2015. őszBefektetések1 Hol tartunk… IV. Hozamok és árfolyamok –IV.1. Folytonos és diszkrét hozam Bármely időszak növekedését egyenletes nagyságúnak tekintve („egyenes” árfolyam-görbével közelítve) pillanatról-pillanatra csökkenő hozamokat kapnánk. Megoldás: folytonos kamatos kamatozás

2015. őszBefektetések2 100 P T 01 IV.1. Folytonos és diszkrét hozam

2015. őszBefektetések3 A diszkrét és a folyamatos kamat közötti eltérés nagyobb kamatoknál jelentős: 19

2015. őszBefektetések4 IV.2. Hozam számtani és mértani átlaga 19 P T 0 A diszkrét időpontokban mért árfolyamokat így modellezzük (amennyiben a két mért időpont alatti növekedési ütemet állandónak tekintjük): „Átlagos”

2015. őszBefektetések5 A folytonos hozam használatának kezdeti nehézségei később visszatérülnek. –A hozamok így egyszerűen összeadhatók. –12 részidőszakból álló adathalmazunk van t 1, t 2, …, t 12 P 0, P 1, P 2, …, P 12 r 1, r 2, …, r 12 (logaritmikusan számolt) –Ekkor a 12 részidőszak alatti összes növekedés, illetve az időszaki (folytonos kamatozással számított) átlagos hozam a következők szerint adódik: 20

2015. őszBefektetések6 –Amennyiben a t 1, t 2, …, t 12 időszakok megegyeznek (pl. napok, hónapok, évek stb.), akkor az átlagos hozam számítása még egyszerűbb: –„sima átlag” 20

2015. őszBefektetések7 Nézzük az első példát! –P 0 =100 részvény az 1. periódus végén 200, a 2. periódus végén ismét 100. A diszkrét hozamok: –Nézzük a diszkrét számtani és a mértani átlagot: –A ténylegest a mértani hozam mutatja helyesen. 21

2015. őszBefektetések8 –Nézzük most a folyamatos hozamokat: –Nézzük a folyamatos számtani és a „mértani” átlagot: Folyamatosnál a két átlag megegyezik és „helyes”. 21

2015. őszBefektetések9 Most nézzük a számtani és a mértani átlag kérdését! –Számtani átlag –Mértani átlag „Növekedések átlaga” – „Átlagos növekedés” Folyamatos kamatozásnál megegyeznek. 20

2015. őszBefektetések10 Nézzük a második példát! –P 0 =100, P 1 =50, P 2 =75, P 3 =37,5 és P 4 =56,25 21

2015. őszBefektetések11 Miért térnek el az átlagértékek? –Kezdjük a két diszkrét változat eltérésével! A számtani átlag időátlagolású hozam. –Ennél nem foglalkoztunk azzal, hogy melyik hozam mellett éppen mekkora alapösszeg növekedett. A mértani átlag összegsúlyozású hozam. –Ennél a növekedéseket súlyozzuk az időszak kezdetén jelentkező összeggel. –Most nézzük a diszkrét és a folyamatos eltérését! A folyamatos kamatozás végtelen kis időszakokra osztja a teljes időszakot, és így számítja a növekedéseket. A diszkrét valójában közelítése a folytonosnak. –Minél kisebbek a diszkrétnél vett intervallumok, annál pontosabb. 22

2015. őszBefektetések12 A diszkrét számtani mindig felülbecsli a tényleges eredményt. Ezt az okozza, hogy ugyanazon %-os változás felfelé kevésbé emeli a kisebb értékeket, mint lefelé csökkenti a nagyobbakat. –„Megduplázódik” (100%) – „Lefeleződik” (-50%) Mindezek után nem meglepő, hogy a számtani „hibája” a részhozamok szórásával (szórásnégyzetével) lesz arányos: 22

2015. őszBefektetések13 Az első példánál a számtani átlag 25% volt, míg a mértani, illetve a folyamatos 0%. A másodok példánál a számtani átlag 0% volt, a mértani -13,4%, a folyamatos -14,4%. 23

2015. őszBefektetések14 IV.3. Átlagos és várható hozam 23 A befektetések világában a diszkrét és a folyamatos kamatozás, és mindkét átlagszámítás ismerete is szükséges. A befektetések „jövőbeli” várható hozamának becslését is („jobb híján”) a múltbeli eredményesség vizsgálataira építik. Tőkepiaci befektetéseknél viszonylag stabil hozamú folyamatokat tételezhetünk fel. –Erre a kérdésre még részletesebben is kitérünk. Röviden, a várható hozamokat a múltbeli hozamok átlagértékei alapján adjuk meg.

