Kúpszerű testek

A kúpszerű testek származtatása Ha egy zárt síkidom határoló vonalának minden pontján át olyan egyenest fektetünk, amely illeszkedik egy, a síkidom síkjára nem illeszkedő pontra, akkor egy végtelen kúpfelület keletkezik. Az adott sík és a kúpfelület által közrefogott testek kúpszerű testnek nevezzük.

Ha egy zárt síkidom határoló vonalának minden pontján át olyan egyenest fektetünk, amely illeszkedik egy, a síkidom síkjára nem illeszkedő pontra, akkor egy végtelen kúpfelület keletkezik. Az adott sík és a kúpfelület által közrefogott testek kúpszerű testnek nevezzük. P x

A csúcspontnak az alapsíktól mért távolsága a kúpszerű test magassága. x P m

Ha az alaplap sokszög, akkor a kúpszerű testet gúlának nevezzük. Szabályos gúláról beszélünk, ha az alaplap szabályos sokszög, és a gúla csúcsának merőleges vetülete az alaplap síkjára a sokszög középpontja. A szabályos gúla csúcsa egyenlő távol van az alaplap csúcspontjaitól, azaz minden oldala egyenlő szárú háromszög.

Ha az alaplap kör, akkor a kúpszerű testet körkúpnak (kúpnak) nevezzük. Egyenes körkúpról vagy forgáskúpról beszélünk, ha a körkúpnak van szimmetriatengelye.

A gúla A gúla felszíne: A gúla felszínén az alaplap és a palást területeinek az összegét értjük. A felszín meghatározásához tehát egy sokszög (alaplap) és n db háromszög (oldallapok) területének a kiszámítása szükséges. A = T + P

A gúla térfogata: Minden gúla térfogata a vele egyelő alapterületű és magasságú hasáb térfogatának a harmadrésze. A gúla térfogata az alapterület és a magasság szorzatának a harmadrésze.

1.a. Mekkora a térfogata annak a szabályos gúlának, amelynek alaplapja 17 cm oldalú négyzet, magassága 28 dm?

1.b. Mekkora a térfogata annak a szabályos gúlának, amelynek alaplapja 6,7 dm oldalú szabályos hatszög, magassága 8,28 dm?

1.c. Mekkora a térfogata annak a szabályos gúlának, amelynek alaplapja 34,6 cm oldalú szabályos nyolcszög, magassága 52,7 cm?

45° b ma 67,5° a

1.d. Mekkora a térfogata annak a szabályos gúlának, amelynek alaplapja 56 cm oldalú négyzet, oldaléle 78 cm? A C D E T B D T E A B C D E B E T x/2 b m A B D a x b m x a

1.e. Mekkora a térfogata annak a szabályos gúlának, amelynek alaplapja 5,9 cm oldalú szabályos hatszög, oldaléle 12,3 cm? A T G F E D C B m b a C G T a b m

2. Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 40 cm, magassága 21 cm 2. Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 40 cm, magassága 21 cm. Mekkora a gúla térfogata és felszíne? Mekkorák az oldalélei? b 21 cm 40 cm

A B D C E F T a/2 b m mo F T m E a/2 mo

A B D E F T a/2 b m mo B F mo E a/2 b

3. Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 14 cm, az oldalélek hossza 20 cm. Mekkora a gúla felszíne és térfogata?

A B D C E F T a/2 b m mo B F mo E a/2 b

E F T m E a/2 mo mo m b D C T a/2 F a/2 A B

4. Szabályos hatoldalú gúla alapéle 4,5 cm, oldallapjának magassága 9 cm. Mekkora a térfogata?

5. Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 12 cm, az oldallapok az alaplappal 60°-os szöget zárnak be. Mekkora a gúla felszíne és térfogata? a/2 mo m a T F E D C B A F T m E a/2 mo 60°

F T m E a/2 mo 60°

6. Szabályos négyoldalú gúla alapéle 2,56 dm, oldaléle az alappal 72°-os szöget zár be. Mekkora a térfogata? 2,56 dm b m E D C B A T x x E D C B A T A B D a x B T m E x/2 b 72°

7. Szabályos négyoldalú gúla oldallapjai szabályos háromszögek, térfogata 51 cm3. Mekkora az alapéle? A B D a x m a E D C B A x T m a T E D C B A x B T m E x/2 a

