TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI/2 Rezgéstan, hullámtan

TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI/2 Rezgéstan, hullámtan
BALÁZS ZOLTÁN BMF, KVK, MTI 2009.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
A harmonikus rezgőmozgás Rezgésről beszélünk általában akkor, ha valamely mennyiség időnek periodi- kus függvénye. Harmonikus, ha az időnek szinuszos függvénye. Egyenes vonalú rezgés esetén a mozgást leíró függvény: x=A sin(ωt+α)

A harmonikus rezgőmozgás Az x=A sin(ωt+α) függvényben az Az A a maximális egyirányú kitérés az amplitúdó, az (ωt+α) a rezgés fázisa, az ω a rezgés körfrekvenciája, az α a rezgés kezdőfázisa

A harmonikus rezgőmozgás A rezgés további jellemzői: a T a rezgés periódus ideje, T=2π/ω az f a rezgés frekvenciája, f= ω /2π a T és az f közötti kapcsolat: T=1/f az f mértékegysége [f]=1/s=Hz az ω mértékegysége [ω]=rad/s

A harmonikus rezgőmozgás k=D rugóállandó ω=(D/m)1/2

A csillapítatlan harmonikus rezgőmozgás A rezgés kitérés-időfüggvénye: x=A sin(ωt+α) A rezgés sebesség-időfüggvénye: v=A ω cos(ωt+α) A rezgés gyorsulás-időfüggvénye: a=-A ω2 sin(ωt+α)

A csillapítatlan harmonikus rezgőmozgás A mozgás során külső erők hatása nélkül a rendszer energiája állandó, miközben legalább két energia fajta folyamatos egymásból egymásba alakulása történik. Például helyzeti és mozgási, vagy rugalmas és mozgási energiák. Wh+Wm=áll, vagy Wr+Wm=áll

A csillapítatlan harmonikus rezgőmozgás rugalmas rendszer: Wr+Wm=áll Dx2/2+mv2/2=áll. Ebből, ha x=A, v=0, akkor DA2/2=áll. Ha x=0m, v=vmax, akkor mvmax2/2=áll. Mert vmax=A ω, ezért DA2/2=m(A ω)2/2

A csillapítatlan harmonikus rezgőmozgás Csillapítatlan harmonikus rezgés

Trigonometrikus függvények A trigonometria azokkal az összefüggé-sekkel foglalkozik, amelyek segítségével a a háromszögek ismert elemeiből az isme-retlen elemeket számítással meghatároz-hatjuk. Minden egyenesekkel határolt síkidom háromszögekre és minden háromszög derékszögű háromszögekre bontható, ezért a derékszögű háromszögek vizsgálata meghatározóan fontos.

Trigonometrikus függvények (hegyes szögek) Az ábrán látható derékszögű háromszögek oldalainak aránya állandó (hasonló há-romszögek!) a/c=a1/c1=a2/c2 b/c=b1/c1=b2/c2 a/b=a1/b1=a2/b2 b/a=b1/a1=b2/a2

Trigonometrikus függvények A háromszögek megfelelő oldalainak aránya csak az α szögtől függ. Ezeket az arányokat szögfüggvényeknek nevezzük. Az egyes arányok külön megnevezést és jelölést kaptak. Ezek: -szinusz: sin α= a/c=(a szöggel szembeni befogó)/átfogó b/c=b1/c1=b2/c2 a/b=a1/b1=a2/b2 b/a=b1/a1=b2/a2

Trigonometrikus függvények: -koszinusz: cos α= b/c=(a szög melletti befogó)/átfogó -tangens: tg α= a/b=(a szöggel szembeni befogó)/(a szög melletti befogó) -kotangens: ctg α= b/a=(a szög melletti befogó)/(a szöggel szembeni befogó)

Trigonometrikus függvények: A szögeket fokokban és radiánokban (rad) is megadhatjuk. Az SI mértékegységrend-szerben csak a radián használható. Kapcsolatuk: 2π(rad)=360o Az ábrán látható derékszögű háromszög adatai: a=6m b=2,5m Határozzuk meg az α és a β szögek szögfüggvényeit!

