Kísérlet Ezzel ellentétben, a keskeny, mindenütt egyenlő keresztmetszetű vízszintes csőben áramló folyadék nyomása a cső mentén lineárisan csökken. p1p1 p2p2 A kontinuitási- és a Bernoulli-egyenletekből p 1 = p 2 következne! A nyomáscsökkenés a belső súrlódás miatt lép fel. Az energia vesztességet a súrlódási munka okozza. Látni fogjuk, hogy az áramerősség a nyomáseséssel arányos. Súrlódásos folyadék lamináris áramlása csövekben

Parabolikus sebességprofil p1p1 p2p2 L R Hagen-Poisseuille-törvény Számoljuk ki az áramlás áramerősségét! Ha v állandó a cső keresztmetszetén riri r i-1 Az integrál számolása (elmúlt órán láttuk) Ha v változik a cső keresztmetszetén részletek a táblán

Az analógia alapján a cső ellenállása: Súrlódásos folyadék lamináris áramlása csövekben A cső ellenállása. Elektromosságtani analógia elektromos áramerősség (I e )áramerősség (I) elektromos feszültség (U e )nyomásváltozás (Δp) elektromos ellenállás (Z e )ellenállás (Z) nyomásváltozás nyomásesés Fiziológiai szerepe: szervezetünk a kapilláris erekben áramló vér mennyiségét hatékonyan tudja szabályozni az erek átmérőjének változtatásával.

Turbulens áramlás Reynolds-féle kísérlet Egy bizonyos Reynolds-szám értéknél az áramlás jellege megváltozik! A jelenség lefolyását meghatározó változó: Reynolds-féle szám

Turbulens áramlás Sima csövekben a lamináris áramlás akkor válik turbulenssé, ha a Reynolds-féle szám eléri az R k =1160 értéket, ahol r : a cső sugara A kritikus sebesség: Pl.: 20 °C-os víz (  = 0,01 P) r = 1 mm r = 10 mm v kr = 1,16 m/s v kr = 0,116 m/s Vízvezetékcsövekben az áramlás legtöbbször turbulens Ha R kicsi, akkor a súrlódási erők nagyok. Súrlódásmentes folyadék: R = ∞ Reynolds-féle szám szemléletes jelentése

A dimenzióanalízis áramlástani alkalmazása Dimenzióanalízis, a Buckingham-féle pi-módszer Tegyük fel, hogy valamely fizikai rendszert n darab q 1, q 2, …, q n fizikai mennyiség jellemez. Ezek között általában valamely fizikai törvény által adott – sokszor ismeretlen – kapcsolat van: vagy explicit alakban A fizikai törvény kísérleti vizsgálatánál különösen lényeges a változók számának csökkentése. Hogyan vezethető be n-nél kevesebb – a q 1, q 2, …, q n fizikai mennyiségből képzett –, n – r darab (r > 0) Π 1, Π 2, …, Π n – r dimenziómentes változó? Ezekkel a fizikai törvény matematikai alakja egyszerűsödik: vagy explicit alakban Válasszunk mértékrendszert (M, L, T, θ vagy F, L, T, θ)! Ebben a mértékrendszerben a fizikai mennyiségek dimenziója kifejezhető az alapmennyiségek hatványainak szorzataként (a θ most nem játszik szerepet): j = 1, 2, …, n

A dimenzióanalízis áramlástani alkalmazása Az új dimenziómentes Π változó kifejezhető a régiek hatványaival: Behelyettesítve q 1, q 2, …, q n változók dimenzióit:, ahol az u.n. dimenziómátrix: Ha a D mátrix rangja r (azaz r = rang D), akkor k vektor komponensei közül n-r darab egymástól függetlenül, szabadon választható. Így n-r darab Π dimenziómentes változó képezhető!

Az új n-r darab dimenziómentes A dimenzióanalízis áramlástani alkalmazása változókat a homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai szolgáltatják. A változók és az alapmennyiségek száma miatt, a legtöbb esetben r = 3. Példa: áramló fluidumba merülő testre ható közegellenállási erő kiszámítása 1.) Mértékrendszer választása: (F, L, T) = (erő, hosszúság, idő) 2.) Milyen fizikai mennyiségektől függhet az erő: F = g(l, v, ρ, η). Itt n = 5. 3.) Ezekből írjuk fel a dimenziómátrixot és oldjuk meg az egyenletrendszert! q 1 = F, q 2 = l, q 3 = v, q 4 = ρ, q 5 = η

A dimenzióanalízis áramlástani alkalmazása n - r = 2 paraméter szabadon választható a megoldásban. Ezért 2 dimenziómentes Π változó – Π 1 és Π 2 – képezhető. Az egyenletrendszer rangja és a megoldások Gauss-féle eliminációval könnyen meghatározható! Esetünkben már felső háromszög alakra transzformált az egyenletrendszer, így a Gauss-féle eliminációval kapott végeredménnyel azonos alakú: r = rang D = 3 Ez alapján a dimenziómátrix:

