Dinamikus rendszerek modellezése

Rendszerelvű/rendszerelméleti megközelítés Dinamikus rendszerek elmélete - Alapfogalmak

RENDSZER = Elemek együttese, melyeket kölcsönös függőség kapcsol össze. Cirkuláris okság: egy elem hat a többire Hierarchikus struktúra: rész/alrendszerek Nonszummativitás: a részek összesége nem az egész (szinergia: 2+2=5; diszfunkció: 2+2=3) Homeosztázis: törekvés az állandóságra Autoregularitás: önszabályozó funkciók Ekvifinalitás: több út, azonos cél Morfogenezis: képesség a változásra, alkalmazkodásra Karl Ludwig von Bertalanffy ( )

 Ockham (Occam) borotvája  lex parsimoniae = takarékosság (tömörség) elve  „Pluralitas non est ponenda sine necessitate”  A sokaság szükségtelenül nem tételezendő  általában az egyszerűbb megoldás a helyes William Ockham (kb. 1285–1348) angol nemzetiségű ferences rendi szerzetes

 Neumann János a modellekről: „… a tudomány nem magyarázni próbál, alig próbál interpretálni – a tudomány főként modelleket állít fel. A modellen olyan matematikai konstrukciót értünk, amely – bizonyos szóbeli értelmezést hozzáadva – leírja a megfigyelt jelenségeket. Az ilyen matematikai konstrukciókat kizárólag és pontosan az igazolja, hogy működnek.” Budapest, december 28. – Washington, február 8., magyar származású matematikus

Valóság (probléma)Köztes (…) modellMatematikai modell (megoldás) egyszerűsödés, elhanyagolások interpretáció

 modell  a modell hasonló a modellezetthez, vagyis az modell, ami a modellezettel hasonlósági relációban van  eszmeileg elképzelt vagy anyagilag realizált rendszer, amely visszatükrözve vagy reprodukálva a kutatás objektumát képes helyettesíteni  hasonlóság  szerkezeti (vagy strukturális)  működési (vagy funkcionális) és  formai (vagy geometriai, tágabb értelemben: topológiai) hasonlóság

Rendszerek felosztása a IIASA szerint  Közgazdasági rendszerek:  nemzetközi kereskedelem és gazdaság,  nemzetközi gazdaságtervezés, fejlesztés és irányítás,  ágazati és ipari tervezés.  Emberi és társadalmi rendszerek:  népesség,  városi és regionális tervezés, fejlesztés és vezetés,  lakáshelyzet,  oktatás, képzés,  egészségügyi szolgáltatások (tervezés, szervezés, az ellátás irányítása),  társadalmi és jóléti szolgáltatások,  munkaerőképzés és -elhelyezés, biztonsági szolgáltatások,  igazságszolgáltatás. IIASA: International Institute for Applied Systems Analysis,

 Erőforrások és környezeti rendszerek:  ásványi nyersanyagok, beleértve az energiahordozókat,  vízforrások, beleértve az energetikai felhasználásokat,  éghajlat,  környezet,  ökológia,  mezőgazdaság, beleértve az erdőgazdaságot és állattenyésztést.  Ipari rendszerek:  kutatás és fejlesztés (beleértve az új technológiákat),  tervezés és irányítás,  termelés és elosztás,  energiaágazat,  petrolkémia,  elektronika,  szállítóeszközök tervezése (pl. gépkocsi, repülőgép),  élelmiszerelosztás,  textil - és ruházati ipar,  nukleáris energia.

 Biológiai rendszerek:  elemi biológiai rendszerek,  humán biológia és pszichológia,  bionika: az emberi és más biológiai funkciók modellezése.  Információs és számítógép rendszerek:  távközlési és számítógépes hálózatok,  információtárolás és - visszakeresés,  számítógép hardver és szoftver tervezés és kiválasztás,  vezetési információs rendszerek.  Külön csoport az ún. integrált rendszerek:  mezőgazdaság - élelmiszer - népesség,  energia - környezet - ipar,  ipar - környezet - egészségügy,  területi ipari komplexumok,  globális és regionális rendszerek.

