FOL függvényjelekkel Zsebibaba anyja A 2 harmadik hatványa a oszlopában az első blokk Ezek is nevek, de nem in- konstansok Azért, mert összetettek Predikátum: nevek  mondat Függvényjel: nevek  név Mind a kettőt úgy képzeljük el, hogy az argumentumok számára üres helyeket tartalmaz, és azok kitöltésével kapjuk a mondatot, ill. az újabb nevet. Frege-elv: a nyelv összetett kifejezéseinek felbontásánál az egyik alkotórészt mindig kitöltésre szoruló üres hellyel/helyekkel rendelkezőnek tekintjük (ilyen kifejezések többek közt a predikátumok és a függvényjelek), a többit pedig az üres hely(ek) kitöltésére szolgáló argumentum(ok)nak. (Fogalomírás, 1879) Nincsenek üres helyek: a mondatokban és a nevekben.

A függvényjeleknek is van aritása (= az üres helyek száma), azaz lehetnek egy-, két-,... n-argumentumúak. Például: + pontosabban: x + y A helyfenntartó változók az üres helyeket mutatják. Használhatnánk helyettük kipontozást, vagy kereteket is. Szokás valamilyen jellel mutatni, hogy helyfenntartó változóról van szó: ŷ. Nevek egy FOL-ban: terminusok Tehát terminusok az in-konstansok + azok a kifejezések, amelyek úgy keletkeznek, hogy egy függvényjel üres helyeit kitöltjük megfelelő számú in-konstanssal + azok a kifejezések, amelyekben a függvényjel üres helyeit az előző két pont szerinti terminusok töltik ki + így tovább.

Például: Magyar köznyelvFOL (függvényjelekkel) János János apja János apjának anyja stb. janos apa(janos) anya(apa(janos)) stb. A függvényjeleket is kisbetűvel írjuk, így minden terminus kisbetűvel kezdődik. FOL-ban (klasszikus logikában) előfeltevés, hogy minden terminus jelöl valakit/valamit. Nem kell, hogy fizikai objektum legyen, életben legyen: pl. számok, elhunyt személyek.

A blokknyelv kibővítése: lm(x) x sorában a bal szélső blokk rm(x)a jobb szélső fm(x)x oszlopában az első blokk bm(x)az utolsó Bolzano’s World: fogalmazzunk meg néhány igaz állítást függvényjelekkel. Házi feladatok: 1.13, 1.14

Érvelés (argument): Premisszák, konklúzió P1, P2, … tehát K Érvelés Fitch formátumban: P1 P2 … K Érvelés, bizonyítás, következmény, helyesség A függőleges vonal mutatja, mettől meddig tart az érvelés A vízszintes választja szét a premisszákat és a konklúziót

A cserebogár bogár, és minden bogár rovar. Tehát a cserebogár rovar. Érvényes érvelés: a premisszák igazsága biztosak lehetünk a konklúzió igazságában. Azaz lehetetlen, hogy a premisszák igazak legyenek, a konklúzió pedig hamis. Azaz nincs olyan lehetséges világ, amelyben a premisszák igazak és a konklúzió hamis. Konkluzív érvelés: érvényes, és a premisszák igazak. A cserebogár bogár. Hiszen a cserebogár rovar, és minden rovar bogár. Helyes, érvényes (valid) Sőt, konkluzív (sound) Helyes, de nem konkluzív Az egyik premissza hamis esetén

A cserebogár rovar, mert minden rovar bogár és a cserebogár bogár. Nem helyes Hogyan bizonyítjuk, hogy nem helyes? Ellenpélda: A ló hal, mert minden hal gerinces és a ló gerinces. Ellenpélda: ugyanolyan formájú következtetés (csak kicseréltünk bizonyos predikátumokat), melyben a premisszák igazak és a konklúzió hamis.

És ha nem vagyunk ilyen találékonyak? Mikor nem érvényes egy következtetés? Ha előfordulhat, hogy a premisszák igazak és a konklúzió hamis. Tegyük fel, hogy a premisszák igazak és a konklúzió hamis. Azaz a cserebogár nem rovar, pedig minden rovar bogár és a cserebogár bogár. Most cseréljük ki a szereplő predikátumokat a blokknyelv predikátumaira. A tetraéder nem dodekaéder, pedig minden tetraéder kicsi és minden dodekaéder kicsi. Tudunk olyan Tarski-féle világot építeni, amelyben ez így van? Persze. Harmadik lehetőség: Venn-diagramok (de ez csak táblán működik). Negyedik lehetőség: feltételezzük, hogy a premisszák igazak és a konklúzió hamis, és megnézzük, hogy ellentmondásra jutunk-e. Ha igen, a következtetés helyes, ha nem, akkor hibás. Erre majd lesz általános módszerünk: az analitikus táblázatok (fák) módszere. Felejtsük el, hogy mit tudunk a rovarokról meg a bogarakról!!

Jancsi idősebb, mint Juliska Juliska idősebb, mint Malacka Jancsi idősebb, mint Malacka Helyes ?! Lehetetlen, hogy a premisszák igazak legyenek és a konklúzió hamis. De tudunk ellenpéldát adni. Az ‘idősebb, mint’ kétargumentumú predikátumot cseréljük ki arra, hogy ‘szereti’. Tehát a lehetetlenség az ‘idősebb, mint’ jelentésén múlik. Tágabb értelemben logikai következmény. Vagy analitikus következmény – ahogy tetszik. Analitikusan érvényes következtetések