2015. őszBefektetések15 Bár a mértani átlag a múltbeli eredményesség jobb mérőszáma, így kézenfekvőnek tűnik, hogy a jövőbeli várható „pénztermelő-képesség” becslésére is ezt használjuk. Azonban nem ilyen egyszerű a helyzet. Rövidebb távú várható hozamra (mondjuk egy hónapra, egy évre) ugyanis a számtani átlag adja a matematikailag korrektebb közelítést

2015. őszBefektetések16 IV.4. Állandó várható hozam feltételezése 24 Korábbi példáinknál a (folyamatos) árfolyamleírást használtuk. Ez jó akkor, ha a hozam fix, azonban az árfolyam legtöbbször véletlenszerűen változik. Sztochasztikus folyamatok. –Időben és változójában is folytonos sztochasztikus folyamattal közelítünk, bár egyik feltétel sem teljesül maradéktalanul.

2015. őszBefektetések17 Gondoljunk az árfolyamokkal kapcsolatos tanulmányainkra! (Üzleti gazdaságtan) –A befektetők a befektetések (piaci) kockázatától függő hozamelvárások mellett fektetnek be. –A piaci várható hozamok is ezekhez a hozamelvárásokhoz igazodnak. –Minden pillanatban akkora az ár, hogy az ár és a jövőbeli várható jövedelmek viszonya éppen a kockázatához illő elvárt hozamot adja. –Árfolyamváltozás: változik jövőbeli jövedelmekkel kapcsolatos várakozás, mialatt nem változik a kockázat, ezzel együtt az elvárt hozam sem. –Egy befektetés várható hozama tehát állandó! 25

2015. őszBefektetések18 P0P0 E(F1)E(F1) E(F2)E(F2) E(Fn)E(Fn) E(FN)E(FN) … … Nn21 0 ? Hozam Kockázat E(r)E(r) β rfrf Jók Rosszak

2015. őszBefektetések19 P0P0 E(F1)E(F1) E(F2)E(F2) E(Fn)E(Fn) E(FN)E(FN) … … Nn21 0 Hozam Kockázat E(r)E(r) β rfrf „Olcsó” P0P0 „Megfelelő árú”

2015. őszBefektetések20 … E(r)E(r) β rfrf … … …

2015. őszBefektetések21 Most gondolkodjunk el a tőzsdei (tőkepiaci) árazódás intenzitásának kérdésein! –(A témára még részletesebben is visszatérünk majd.) –Nézzünk előbb egy-két adatot az új információk beépítési gyorsaságáról, pontosságáról!

2015. őszBefektetések22 „Kétség kívül” előrejelezhetetlen események. –21 db között megesett „rossz hír” Zátonyra futott olajszállító tanker (Exxon) Repülőgép-szerencsétlenségek (United Airlines, USAir) Üzemrobbanások (Texaco, Quantum Chemical, ARCO) Igazgató, elnök váratlan halála (McClatchy Newspapers, Gillette). –Tőzsdei nyitva tartás alatti 6 db –Tőzsdei nyitva tartáson kívüli 15 db

2015. őszBefektetések ,5 102,5 100,0 97,0 Árfolyam Idő percekben Tőzsdei nyitva tartáson kívüli események Tőzsdei nyitva tartás alatti események

2015. őszBefektetések24 Általánosságban megállapíthatjuk, hogy a tőzsdéken az új információk beépítésének sebessége és pontossága igen nagy. Az árazás alapja, hogy a pillanatnyi ár éppen akkora várható hozamot biztosítson, amekkora a vállalt kockázatért jár.