A dimenzióanalízis áramlástani alkalmazása Legyen a két szabadon választható változó k 4 és k 5 A kitevőkre vonatkozó egyenletrendszer tehát Így az erőt meghatározó fizikai törvény matematikai alakja:

A dimenzióanalízis áramlástani alkalmazása Persze az eredményben szereplő egyváltozós G(x) függvény továbbra sem ismert, de méréssel ez sokkal kevesebb erőfeszítéssel határozható meg, mint az eredeti négyváltozós g függvény! Az eredményül kapott Π 2 dimenziómentes változó az áramlástan egyik alapvető dimenzió nélküli változója, a Reynolds-féle szám: Az eredményünket úgyis megfogalmazhatjuk, hogy Vagyis, ha az erőt  v 2 l 2 egységben mérjük, akkor az erő csak a Reynolds-számtól függ!

A dimenzióanalízis áramlástani alkalmazása A legnagyobb csoport, melyből még nem alkotható dimenziómentes változó: A módosított 3. lépés a példánkban: l, v, ρ A kimaradó változók: F és η. Mivel két változó maradt ki, kettő dimenziómentes változó konstruálható! A dimenzióanalízis k 1, k 2, …, k n hatványait más módon is meghatározhatjuk, az eljárás harmadik lépését kell másképpen csinálni. 3*: a módosított 3. lépés: Válasszuk ki a változók közül azt a lehető legnagyobb számú csoportot, melyekből még nem alkotható dimenziómentes változó. A fennmaradó változókból egyet hozzávéve dimenziómentes változót készítünk. Az előző lépést addig ismételjük amíg a fennmaradó változók elfogynak

A dimenzióanalízis áramlástani alkalmazása F: c - 1 = 0 L: a + b - 4c + 2 = 0 T: -b + 2c - 1 = 0 a = 1, b = 1, c = 1 A kimaradó változók közül F-t hozzávéve: F c + 1 = 0 L: a + b - 4c = 0 T: -b + 2c = 0 a = -2, b = -2, c= -1 A kimaradó változók közül η-t hozzávéve:

Közegellenállási erő A kísérletekből kapott G(x) függvényt gömbre vonatkozólag az alábbi ábra szemlélteti A Reynolds-szám kis értékeire A Reynolds-szám nagy értékeire Lineáris közegellenállási erőtörvény Négyzetes közegellenállási erőtörvény A dimenzióanalízis az arányossági tényezőkről nem ad információt! Ezeket kísérleti, vagy elméleti vizsgálattal kaphatjuk meg

Közegellenállási erő lamináristurbulens

Közegellenállási erő

Prandtl-féle határréteg elmélet Prandtl (1904) A belső súrlódást csak szilárd falak közvetlen közelében, a határrétegben kell figyelembe venni. A határrétegen kívül az áramlás súrlódásmentesnek tekinthető. A határrétegben éppen az a tartomány amelyben az áramlás sebessége nulláról növekedve eléri a normális - az akadály által nem befolyásolt - értékét. Ezért ebben a tartományban számottevő a sebesség gradiens. A határréteg vastagsága:

Lineáris közegellenállási erő Ha a Reynolds-szám kicsi (R < 10), akkor áramlásba helyezett test környezetében réteges áramlás alakul ki. A nyugalomban tartott testre a folyadék a különböző sebességű rétegek közti súrlódás miatt erőt gyakorol. Ugyanekkora erő lép fel, ha a testtől távol nyugvónak tekinthető folyadékban v sebességgel mozgatjuk. Stokes-féle ellenállástörvény Az  viszkozitású, nagy kiterjedésű folyadékban állandó v sebességgel mozgatott r sugarú golyóra a folyadék akadályozó erőt - közegellenállást - fejt ki. ( R ≤ 1 )

Négyzetes közegellenállási erő Gömb Gömbhéj (domború ) Gömbhéj (homorú) Kúp Kocka (elforgatva ) 0,47 0,4 1,4 0,5 1,05 0,81 0,04 Áramvonalas test cece Ha a Reynolds-szám nagy (R > 5000), akkor áramlásba helyezett test körül turbulens áramlás alakul ki. q a test homlokfelülete, ρ a fluidum sűrűsége, v az áramlás sebessége, c e a közegellenállási tényező.

Golyó esése fluidumban gg ,  Egyenletes mozgás esetén: v Kis részecskék (porszemek, felhőket, ködöt alkotó) igen lassan esnek, közelítőleg lebegnek. Részecskesugár mérésének lehetséges módszere. A golyóra a nehézségi erő, a felhajtó erő és a közegellenállási erő hat. Lamináris áramlást feltételezve (azaz R e kicsi)

Golyó esése fluidumban gg ,  Egyenletes mozgás esetén: Melyik feltételezés a helyes (lamináris vagy turbulens)? A kapott sebességből ki kell számolni a Reynolds-számot! Ez alapján dönthető el, hogy helyes volt-e a kiindulási feltétel. Turbulens áramlást feltételezve (azaz R e nagy) v