Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Dinamikus programozás Problémamegoldási megközelítés – (rossz fordítás) Oszd meg és uralkodj: független részproblémák Dinamikus programozás esetén nem.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Dinamikus programozás Problémamegoldási megközelítés – (rossz fordítás) Oszd meg és uralkodj: független részproblémák Dinamikus programozás esetén nem."— Előadás másolata:

1 Dinamikus programozás Problémamegoldási megközelítés – (rossz fordítás) Oszd meg és uralkodj: független részproblémák Dinamikus programozás esetén nem függetlenek. (Az Oszd meg és uralkodj feleslegesen többet dolgozna) Jellemzése: 1. Vázoljuk az optimális megoldás szerkezetét 2. Adjunk rekurzív definíciót az értékére 3. Alulról-felfelé (bottom-up) kiszámítjuk a részproblémák optimális megoldásait 4. Ezeket kombinálva kiszámítjuk az egész probléma optimális megoldását

2 Dinamikus programozási példa: Mátrixsorozat összeszorzása M 1 M 2 …M n – a mátrixszorzás asszociatív, de nem kommutatív. Viszont nem egyformán hatékony a zárójelezése  létezik optimális zárójelezés i M j 1 j M k 2 … l M m n  i M m – a szorzótényezők sor- oszlop kompatibilisek kell, hogy legyenek i M j 1 j M k 2 időigénye: i*j*k.Például… (10x100 * 100x5) * 5x50  Viszont... 10x100 * (100x5 * 5x50) 

3 Mátrixszorzás Melyik az oszlop és melyik a sor? Közös dimenziójú oszlop- ill. sorpárok elemeit összeszorozzuk és összeadjuk. Az eredmény: sorok száma az elsőből, oszlopok száma a másodikból Mátrixszorzat(A,B) if oszlop(A)<>sor(B) then error else for i=1 to sor(A) do for j=1 to oszlop(B) do C[i,j]=0 for k=1 to oszlop(A) do C[i,j]=C[i,j]+A[i,k]*B[k,j] return C

4 Szorzások számának becslése az összes lehetőség végigvizsgálásával? Exponenciális algoritmus!! Egyetlen újabb mátrixtényező hozzávétele a lehetőségek számát legalább megkétszerezi (bár nem lenne muszáj mindent újra kiszámítani) i M j 1 j M k 2 … l M m n  P n, akkor P n+1 >P n *2 P(1)=1; P(n)= k=0 Σ n-1 P(k) *P(n-k), ha n>=2 Észrevétel: (M 1 M 2 …M k )*(M k+1 …M n ) Ha a teljes szorzat optimális, akkor a részszorzatainak is optimálisnak kell lenni. Hányféle lehetőség van a szorzatszámbecslésre

5 Rekurzív (naív) megoldás Legyen m[i,j] az M i..j szorzatszakasz optimális kiszámításának szorzatszáma. (1

6 Szorzások számának becslése Hány részfeladat van összesen? Ahány m[i,j] részoptimum, vagyis ahány 1<=i<=j<=n (i,j) pár, összesen n*(n+1)/2= Θ(n 2 ) Megoldás: AlulrólFelfelé, a RészektőlEgészig, BottomUp, a részeredmények tárolásával Algoritmuselemzés: Futásidő: 1 részfeladat kiszámítása egy n hosszú vektor (átló) optimumkeresése.  Θ(n 3 ) Helyigény: Θ(n 2 ) Filozófia: TopDown vagy BottomUp? – Lebontunk, vagy építkezünk? – Csőlátás vagy halszemoptika? – Holisztika vagy redukcionizmus? Ügyes szakbarbárok, vagy haszontalan próféták?

7 Példa M1(30x35)*M2(35x15)*M3(15x5)*M4(5x10)*M5(10x20)*M6(20x25) ii j j Pl. az m[2,5] = min {m[2,2]+m[3,5]+35*15*20= m[2,3]+m[4,5]+35*5*20= m[2,4]+m[5,5]+35*10*20=11375} = 7125 m[i,j]: az Mi..j optimális szorzásszám s[i,j]: i és j között hol kellett zárójelezni

8 Átlósan haladunk, l a kezdő j index MSzorzásSorrend(n) for i=1 to n do m[i,i]=0 for l=2 to n do for i=1 to n-l+1 do j=i+l-1 m(i,j)= ∞ for k=i to j-1 do Szorz=m[i,k]+m[k+1,j]+ sor(i)*oszlop(k)*oszlop(j) if Szorz