Modell Hasonlóság szerkezeti működési formai Típus anyagi elektromos mechanikai termikus gondolati szimbolikus verbális ikonikus Rendszer pszichikai társadalmi termelési fizikai...

Modell funkció probléma megoldó leíró előíró szemléltető struktúra ikonikus analóg szimbolikus szempont (hasonlóság) formai szerkezeti működési jelleg kvalitatív (minőségi) gondolati verbális kvantitatív (mennyiségi) heurisztikus szimulációs sztochasztikus folyamat statikus dinamikus

 Feladat akkor, ha ismert  a meglévő állapot, annak ellentmondásai,  az igények és a lehetőségek közötti feszültség, (általában) a célállapot és  (algoritmizált) a teljes megoldási út.  Probléma akkor, ha nincs (teljes) ismeretünk  a meglévő helyzetről és/vagy  a megoldás útjáról és/vagy  a célállapotról.

FeladatYTXPélda Direkt?ismertadottMérés, minősítés Indirektelőírtadott?Tervezés, fejlesztés Induktívismert? Kutatás, irányítástechnika X: a rendszer (modell) bemenete Y: a rendszer (modell) kimenete T: a rendszer viselkedése

Probléma felismerése megfogal- mazás kiindulási állapot saját tapasztalat szükséges ismeretek átvett ismeretek ismeretlen részek ismert részek feltételek végállapot elemzés biztos! bizonytalan! kísérlet terv és lényegkiemelés végrehajtás

 Analitikus módszer  a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása,  a matematikai modell megalkotása,  a matematikai modell transzformációja (ill. egyszerűsítése) megoldásra alkalmas formára,  a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése,  a matematikai modell megoldását jelentő összefüggések meghatározása,  a megoldás ellenőrzése.

 Numerikus módszer  a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása,  a matematikai modell megalkotása,  a matematikai modell átalakítása numerikus megoldásra alkalmas formára (diszkretizálás),  a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése, a blokkséma összeállítása,  a számítási modell megoldását adó program megírása, és annak futtatása,  a megoldás ellenőrzése.

 Kísérleti módszer  a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása,  a matematikai modell megalkotása,  a matematikai modell hasonlósági transzformációja, a kísérleti objektum megfelelő kiválasz-tása és a kísérleti eredmények (későbbi) általános felhasználhatósága érdekében,  a kísérleti program (a kísérletterv) összeállítása,  a kísérletek lefolytatása és értékelése alapján a matematikai modell megoldását jelentő összefüggések meghatározása,  a megoldás ellenőrzése.

lépésAnalitikusKísérletiNumerikus 1A feladat verbális megfogalmazása 2A matematikai modell megalkotása 3 Transzformáció megoldásra alkalmas formára Hasonlósági transzformáció Diszkretizálás 4 A megoldás egymás utáni lépéseinek rögzítése A kísérleti terv összeállítása Algoritmus és blokkséma 5 A megoldást jelentő összefüggés meghatározása Kísérletek és azok értékelése Gépi program futtatása, eredménye 6A megoldás ellenőrzése

Parciális modellezés – integrált rendszerek  részrendszerekre és  részfolyamatokra bontás  modellrendszer alkotás teljes rendszer 1. részfolyamat elem 2. részfolyamatelem 1. szint2. szint 3. szint

Társadalmi-gazdasági folyamatok modelljei

 Csak parciális modellek léteznek  részrendszerek: regionális modellek (térbeli szétválasztás)  részfolyamatok: jelenségek, folyamatok (funkcionális szétválasztás)  Megoldási elvek és módszerek  analitikus módszer csak korlátozottan használható  dinamikus kapcsolat a részek között  jól definiált input/output változók  számítógépi (numerikus) módszerek

 Matematikai leírás  differenciális mérlegegyenlet  kapcsolt differenciálegyenlet-rendszer  Megoldási módszer  egyszerű modellek: analitikus  összetett modellek: numerikus (szoftver) Általános mérlegegyenlet: x i : extenzív jellemző Q: forrás erőssége, I: nyelő erőssége, t: idő