2015. őszBefektetések25 1 E ( r M ) r f E ( r ) β β i E ( r i ) P 0 t P 1 Normál hozam Abnormális hozam Várható hozam

2015. őszBefektetések26 Új információk, véletlenszerűség idő árfolyam jövő jelen múlt

2015. őszBefektetések27 A befektetők tehát a befektetések kockázatától függő adott hozamelvárások mellett fektetnek be. A piaci várható hozamok is ezekhez a hozamelvárásokhoz kell igazodjanak. Azaz, minden pillanatban akkora az ár, hogy az ár és a jövőbeli várható jövedelmek viszonya éppen a kockázatához illő elvárt hozamot adja. Mivel a kockázatosság állandó, így a várható hozam is állandó. A jövőbeli jövedelmekkel kapcsolatos várakozás folyamatosan változik (mialatt a kockázat állandó), erre reagál az árfolyam. 24

2015. őszBefektetések28 Mekkora az éves és féléves diszkrét, illetve folyamatos kamatozással számolt hozama annak az értékpapírnak, amelynek árfolyam T=4 év alatt P 0 =100-ról P T =200-ra emelkedik?

2015. őszBefektetések29 Az alábbi árfolyamadatú értékpapír esetén mekkora az éves növekedések átlaga, illetve az átlagos éves növekedés diszkrét kamatozás mellett? P 0 =100; P 1 =110,517; P 2 =90,484; P 3 =105,127; P 4 =122,14

2015. őszBefektetések30 Az alábbi árfolyamadatú értékpapír esetén mekkora az éves növekedések átlaga, illetve az átlagos éves növekedés folytonos kamatozás mellett? P 0 =100; P 1 =110,517; P 2 =90,484; P 3 =105,127; P 4 =122,14

2015. őszBefektetések31 IV.5. Állandó volatilitású, időben független hozam feltételezése 25 A részvényárfolyamok ingadozásának kérdése már jóval bonyolultabb. –Az árfolyamok ingadozását a (normális eloszlású) hozam σ(r) szórásából származtatjuk.

2015. őszBefektetések32 Azonos normális eloszlásúak összege: –Összeg várható értéke: –Összeg szórása: Ez már a korrelációs kapcsolatoktól is függ Csak két esetet vizsgálunk: k i,j =1 és k i,j =0 Általános képlet két elemre Általános képlet n elemre 26

2015. őszBefektetések33 Két elemnél: n elemnél: 26-27

2015. őszBefektetések34 Legyenek az r 1, r 2, …, r n hozamok egy P 0 -ból P T -be tartó árfolyam n darab t i (azonos hosszúságú) időszakai alatti azonos normális eloszlás szerint alakuló hozamai! –T=nt i Első megközelítésként legyen k i,j =1, azaz a tagok tökéletesen függjenek egymástól. Ekkor P T P T lognormális eloszlású Ábrázoljuk! 27

2015. őszBefektetések35 riri 0 r i3 r i1 1 r i2 E(ri)E(ri) 23 n=4 n, T 27

2015. őszBefektetések36 n, T nr 1 nr 2 nr 3 nE(r i ) 3r i 4r i 2r i 1r i 28

2015. őszBefektetések37 28 P1P1 P3P3 P2P2 P0P0 PiPi n, T

2015. őszBefektetések38 Adja meg annak a P 0 =100 árfolyamú befektetésnek az n=9 év múlvai hozamát és árfolyamát (mint valószínűségi változót), amelynek egymástól tökéletesen függő normális eloszlású éves (azonos) hozamainak a következők a paraméterei: E(r i )=12%, σ(r i )=20%

2015. őszBefektetések39 Most nézzük a k i,j =0 esetet, tehát azt, amikor a tagok tökéletesen függetlenek egymástól. riri 0123 n=4 E(ri)E(ri) n, T 29

2015. őszBefektetések40 2r i 3r i 1r i n, T nE(r i ) 4r i 29

2015. őszBefektetések P0P0 n, T PiPi

2015. őszBefektetések42 1 P0P n, T PiPi 30

2015. őszBefektetések43 Adja meg annak a P 0 =100 árfolyamú részvények az n=9 év múlvai hozamát és árfolyamát (mint valószínűségi változót), amelynek egymástól tökéletesen független normális eloszlású éves (azonos) hozamainak a következők a paraméterei: E(r i )=12%, σ(r i )=20% ! Milyen sávban lesz 95,45% valószínűséggel a fenti részvény hozama és árfolyama 9 év múlva?