Trigonometrikus függvények: Az ábrán látható derékszögű háromszög adatai: a=6m b=2,5m Határozzuk meg az α és a β szögek szögfüggvényeit! A c oldal a Pitagorasz tétellel számolható A szögfüggvények: sin α=a/c=6/6,5=0,9230 cos α=b/c=2,5/6,5=0,3849 tg α=a/b=6/2,5=2,4 ctg α=b/a=2,5/6=0,4166

A csillapított harmonikus rezgőmozgás A rugalmas erőn kívül még egy csilla- pító erő is hat, például a sebességgel arányos csillapító erő Fcs=lvx, ahol l arányossági tényező, ekkor a kitérés-idő függvény a következő: x=Ae-kt sin(ωt+α), ahol k a csillapítási tényező, k=l/(2m)

Szögfüggvények általánosítása: Szögfüggvényeket általánosan a P pont koordinátáival és az egységnyi sugárral a következőképpen értelmezzük: sin α=ordináta/sugár=y/1=y cos α=abszcissza/sugár=x/1=x tg α=ordináta/abszcissza=y/x ctg α=abszcissza/ordináta=x/y Az α szög bármilyen értékű lehet, a koordinátákat és a szögfüggvényeket előjelesen értelmezzük.

Szögfüggvények előjele különböző síknegyedekben:

Szögfüggvények előjele és értékei a különböző síknegyedekben:

Szögfüggvények előjele és számítása a különböző síknegyedekben:

A csillapítatlan és a csillapított harmonikus rezgőmozgás:

A csillapítatlan és a csillapított harmonikus rezgőmozgás

A csillapítatlan és a csillapított harmonikus rezgőmozgás:

Logaritmus: Azt a matematikai műveletet, mellyel egy adott hatványhoz és annak alapjához megkeressük azt a kitevőt, amely éppen a hatványt adja. A műveletet logaritmuskeresésnek nevezzük Pl.: hányadik hatványra kell emelni 5-öt, hogy 25-öt kapjunk. A fenti művelet jelölése: log5 25=x A példában x=2, mert 52=25; (5x=25) A logaritmus mindig hatványkitevőt jelent A példában az 5 a hatványalap, a 25 a hatvány, a 2 a hatványkitevő.

Logaritmus: A művelet általános jelölése: loga b=x, ahol a a hatványalap (vagy logaritmusalap) , b a hatvány és x a hatványkitevő. A logaritmusalap bármilyen nullánál nagyobb szám lehet kivéve az 1-et. Tehát a>0 és a≠1. Példák: log2 8=3, mert 23= log4 16=2, mert 42=16 log27 3=1/3, mert 271/3=3 log25 5=1/2, mert 251/2=5

Logaritmus azonosságai: a./ Egynek bármilyen alapú logaritmusa mindig nulla: loga 1=0, mert a0=1 (a≠1) b./ A logaritmus alapjának ugyanolyan alapú logaritmusa mindig 1. loga a=1, mert a1=a

Egytagú algebrai kifejezések logaritmusa: a./ szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők logaritmusának összegével: loga (m*n)= loga m+ loga n, m,n>0 b./ hányados logaritmusa egyenlő a számláló és a nevező logaritmusának különbségével: loga (m/n)= loga m- loga n, m,n>0

Egytagú algebrai kifejezések logaritmusa: c./ hatvány logaritmusa egyenlő az alap logaritmusának és a hatványkitevőnek a szorzatával: loga (mn)= n*loga m A hatvány tört is lehet, tehát a fenti szabály gyök esetén is érvényes: loga (mn/k)= n/k*loga m

Logaritmus: A logaritmusalap bármilyen nullánál nagyobb szám lehet, de a gyakorlatban általában csak a 10-es, a 2-es és a e (e=2,7182….) alapú természetes alapú logaritmust használják. Jelölésük: 10-es alapú lg 2-es alapú log2 e alapú ln

Logaritmus: Példák: a./ lg 8=lg(2*4)=lg2+lg4=0,3010+0,6020= =0,9031 b./ ln0,8=ln(4/5)=ln4-ln5=1,3863-1,6094= =-0,2231

Logaritmus: Példák: c./ ln52=2*ln 5=2*1,6094=3, c./ lg 81/2=(1/2)lg(8)=(1/2)0,9031=0,4515

Exponenciális egyenletek megoldása: Az olyan egyenletet, amelyben az ismeretlen a kitevőben található exponenciális egyenletnek nevezzük. Például: 3(x+1)-3x=100 exponenciális egyenlet.