8. Téglalap alapú egyelő oldalélű gúla alapélei 7 dm és 5 dm, oldaléle 15 dm. Mekkora a térfogata? c a E D C B A x b m c a T E D C B A x b A B D a b x A B D a E c b C B T m E x/2 c

9. Öntöttvasból készült szabályos négyoldalú gúla tömege 1012,2 kg, alapéle 45 cm. Mekkora a magassága? (Sűrűsége 7,5 kg/dm3) 

10. Egy szabályos tetraéder térfogata 100 cm3. Mekkorák az élei? Tetraéder  négy oldal van minden oldala háromszög Szabályos tetraéder  minden oldala szabályos háromszög

11. Egy szabályos tetraéder felszíne 120 cm2 11. Egy szabályos tetraéder felszíne 120 cm2. Mekkorák az élei, és a térfogata?

12. Egy szabályos tetraéder egyik lapjának területe 17 cm2 12. Egy szabályos tetraéder egyik lapjának területe 17 cm2. Mekkora a térfogata?

13. Egy tetraéder egyik csúcsába befutó élek páronként merőlegesek egymásra, hosszuk 12 cm, 18 cm és 32 cm. Számítsa ki a tetraéder felszínét és térfogatát! c a D C B A b b

b b b b c a D C B A b

A körpúp A körkúp felszíne A körkúp felszínén az alaplap és a palást területeinek az összegét értjük.

Az alaplap egy r sugarú kör, ennek területe: T=r2π A palást egy körcikk, melynek sugara a forgáskúp alkotója, a körcikk ívének hossza egyenlő a forgáskúp r sugarú alapkörének kerületével, 2r π. P-vel jelölve a palást területét: r a i=2rπ

A forgáskúp felszíne: A forgáskúp térfogata A forgáskúp térfogata az alapterület és a magasság szorzatának a harmada: m Ta

1. Mekkora az egyenes körkúp térfogata és felszíne, ha alkotója 10 cm, alapkörének sugara 6 cm?

2. Mekkora annak az egyenes körkúpnak a felszíne és térfogata, amely alapkörének sugara 20 cm, nyílásszöge pedig derékszög?

3. Egy egyenes körkúp felszíne 1978,11 cm2, tengelymetszetének területe 209 cm2. Mekkora a térfogata?

4. Egy egyenes körkúp kiterített palástja 12 cm sugarú félkörlap 4. Egy egyenes körkúp kiterített palástja 12 cm sugarú félkörlap. Mekkora a kúp felszíne és térfogata?

5. Egy egyenes körkúp alapkörének sugara 5 cm 5. Egy egyenes körkúp alapkörének sugara 5 cm. Mekkora a nyílásszöge, ha térfogata 186 cm3?

6. Egy egyenek körkúp alapkörének sugara 7,2 cm, nyílásszöge 90° 6. Egy egyenek körkúp alapkörének sugara 7,2 cm, nyílásszöge 90°. Mekkora a felszíne és térfogata?

7. Egy egyenes körkúp és körhenger alapköre közös, az alapkör sugara 22,5 cm. A henger és a kúp térfogata egyenlő. Mekkora a kúp felszíne, ha a henger magassága 50 cm?

8. Egy egyenes körkúp kiterített palástja egy 15 cm sugarú kör 120°-os középponti szöggel rendelkező körcikke. Mekkora a kúp térfogata?

9. Egy 8 cm oldalú négyzetet átlója körül megforgatunk 9. Egy 8 cm oldalú négyzetet átlója körül megforgatunk. Mekkora a keletkezett forgástest felszíne és térfogata?

10. Egy egyenes körkúp térfogata 4,37 m3, alkotói az alappal 67°-os szöget zárnak be. Mekkora a kúp felszíne?

11. Egy háromszög oldalai 48 cm, 36 cm és 28 cm 11. Egy háromszög oldalai 48 cm, 36 cm és 28 cm. Megforgatjuk a háromszöget a leghosszabb oldala körül. Mekkora az így keletkezett forgástest felszíne és térfogata?

12. Egy egyenes körkúp alakú tölcsér alapkörének sugara 12 cm, magassága 18 cm. A tölcsér alsó nyílását befogjuk, és 1 liter vizet öntünk bele. Milyen magasan áll benne a víz?