2015. őszBefektetések44 Folytonossá tétel –Végtelen kis változások végtelen összegződése n helyett T szükségünk van egy időegység kijelölésére –Év E(r i ) helyett a folyamatos kamatozású E(r c ) σ(r i ) helyett a σ(r c ) egységnyi időre (egy évre) vonatkoztatva –Ez a volatilitás 31

2015. őszBefektetések45 Most térjünk vissza árfolyammodellünkhöz. –A hozam várható értékének állandóságáról már szóltunk. –Most a hozam szórásának (a volatilitásnak) az állandóságát látjuk be. Úgy tekintjük, hogy a hozamokat a várhatótól eltérítő (azaz a „szórást okozó”) új információk érkezése olyan normális eloszlású valószínűségi változóval ragadható meg, amelynek várható értéke éppen nulla, –A „jó” és a „rossz” hírek azonos esélyűek. szórása pedig állandó –Az információk véletlensége állandó. 31

2015. őszBefektetések46 Modellünk tartalmazott még egy fontos kitételt, az emlékezetnélküliséget: Sőt, ez bármely kis időszakaszokra érvényes. Ez a tőkepiaccal kapcsolatos eddigi feltételezéseinkből következik. Az állandó várható hozam feltételezésénél arra építettünk, hogy a piac végtelen gyorsan és pontosan reagál a véletlenül érkező új információkra. De, ha a véletlenül érkező információkra végtelen gyorsak a reakciók, akkor az ezeket követő új információkra való reakciók független kell legyenek az előzőektől. 31

2015. őszBefektetések47 Volatilitás becslése –Amennyiben az egyes időegységek hozamalakulásai függetlenek egymástól, T időszakot szemlélve a szórás –Nézzük ezután meg, hogy miként becsülhetnénk meg a volatilitást múltbeli adatokból! –Tekintsük a 0, 1, 2, …, n időpontban az azonos t távolságokra lévő árfolyamadatokat! (t években kifejezett, de nem feltétlenül éves hosszúságú.) –Először számítsuk ki az egyes szakaszok hozamait! 32 r ct,i folytonos hozamok a t időszak alatti változásokat mutatják éves értelemben!

2015. őszBefektetések48 Miután megvagyunk a „kis t-k alatti” hozamokkal, számítsuk ki ezek szórását! 32 Majd helyettesítsünk be az általános képletbe:

2015. őszBefektetések49 Becsülje meg a t=0,5év hosszúságú időszakok végén a következő árfolyamadatokat mutató értékpapír volatilitását! P 0 =100; P 1 =110,517; P 2 =90,484; P 3 =105,127; P 4 =122,14

2015. őszBefektetések50 Tekintsük át az eddigi tudásunk birtokában a tőzsdei hozamokat!

2015. őszBefektetések51 E(r c )T 1 T rTrT

2015. őszBefektetések52 –Szigma-szabályok A várható érték körül 2, 4, 6 stb. szórásnyi tartományban mekkora valószínűséggel helyezkednek el a adatok: –±1σ sávban (-1,25% - +1,25%) az adatok 68,27%-a –±2σ sávban (-2,5% - +2,5%) az adatok 95,45%-a Átlagosan havonta egy napon –±3σ sávban (-3,75% - +3,75%) az adatok 99,73%-a Átlagosan másfél évenként egy napon –±4σ sávban (-5% - +5%) az adatok 99,9937%-a Átlagosan 63 évenként 1 napon –±5σ sávban (-6,25% - +6,25%) az adatok 99,999943%-a Átlagosan 7000 évenként 1 nap -1σ-2σ-3σ-4σ-5σ5σ5σ4σ4σ3σ3σ2σ2σ1σ1σ