Exponenciális egyenletek megoldása: a./ Ha az exponenciális egyenlet mindkét oldala egytagú kifejezés, akkor vagy logaritmálással, vagy a hatvány és alap egyenlőségéből a kitevők egyenlőségére következtetéssel algebrai egyenletet írunk fel, és azt a kitevőkre megoldjuk. Például: a1./ 3x= l logaritmálva: x*lg3=lg l :lg3 x=lg81:log3=1,9085/0, x=4

Exponenciális egyenletek megoldása: Például: a2./ 3x=81 l 81 felírása hatványként 3x= l látható: x=4 esetén áll fenn az egyenlőség x=4 Próba: 34= =81

Exponenciális egyenletek megoldása: Például: a3./ Próba:

Exponenciális egyenletek megoldása: Próba: a3./

Exponenciális egyenletek megoldása: b./ Ha az exponenciális egyenlet többtagú kifeje-zés, de átalakításokkal mindkét oldal egytagúra alakítható, akkor vagy logaritmálással, vagy a hatvány és alap egyenlőségéből a kitevők egyenlőségére következtetéssel algebrai egyen-letet írunk fel, és azt a kitevőkre megoldjuk. Például: b1./ 3x+2+7*3x+1=270 l :a kitevőket felbontjuk: 3x*32+7*3x*31= l :3x-kiemelése 3x(32+7*31)= x(9+21)= l :osztás 30-al x=270/30 =9= x=2

Exponenciális egyenletek megoldása: b1. folytatás: Próba: 3x+2+7*3x+1= *32+1= *33= *27= =270

Exponenciális egyenletek megoldása: Például: b2./ 3x+2+7*3x+1=280 l :a kitevőket felbontjuk: 3x*32+7*3x*31= l :3x-kiemelése 3x(32+7*31)=280 3x(9+21)= l :osztás 30-al 3x=280/ l: logaritmálás x*lg3=lg(280/30)=lg280-lg30 x*0,4771=2, =0,9700 x=0,9700/0,4771=2, x=2,0331

Exponenciális egyenletek megoldása: Próba: b2./ 3x+2+7*3x+1= , *32,0331+1=280 34,0331+7*33,0331= ,9997+7*27,9999= , ,9993= ,999=280 A kerekítésektől eltekintve az egyenlőség fennáll

Hullámtan A rezgőmozgás rugalmas közegben térben és időben való továbbterjedését hullámmozgásnak nevezzük. A rugalmas közeg részecskéi a rezgési ener- giát továbbadják egymásnak. Az áta- dáshoz idő ezért a részecskék időel- tolódással (fáziskéséssel) veszik át az energiát.

Hullámtan A hullámmozgásban (hullámban) végtelen sok részecske rezgése van jelen, ezért a rezgőmozgás minden jellemzője megtalálható. A rezgés térben és időben tovább- terjed, ezért további jellemzők is megjelennek, ezek a hullámhossz és a hullám terjedési sebessége.

Hullámtan A hullámok jellemzői: - a rezgés frekvenciája: rezgő részecskék rezgési frekvenciája jele: f mértékegysége: Hz (1/s)

Hullámtan A hullámok jellemzői: - a hullám hullámhossza: a hullámban két egymás- hoz legközelebbi azonos rezgésállapotú pont távolsága jele: λ mértékegysége: m

Hullámtan A hullámok jellemzői: - a hullám terjedési sebes- sége: a rezgés egy periódusa alatt a hullám éppen egy hullám- hossznyit halad előre jele: c mértékegysége: m/s

Hullámtan A hullám jellemzői közötti kapcsolat: f=c/λ f λ=c

Hullámtan A hullám mozgását a hely és az idő függvényében leíró matematikai kapcsolat: ψ(x;t)= ψ0sin[2π(ft-x/λ)]

Hullámtan A hullámoknak a haladási irány és a rezgési irány viszonya alapján két típusát különböztetjük meg: - transzverzális: a rezgési és haladási irány egymásra merőleges - longitudinális: a rezgési és haladási irány egy egyenes be esik

