2015. őszBefektetések I.1 V. Optimális portfóliók

2015. őszBefektetések I.2 V.1. Portfólióelmélet matematikai alapjai

2015. őszBefektetések I.3 Kovariancia és korreláció

2015. őszBefektetések I.4 2 részvény várható hozama és szórása E(r A )=10%, σ(r A )=20%, E(r B )=15%, σ(r B )=30%, a hozamok közötti korreláció 0,7. Mekkora a kovariancia?

2015. őszBefektetések I.5 10%-3% 16%-8% 18%9% -8%10% -3%18% 9%16% 3,0%-10,0% 9,0%-15,0% 11,0%2,0% -15,0%3,0% -10,0%11,0% 2,0%9,0% -0, ,0135 0, , ,0110 0, ,0280 0,00090,01 0,00810,0225 0,01210,0004 0,02250,0009 0,010,0121 0,00040,0081 0,054 Két részvény hozamai az alábbiak szerint alakultak az elmúlt 6 évben. Adja meg a kovariancia és a korreláció értékét!

2015. őszBefektetések I.6 2 elemű portfólió Két részvény (múltbeli átlagos) hozama 12%, illetve 17%, hozamuk szórása 35%, illetve 50%, a hozamok közötti korreláció 0,6. Mennyi egy 50-50%-os súlyú portfólió hozamának szórása?

2015. őszBefektetések I.7 Minimális szórású 2 elemű portfólió De nem erre optimalizálunk –hasznosságmaximalizálás

2015. őszBefektetések I.8 Általános képlet Portfólió variancia mátrix

2015. őszBefektetések I.9 3 részvény várható hozama 10%, 14%, 16%; a hozamok szórása 20%, 30%, 40%. k AB =0,6; k AC =-0,4; k BC =0,1 Mennyi a % súlyú portfólió várható hozama és szórása?

2015. őszBefektetések I.10 V.2. Egy kockázatos és egy kockázatmentes befektetés optimális kombinációja

2015. őszBefektetések I.11 rfrf r1r1 rQrQ

2015. őszBefektetések12 Az alábbi adatokkal leírt befektetésekből állítson össze optimális Q portfóliót az A=4 kockázatkerülésű befektetőnek, majd adja meg ennek várható hozam és szórás paramétereit! r f =3%; E(r 1 )=10%, σ(r 1 )=25%

2015. őszBefektetések I.13 V.3. Két kockázatos befektetés optimális kombinációja

2015. őszBefektetések I.14 r1r1 r2r2 rRrR r min σ

2015. őszBefektetések I.15 V.4. Kockázatmentes befektetés és két kockázatos befektetés optimális kombinációja r1r1 r2r2 rRrR rfrf rQrQ

2015. őszBefektetések I.16 Tőkeallokációs egyenes

2015. őszBefektetések I.17 Ha az alábbi kockázatos befektetések közül egyet választhatna, melyiket kombinálná a kockázatmentessel a maximális várható hasznosságú portfólió összeállításához? r f =3%, E(r A )=10%, σ(r A )=20%, E(r B )=8%, σ(r B )=16%, E(r C )=5%, σ(r C )=8%,

2015. őszBefektetések I.18 A tőkeallokációs egyenes meredekségét adja meg az ún. Sharpe-mutató:

2015. őszBefektetések I.19 A befektetők hasznosságmaximalizálása két mozzanaton keresztül történik: –1. A legmeredekebb tőkeallokációs egyenest biztosító kockázatos befektetés vagy portfólió megtalálása. –2. A befektető számára legnagyobb hasznosságot jelentő kockázatos – kockázat mentes kombináció megtalálása.

2015. őszBefektetések I.20 V.5. Kockázatmentes befektetés és „sok” kockázatos befektetés optimális kombinációja r1r1 r2r2 rfrf rQrQ riri rRrR

2015. őszBefektetések I.21 rfrf rMrM rQrQ

2015. őszBefektetések I.22

2015. őszBefektetések I.23

2015. őszBefektetések I.24 Időbeli diverzifikáció csapdái „Egyet veszít, kettőt nyer” alapon 1000$. Elutasítás (1000$ elvesztése nagyobb veszteség, mint 2000$ nyerésének öröme). „De elfogadom a fogadást, ha vállalod, hogy százszor felajánlod azt.” „Egy dobás nem elég ahhoz, hogy a nagy számok törvénye megfelelő biztonsággal érvényesüljön.” Nézzünk utána!

2015. őszBefektetések I $-ért –50% eséllyel 2000$ –50% eséllyel -1000$ Mivel az egyes érmefeldobások egymástól függetlenek: A kockázat nő! –Igaz, csak a négyzetgyökösen.

2015. őszBefektetések I.26 Teljesen más eseteket jelent, hogy n egy portfólió elemszáma: „Ne egyszerre dobjunk fel 1000 $-t, hanem 100- szor 10-10$-t!” –Ebben az esetben az 1000$-os portfóliót osztjuk fel 100 részre, nem pedig 100 újabb fogadást kötünk. –Ilyenkor érvényesül a „nagy számok törvénye”.

2015. őszBefektetések I.27 Nézzünk egy másik példát! –Egy 10% várható hozamú 15% szórású részvény esetén a befektető megijed, hogy az éves hozama 95% valószínűséggel – -20% és +30% között ingadozik. –Arra gondol viszont, hogy ő hosszabb távra tervez, a különböző időszakok hozamai függetlenek, így végeredményben igen stabilan fogja hozni az éves 10%-ot.

2015. őszBefektetések I.28 Kétségtelen, hogy hosszabb távra kalkulálva a hozamok éves átlagos (!) szórása csökken, méghozzá az idő négyzetgyökével. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a befektetés hosszabb távra kevésbé kockázatos! Hiszen az egyre kisebb éves átlagos hozamok az idővel arányosan egyre inkább „felnagyítódnak”.

2015. őszBefektetések I.29 De nem! E(r c )T 1 T rTrT

2015. őszBefektetések I.30 E(r)E(r) 4 n, T 1 9