Máté András egyetemi docens ELTE BTK Logika tanszék I. István gimnázium IV. D osztály (1971)

Lovagok és lóköt ő k A lovagok mindig igazat mondanak A lókötők mindig hazudnak

A sivatagban él két ikertestvér. Csak annyi a különbség közöttük, hogy az egyik lovag, a másik lókötő. Egyszer egy vándor egy útelágazáshoz ér, ahol ott ül az egyik testvér. Meg akarja tudni,melyik úton kell továbbmennie, de csak egyet kérdezhet tőle. Mit kérdezzen, ha azt akarja, hogy a az ott ülő testvér a jó utat ajánlja? És ha azt akarja, hogy a rosszat?

Az Idegen (I) kiköt egy szigeten, ahol csak lovagok és lókötők laknak. Elkezd beszélgetni három bennszülöttel (A, B, C ). I (A-hoz): Melyik csoporthoz tartozol? A:(érthetetlen válasz) I (B-hez): Mit mondott A? B: Azt mondta, hogy ő lókötő. C:Ne higgyen B-nek, hazudik. Hova tartozik B és C? És A? I (A-hoz): Hány lovag van köztetek? A: (megint érthetetlen válasz) I (B-hez): Mit mondott A? B: Azt, hogy egy. C: Ne higgyen B-nek, hazudik. Ebből mi derült ki?

„Minden krétai hazudik” – mondta egy krétai. (Tit. I. 12. nyomán) „Minden krétai hazudik” – mondta egy krétai, és egyetlen más krétai se szólt a világon egy szót se. Jean Buridan stílusában

A hetedik dián most látható mondat hamis. Hazug-mondat: akkor és csak akkor igaz, ha hamis. Kontingens hazug-mondat: olyan mondat, ami valamilyen C feltétel teljesülése esetén akkor is csak akkor igaz, ha hamis. 4. dia4. dia: nézzük újra a második feladatot, de tételezzük fel, hogy B igazat mond. Még egy változat: A: Az A, B, C mondatok közül pontosan egy igaz. B: 2*2=4 C: 2*2=5 Lehetséges-e ilyen a matematikában?

{x: A(x)} azoknak a dolgoknak a halmaza, amelyekre az A(x) nyitott mondat igaz. R= {x: x  x} Mit mondhatunk az ̒R  R’ mondatról? Russell-paradoxon (Bertrand RUSSELL, 1901) Feloldás: nyitott mondatokkal osztályokat lehet definiálni. Egyes osztályok halmazok (azaz elemei lehetnek más osztályoknak), mások pedig nem. R a Russell osztály. A Russell-osztály nem halmaz.

Smullyan gödeli automatája Legyen egy gépünk, amely véges jelsorozatokat nyomtat ki (egymás alatti sorokba, egy végtelen papírra) a következő jelkészletből: , P, N, (, ) Nevezzük az X jelsorozat normájának az X(X) jelsorozatot. Egyes jelsorozatok mondatok, az alábbi értelmezés szerint: P(X) annyit jelent, hogy az X jelsorozat kinyomtatható. (Azaz ha elég sokáig várunk, az X jelsorozat meg fog jelenni a papíron.)  P(X) : X nem nyomtatható ki. PN(X): X normája kinyomtatható.  PN(X): X normája nem nyomtatható ki. Tegyük fel, hogy a gépünk igazmondó, azaz ha kinyomtat egy mondatot, akkor az a mondat igaz. Bizonyítsuk be, hogy nem tud minden igaz mondatot kinyomtatni. Segítség: keressünk olyan mondatot, amelyik saját magáról állítja, hogy nem nyomtatható ki.  PN(  PN)

Hilbert-iskola (1920-as évek): minden axiomatikus elmélet olyasmi, mint Smullyan automatája: adott kiinduló jelsorozatokból (axiómák) újabbakat állít elő mechanikus szabályok alapján (levezetés). A szabályok megválasztása biztosítja, hogy ha a kiinduló jelsorozatok igaz mondatok, akkor a kimenetek is igaz mondatok lesznek. Ha az elmélet dolgok egy olyan osztályáról szól, amelyben ott vannak a természetes számok, akkor egyes mondatait lehet úgy értelmezni, mint az elmélet mondatairól szóló állításokat. Ez az értelmezés a Gödel-számozás. És a mondatok között mindig lesz egy olyan, amelyik ebben az értelmezésben azt jelenti, hogy ő maga nem levezethető. Ezaz elmélet G Gödel-mondata. Tehát ha G levezethető, akkor levezethető egy hamis mondat. Ha G nem vezethető le, akkor igaz. Az igazság és a levezethetőség ilyen elméleteknél soha nem eshet egybe. Ha egybeesne, a G-mondat hazug-mondat lenne. Gödel (1.) nemteljességi tétele (Kurt GÖDEL, 1931).