2015. őszBefektetések53

2015. őszBefektetések54

2015. őszBefektetések55 –Tények ±5σ sávban az átlagosan 7000 év helyett évente. Vastag farkú (fat tail) eloszlások A hozamok emlékezetnélküliek, de a volatilitások nem. –A hozamok nem korrelálnak, de a hozamnégyzetek igen. Hosszú ideig kicsi volatilitás, majd a piac „felbolydul” (nagy árfolyamváltozások), és jellegzetesen nagyobb volatilitású időszak következik. (Az ok nem teljesen tisztázott.) -1σ-2σ-3σ-4σ-5σ5σ5σ4σ4σ3σ3σ2σ2σ1σ1σ

2015. őszBefektetések56 IV.6. Tökéletes árazású árfolyamok Tökéletesen árazó tőkepiac –Egységesen informált, racionális befektetők, tranzakciós költségek nélküli, végtelen gyors reakciói. –A befektetések állandó kockázatosságai (bétái) miatt állandó hozamelvárások. –Az új információk („hírek”) nulla várható értéke és időben állandó szórása miatt állandó volatilitás és időbeli függetlenség („emlékezetnélküliséget”).

2015. őszBefektetések57 Egy kis tőkepiaci árfolyamok modellezése történelem… –Robert Brown: „Az év június, július és augusztus hónapjaiban a növényi virágporokban rejlő partikulák mikroszkopikus megfigyelésének rövid taglalatja” –1860. James Maxwell: Daniel Bernoulli jól gondolta, a gázok tulajdonságai az atomi mozgásokkal magyarázhatók. Ez megmagyarázza a Brown-mozgást is. –1900. Louis Bachelier: „Théorie de la Speculation”. –1912. Albert Einstein: A Brown-mozgás matematikai háttere. –1965. Fama és Samuelson: „Tőzsdei árfolyamok viselkedése”

2015. őszBefektetések58 Sztochasztikus folyamatok –Bolyongó mozgás, folyamat –Brown-mozgás Hozam: aritmetikai Brown-mozgás Árfolyam: geometriai Brown-mozgás –Wiener-folyamat –Markov-folyamat –Ito-folyamat E folyamatok jellegzetessége tehát, hogy t időszakonként egymástól független normális eloszlások véletlen értékei szerint „ugrál” a hozam

2015. őszBefektetések59 V. Optimális portfóliók 34

2015. őszBefektetések60 V.1. Portfólióelmélet matematikai alapjai 34

2015. őszBefektetések61 Kovariancia és korreláció 35

2015. őszBefektetések62 Minimális szórású 2 elemű portfólió De nem erre optimalizálunk –hasznosságmaximalizálás 36

2015. őszBefektetések63 V.2. Egy kockázatos és egy kockázatmentes befektetés optimális kombinációja 36-37

2015. őszBefektetések64 rfrf r1r1 rQrQ 37

2015. őszBefektetések65 Az alábbi adatokkal leírt befektetésekből állítson össze optimális Q portfóliót az A=4 kockázatkerülésű befektetőnek, majd adja meg ennek várható hozam és szórás paramétereit! r f =3%; E(r 1 )=10%, σ(r 1 )=25%

2015. őszBefektetések66 V.3. Két kockázatos befektetés optimális kombinációja 37-38

2015. őszBefektetések67 r1r1 r2r2 rRrR r min σ 38

2015. őszBefektetések68 V.4. Kockázatmentes befektetés és két kockázatos befektetés optimális kombinációja 38 r1r1 r2r2 rRrR rfrf rQrQ

2015. őszBefektetések69 Tőkeallokációs egyenes 39

2015. őszBefektetések70 A tőkeallokációs egyenes meredekségét adja meg az ún. Sharpe-mutató: 39

2015. őszBefektetések71 A befektetők hasznosságmaximalizálása két mozzanaton keresztül történik: –1. A legmeredekebb tőkeallokációs egyenest biztosító kockázatos befektetés vagy portfólió megtalálása. –2. A befektető számára legnagyobb hasznosságot jelentő kockázatos – kockázat mentes kombináció megtalálása. 40

2015. őszBefektetések72 V.5. Kockázatmentes befektetés és „sok” kockázatos befektetés optimális kombinációja r1r1 r2r2 rfrf rQrQ riri rRrR 41

2015. őszBefektetések73 rfrf rMrM rQrQ

2015. őszBefektetések74