Hullámtan Transzverzális hullám:

Hullámtan Transzverzális hullámok összeadása:

Hullámtan a hullámok jellemző tulajdonságai: - a visszaverődés, - a törés:

Hullámtan a hullámok jellemző tulajdonságai: az interferencia, - az elhajlás, - a polarizáció

Hullámtan a hullámok jellemző tulajdonsá- gai: - interferencia: két azonos jel- lemzőkkel rendelkező hullám találkozásakor, együtthaladá- sakor a két hullámban változó mennyiségek szuperponálódnak.

Hullámtan A hullámok jellemző tulajdonságai: - észlelhető interferencia: kohe- rencia, két azonos jellemzőkkel rendelkező hullám állandó fázis- különbséggel találkozik.

Hullámtan Michelson-féle interferométer: az interferencia felhasználásával távolság mérés

Hullámtan Doppler hatás: a hullámforrás és a megfigyelő relatív sebessége be- folyásolja a megfigyelő által ész- lelt frekvenciát. A jelenséget leíró összefüggés: Ahol vm a megfigyelő vf a forrás sebes- sége a közeghez viszonyítva, f’ az észlelt, f a forrás frekvencia.

Hullámtan Doppler hatás

Hullámtan Állóhullámok: Ha egymással szemben haladó, azonos frekvenciájú és azonos amplitúdójú hullámok találkoznak és interferálnak egymással, akkor álló- hullámok keletkeznek. Leggyakrabban a hullámok visszaverődése esetén jön létre (pl. hangszerekben).

Hullámtan Transzverzális állóhullámok:

Hullámtan Longitudinális állóhullámok:

Fénytan A fény elektromágneses hullám. Jellemzői: - terjedéséhez nincs szükség közvetítő közegre - terjedési sebessége vákuumban: c0=3 108m/s - transzverzális hullám - közeghatáron részben visszaverődik, részben behatol az új közegbe, és ott változó sebességgel halad tovább.

Fénytan A fény elektromágneses hullám. Jellemzői: - a közegeknek optikai sűrűsége van. A sűrűbb közegben a fény terjedési sebessége kisebb. A törés törvénye: sinα/sinβ=c1/c2

Hullámoptikai jelenségek: fényvisszaverődés: a sík felületre beeső fénysugár, a beesési merőleges és a visszavert sugár egy síkban vannak. A beesési szög (a beeső fénysugár és a beesési merőleges által bezárt szög) és a visszaverődési szög (a visszaverődő fénysugár és a beesési merőleges által bezárt szög) egyenlő.

Hullámoptikai jelenségek: - fénytörés: érvényes a Snellius-Decartes törvény: sinα/sinβ=c1/c2=n21 ahol α a beesési, β a törési szög, c1, c2 a két közegbeli fénysebesség, n21 a második közegnek az elsőre vonatkoztatott törés-mutatója. Az abszolút törésmutató: n=c/c1

Hullámoptikai jelenségek: - teljes visszaverődés: a fény optikailag sűrűbb közegből ritkább közegbe megy és a beesési szög nagyobb mint a határszög. Ekkor a fénysugár nem lép ki a sűrűbb közegből, hanem 100%-os visszaverődés jön létre sinαh/sin90o=1/n sinαh=1/n ahol αh a határszög .

Szinkeverés

Fénytan Fermat-elv: a fény mindig azon az úton halad, amelynek megtételéhez szükséges idő extrémális. Optikai úthossz:

Fermat elv: Az úthosszal megfogalmazva: a fény mindig azon az úton halad, amelyhez tartozó optikai úthossz extrémális. Az optikai úthossz differenciálhányadosa nulla.

Visszaverődés esetén a fény mindvégig azonos közegben halad, sebessége azonos, így a fény útjának minimumát kell keresni.