9 Az optimális megoldás MátrixLáncSzorzat(M,i,j) if j>i then X=MátrixLáncSzorzat(M,i,s[i,j]) Y=MátrixLáncSzorzat(M,s[i,j]+1,j) return(Mátrixszorzat(X,Y)) else return M[i] A helyes zárójelezés: (M1 * (M2 * M3)) * ((M4 * M5) * M6) Mátrixok vektora A M…Sorrend algoritmus által elkészített „elvágási” mátrix

10 Hol alkalmazható egyáltalán? Optimalizálási probléma Optimális részstruktúrák Egymást átfedő részfeladatok (az Oszd Meg és Uralkodj nem vizsgálja a visszatérő részfeladatokat, hanem újra megoldja őket) Egy alternatív megoldás!! Rekurzív, felülről lefelé (naív) megoldás a részeredmények mátrixba történő feljegyzésével

11

12 Legrövidebb utak irányított gráfokban G=(V,E) irányított gráf + w:E  R súlyfüggvény. Egy p=(v 0, v 1,…, v k ) út súlya: w(p)= i=0 Σ k w( v i,v i+1 ) Az u-ból v-be vivő legrövidebb út definíciója: δ(u,v)=Σ min{w(p),p:u  v}, ha létezik p, egyébként ∞ Figyelem!! δ(u,v) NEM egyértelmű!! Legrövidebb utak feszítőfája  minimális súlyú feszítőfa Problématípusok: Alapprobléma: egy adott s  V kezdőcsúcsból az összes v csúcsba vivő legrövidebb utak problémája. Következmények: 1. Adott csúcsba mindenhonnan beérkező legrövidebb utak problémája. (megoldás az élek megfordításával) 2. Adott csúcspár közötti legrövidebb utak problémája (nem ismert aszimptotikusan gyorsabb megoldás, mint az Alapprobléma) 3. Összes csúcspár közötti legrövidebb utak problémája (Alapprobléma minden csúcsra – ennél gyorsabb megoldás is létezik)

13 Negatív súlyú élek Negatív súlyú élek, ill. negatív összsúlyú körök problematikusak. Ha ilyet tartalmaz egy u-ból v-be vivő út, akkor δ(u,v)=- ∞. Ha v nem elérhető, akkor δ(u,v)=∞ Algoritmuseredmények: 1. Súly, 2. Út (utak) s ab c d ef g Negatív kör

14 Algoritmusok általános jellemzése Dijkstra algoritmusa: csak nemnegatív élekre! Bellman-Ford algoritmus: negatív élekre is működik, megtalálja a negatív köröket is Bellman-Ford algoritmus használata lineáris programozási feladatokra Fokozatos közelítés: az egyes csúcsok elérési súlyainak közelítése a felső korlát fokozatos finomítása (csökkentése) útján Alapelv: az optimális részstruktúrák elve. Egy optimális utakat tartalmazó feszítőfa részei szintén optimális utakat tartalmaznak.  Mohó algoritmusok  dinamikus programozás

15 Dijkstra algoritmusa Dijkstra(s) for  v  V do Táv[v]=∞ Szülő[v]=NIL Táv[s]=0 Bejáratlan=V while Bejáratlan<>{} do u=Bejáratlan.KiveszMin for  v  Szomszéd(u) do if Táv[v]>Táv[u]+Súly[u,v] then Táv[v]=Táv[u]+Súly[u,v] Szülő[v]=u Elsőbbségi sor, a távolság becslés alapján. Valójában azonban mindig csak a NemBejárt-Bejárt vágatból vesszük a következő csúcsot

16 y: ∞ y: 7 x: ∞ x: 5 u: ∞ u:10 A Dijkstra-algoritmus működése s:0 v: ∞ x: 5 u: s:0 v:14 v:13v:9 Megjegyzések: 1. Hasonlít a „SzéltébenBejár” és a „Prim” algoritmusra. Különbség elemzése HÁZI FELADAT… 2. Csak pozitív élsúlyokra működik 3. Mohó? Dinamikus? Bottom-up: Top-down?

17 Optimális feszítőfa  Legrövidebb utak A fa TELJES súlya minimális, az egyes élekhez vezető utak nem feltétlenül Minden lépésben a nyitott vágat legkönnyebb élét vesszük hozzá a halmazhoz. Ehhez nem feltétlenül vezet a legrövidebb út. a b h i g d f e c 4 a b h i g d f e c 4 Az egyes élekhez vezető utak KÜLÖN-KÜLÖN minimálisak, a fa teljes súlya nem feltétlenül, Minden lépésben a nyitott vágat legrövidebb úthosszúságú élét vesszük hozzá a halmazhoz, ez nem feltétlenül a legkönnyebb is.