Alapvető modellezési eszközök és módszerek Áramfüggvények példák: extenzív áram: termékek és szolgáltatások int. kül.: ár vez. tényező: szállítási költség, adók

Alapvető modellezési eszközök és módszerek Növekedési függvények (korlátlan) példák: extenzív mennyiség: népesség, GDP növekedési ráta: növekedési ütem, szül.-hal. ráta

Egyértelműségi feltételek valós jellemzőmatematikai leképezés vizsgált terület határai  értelmezési tartomány korlátok  értékkészlet kiinduló adatok  kezdeti feltételek jellemző tulajdonság  együtthatók belső összefüggések  együtthatók közötti fgv-ek

Korlátlan növekedés Globális (időbeli) mérlegegyenlet: Q=g∙x i, ahol g a növekedési ráta 1/idő g>0: növekedés g=0: stagnálás g<0: fogyás

Korlátlan növekedés (M ALTHUS -féle modell) Megoldás t xixi xi(t)xi(t) Thomas Robert Malthus ( ), angol demográfus, matematikus, 1798

Népesedési (demográfiai) modell Verbális modell Differenciálegyenlettel (matematikai modell):

A világ népessége Népesség,milliárd fő ,000 BC AD

A növekedési ráta időfüggő év Nettónövekedésiráta,%/a

Lineárisan extrapolált nettó növekedési ráta Nettó növekedési ráta Népesség

Exponenciálisan csökkenő nettó növ. ráta Nettó növekedési ráta Népesség

Növekedési korlát = eltartóképesség

Pierre François Verhulst ( ) belga matematikus, 1838

Népesség Évenkénti növekedés

Általánosított logisztikus függvény (R ICHARD -féle függvény, növekedés modellezés) P min : alsó asszimptota C * : eltartóképesség, ha P min =0 g: növekedési ráta t: idő M: a max. növ. ideje, ha Q=v v: segédparaméter Q: segédparaméter, P(0) függvénye

A H UBBERT -féle elmélet: olajhozam-csúcs alkalmas a kimerülő erőforrások leírására Marion King Hubbert ( ), közzététel: 1956

Hubbert eredeti diagramja 1956-ból M. King Hubbert (1903–89)

Norvégia olajkitermelése Világtrendek Forrás: World Energy Outlook 2013

Többciklusú Hubbert-model Forrás: Ibrahim Sami Nashawi, Adel Malallah, and Mohammed Al-Bisharah, Forecasting World Crude Oil Production Using Multicyclic Hubbert Model Energy Fuels 2010, 24, 1788–1800 Venezuela olajkitermelése STB=Standard Stock Barrels

Inflexió nélküli trendfüggvények

Inflexióval rendelkező életgörbe függvények Általánosított Verhulst-féle függvény: Pearl-Reed-féle függvény: Késleltetett logisztikus függvény: Gompertz-féle függvény: Életkorfüggő halálozási ráta Tumorsejtek burjánzása

Inflexióval rendelkező trendfüggvények

Két inflexióval rendelkező életgörbe függvények τ

Nagy időközű ciklikusság – Kondratyev-hullám Никола́й Дми́триевич Кондра́тьев, Gazdasági szuperciklus Technológiai változások  gazdasági változások gőzgép Vasút, acélgyártás Elektromosság, nehézipar mobilizáció (olajipar) infokomm., elektronika Vitatott elmélet éves ciklusidő robotika, egészségtud

Forrás:

Forrás:

Populációdinamika – Lotka-Volterra Alfred J. Lotka (1880–1949), 1910; Vito Volterra (1860–1940); 1926

Populációdinamika – Lotka-Volterra Alfred James LotkaVito Volterra

Populációdinamika – Lotka-Volterra

Egyedszám – idő ciklikus folyamatok leírására Egyedszám – egyedszám Fázisgörbe

Lotka-Volterra modell a valóságban Kanadai megfigyelések havasi nyúl -- hiúz

Lotka-Volterra modell a valóságban Forrás:

Kereskedelmi szoftverek: STELLA: PowerSim Studio: Oktatási célú (ingyenes) szoftverek: Vensim PLEVensim PLE (Personal Learning Edition) Scilabwww.scilab.orgwww.scilab.org