0,0005 valószínűséggel romlanak el. A szavatosság alapján a gyártó vállalat az egy éven belül bekövetkezett meghibásodások javítására esetenként a teljes ár 1/4 részét fizeti vissza. Ha a javítások száma az év során eléri az ötöt, akkor a gyártó vállalat a már kifizetett négy javítási költségen felül a teljes árat is visszafizeti. Számítsuk ki, hogy előreláthatólag az eredeti vételár hány százaléka marad a gyártó vállalatnál! Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság Feladat Binomiális  Poisson  = 2000·0,0005 = 1 pk Lehetséges bevétel p0 = 0,3679 +1 M() = 0,746 p1 = 0,3679 +3/4 p2 = 0,1839 +1/2 p3 = 0,0613 +1/4 p4 = 0,0153 0 p5 = 0,0031 -1 Tehát a szavatosságra 25%-ot fordít! Kockázat és megbízhatóság

Exponenciális eloszlás 18 Exponenciális eloszlás ha t<0 ha t0 F(t) 1 f(t)  ha t0 ha t<0 M(τ) = 1/ D(τ) = 1/ Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság Feladat Egy telefonfülke előtt állunk és várjuk, hogy az előttünk beszélő befejezze a beszélgetést. Az illető beszélgetési időtartama véletlen esemény, melyre érvényes a következő: Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság Feladat Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a beszélgetés 3 percnél tovább tart! Mennyi annak a valószínűsége, hogy a beszélgetés további 3 percnél tovább tart, feltéve, hogy eddig 3 percnél tovább tartott? Mennyi annak a valószínűsége, hogy a beszélgetés t+3 percnél tovább tart, feltéve, hogy t percnél tovább tartott? Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság Feladat a.) b.) c.) Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság Feladat Egy automatizált gépsor hibamentes működésének valószínűsége 120 működési órára 0,9. Tegyük fel, hogy a működési idő exponenciális eloszlású. Számítsa ki a  meghibásodási rátát és a működési idő várható értékét, valamint annak a valószínűségét, hogy a gépsor a 150. és a 200. óra között meghibásodik. Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság Feladat F(200)-F(150) = Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság Feladat f(x)  63,21% F(1/) = ? F(1/) = = 1 - 0,3679 = 0,6321 M() = 1/ Kockázat és megbízhatóság

Normális (Gauss-) eloszlás 24 Normális (Gauss-) eloszlás f(t)  F(t) 0,5 M(τ) =  D(τ) =   Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság Standardizálás Standardizálás logikai menete M(u) = 0 D(u) = 1 Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság Standardizálás Az eloszlás 0 körül szimmetrikus, ezért: Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság Feladat Egy elektronikai gyárban tesztekkel igazolták, hogy egy TV képcső élettartama N(5,8 év; 2,3 év) eloszlású. A vállalat 2 év cseregaranciát vállal a képcsövekre. A képcsövek hány százalékát kell kicserélni a garancia időtartama alatt? Mekkorára kell növelni a képcsövek élettartamát (a szórás nem változik), ha a cég legfeljebb 2 %-os garanciális cserét szeretne elérni? Legfeljebb mekkora szórása lehet az élettartamnak – ha a várható érték nem változik (5,8 év) – ahhoz, hogy a 2 %-os célt elérjék? Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság Feladat 5,8  = 2,3 P(τ <2) = F(2) = ? 5% 2 Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság Feladat P(τ <2) = F(2) =0,02 5,8  = 2,3 ?? 0,98 2% 2 ?? =6,7 év  =1,60 év Kockázat és megbízhatóság

Csonkított normális eloszlás 2017.10.03. 24 Csonkított normális eloszlás f(t) ? t m Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság Feladat A termék működési ideje az első meghibásodásig t=0-ban csonkított normális eloszlású μ=8000 óra várható értékkel és σ=2000 óra paraméterrel. Határozzuk meg az R(t) hibamentes működés valószínűségét t=4000, 6000 és 8000 órára. Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság 2017.10.03. 21 Weibull-eloszlás R(t) F(t) 1 t Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság 22 Weibull-eloszlás f(t) b>1 a b=1 b<1 t Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság 23 Weibull-eloszlás l(t) b > 1 b < 1 b = 1 b>1 b=1 b<1 t t Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság Weibull-eloszlás Az eloszlásfüggvény ma is sok helyen (elsősorban az angolszász szakirodalomban) használt eredeti formája az alábbi volt: 𝐹 𝑡 =1− 𝑒 − 𝑡 𝜂 𝑏 ahol 𝑏 továbbra is az alakparaméter vagy Weibull kitevő. A 𝜂 pedig a mértékparaméter vagy karakterisztikus élettartam, ugyanis 𝑡 = 𝜂 esetben az 𝑅(𝑡) megbízhatósági vagy túlélési függvény értéke 37%-ra csökken. Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság 25 Lognormális eloszlás f(t) t Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság 26 Gamma-eloszlás f(t) t Kockázat és megbízhatóság