18 A Dijkstra algoritmus elemzése 1. A „Bejáratlan” tömb lineáris vektor.  KiveszMin O(V), és |V| ilyen művelet van  KiveszMin össz. O(V 2 ) A Szomszéd(u) a gráf minden élét 1szer vizsgálja meg.  O(V 2 +E) 2. A „Bejáratlan” tömb bináris kupac,  KiveszMin ideje O(lgV), és |V| ilyen művelet van. Kupacfelépítés: O(V) KulcsotCsökkent: O(lgV), és legfeljebb |E| ilyen művelet van.  össz.O((V+E)lgV) = O(ElgV) 3. Fibonacci kupacokkal: O(VlogV+E)

19

20 A Bellman-Ford algoritmus + elemzése Negatív súlyú élek is lehetségesek Negatív körökre HAMIS logikai értéket ad Futási ideje: O(V*E) Buborékrendezéshez hasonló működési elv Negatív körökbe a legkönnyebb út választása miatt bepörög, és a pörgést csak a ciklus vége állítja le Ha egy csúcs nem elérhető, akkor Táv[u]=∞

21 BellmanFord(s) for  v  V do Táv[v]=∞ Szülő[v]=NIL Táv[s]=0 for i=1 to |V|-1 do for  u,v  E if Táv[v]>Táv[u]+Súly[u,v] then Táv[v]=Táv[u]+Súly[u,v] Szülő[v]=u for  u,v  E do if Táv[v]>Táv[u]+Súly[u,v] then return HAMIS return IGAZ Negatív kör keresése A háló lehetséges leghosszabb útja Egy közelítés hatása legrosszabb esetben |V| lépés után teljesen biztosan eljut minden élhez A fokozatos közelítés miatt ilyen feltétel csak akkor alakulhat ki, ha fenti ciklus leállt Él kiválasztása valamilyen rendezés szerint (pl. lexikografikus sorrendben)

22 A Bellman-Ford algoritmus működése y: ∞ x: ∞ u: ∞ z:0 v: ∞ u: 6 x: 7 v: 4 y: 2 u: 2 y:- 2

23 Legrövidebb utak Irányított Körmentes Gráfokban (KIG) KIG: A legrövidebb utak jól definiáltak, mert nincs negatív kör Algoritmus: az éleket a csúcsok topologikus rendezésének sorrendjében tekinti Nincs ciklus, nincs visszamutató él Futási idő: Topologikus rendezés: Θ(V+E) – Minden élt egyszer vizsgálunk – Közelítés konstans idő  Θ(V+E) Sejtés: elég lenne csak a kiindulási csúcstól?

24 KIGLegrövidebbUtak(s) A csúcsok topologikus rendezése for  v  V do Táv[v]=∞ Szülő[v]=NIL Táv[s]=0 for  u  V - a topologikus rendezés sorrendjében do for  v  Utód(u) if Táv[v]>Táv[u]+Súly[u,v] then Táv[v]=Táv[u]+Súly[u,v] Szülő[v]=u Közelítés r:∞s:0t:∞u:∞v:∞x:∞ s:0t:2u:6t:2v:6x:4u:6v:5 x:3

25 PERT (Program Evaluation and Review Technique) diagram – kritikus út meghatározása Munkafolyamat: tevékenységek, mérföldkövek (KIG-ek!) Gráfélek: tevékenységek, súlyok: időtartamok u  v, v  x élek: az uv tevékenységnek meg kell előznie a vx-et Egy u  v út egy tevékenységsorozat, amit csak az adott sorrendben lehet elvégezni Kritikus út: a KIG-en keresztülvezető leghosszabb út. Ez a teljes munkafolyamat időszükségletére vonatkozó alsó határ.

26 KIGLeghosszabbUtak(s) A csúcsok topologikus rendezése for  v  V do Táv[v]=-∞ Szülő[v]=NIL Táv[s]=0 for  u  V a topologikus rendezés sorrendjében do for  v  Utód(u) if Táv[v]


Letölteni ppt "Dinamikus programozás Problémamegoldási megközelítés – (rossz fordítás) Oszd meg és uralkodj: független részproblémák Dinamikus programozás esetén nem."

Hasonló előadás


Google Hirdetések