Visszaverődés

Fénytörés

Fénytörés a felső közegben a fény terjedési sebessége c1, az alsóban c2, és c1>c2. A futási idő: t=(x2+e2)1/2/c1+((d-x)2+y2)1/2/c2 Deriválás után: (x/(x2+e2)1/2c1) =((d-x)/(d-x)2+y2)1/2c2 sina/c1=sinb/c2 azaz sina/sinb=c1/c2=n12

Fényvisszaverődés, fénytörés:

Fénytan

Homorú tükör képalkotása

Domború tükör képalkotása

Sík tükör képalkotása

Plánparalel lemez fényeltolása

Fénytani prizma

Prizma

Fénytan

Trigonometria a./ szinusz tétel: az általános háromszögben bármely két oldal aránya az oldalakkal szemben lévő szögek szinuszának arányával egyenlő. a:b=sinα:sinβ a:c=sinα:sinγ b:c=sinβ :sinγ

Trigonometria a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az c és b által bezárt szög az α=π/6rad, azaz 30o , mekkora a c oldal? a/b=sinα/sinβ l vegyük az egyenlet reciprokát b/a= sinβ/sin α sinβ=(b/a)*sinα sinβ=(12/10)sin30o sinβ=(12/10)sin30o sinβ=(1,2)*0,5 sinβ=0,6 β=arc sin0,6 β=36,87o=0,643rad

Trigonometria a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az c és b által bezárt szög az α=π/6rad, azaz 30o , mekkora a c oldal? Folytatás: β=36,87o=0,643rad γ=180o-α-β γ=180o-30o-36,87o γ=113,13o c/a=sinγ/sinα c=(a*sinγ)/sinα c=(10*sin113,13o)/sin30o c=(10*0,9196)/0,5 c=18,39m, Tehát a c oldal 18,39m

Trigonometria b./ koszinusz tétel: az általános háromszögben bármely oldalának négyzetét úgy kapjuk, hogy a másik két oldalá-nak négyzetösszegéből kivonjuk ugyanazon oldalak szorzatának és a közbezárt szög koszinu-szának kétszeresét. a2=b2+c2-2*b*c*cosα b2=a2+c2-2*a*c*cosβ c2=a2+b2-2*a*b*cosγ

Trigonometria a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az a és b által bezárt szög az γ=113,13o, mekkora a c oldal? c2=a2+b2-2*a*b*cosγ c2= *10*12*cos113,13o c2= *(-0,3928) c2=244+94,2764 c2=338,2764 c=18,39m Tehát a c oldal 18,39m

Goniometrikus egyenletek A goniometrikus egyenletek keretében azokkal az összefüggésekkel foglalkozunk, amelyekben az ismeretlenek valamely trigonometrikus függvény argumentumában találhatók. Például: a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a Megoldásoknak (gyökök) nevezzük x azon érté-keit, amelyek kielégítik goniometrikus egyenletet.

Goniometrikus egyenletek a./ sin x=a Lehetőségek: a1./ sin x=a Megoldások: a1./1. x= arc sin a+2kπ A mellékelt ábra jobb oldala alapján! a2./ sin x=a Megoldások: a2./ x= π(2k+1)- arc sin a a mellékelt ábra bal oldala alapján A k tetszőleges egész szám!

Goniometrikus egyenletek a./ sin x=a Lehetőségek: a3./ sin x=a Megoldások: a3./1. x= arc sin a+2kπ A mellékelt ábra jobb oldala alapján! a4./ sin x=a Megoldások: a4./ x= π(2k+1)- arc sin a a mellékelt ábra bal oldala alapján! A k tetszőleges egész szám!

Goniometrikus egyenletek b./ cos x=a Lehetőségek: b1./ cos x=a Megoldások: b1. x=± arc cos a+2kπ A mellékelt felső ábra alapján! b2./ sin x=a Megoldások: b x=± arc cos a+2kπ a mellékelt alsó ábra alapján! A k tetszőleges egész szám!

Goniometrikus egyenletek c./ tg x=a Megoldás: x=arc tg a+kπ A mellékelt ábra alapján! A k tetszőleges egész szám!

Goniometrikus egyenletek c./ ctg x=a Megoldás: x=arc ctg a+kπ A mellékelt ábra alapján! A k tetszőleges egész szám!

Goniometrikus egyenletek Példák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 és a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a a1./ x= arc sin a+2kπ =arc sin,075+2kπ =(0,848+2k π) rad a2./ x= π( 2k+1)- arc sin a = π( 2k+1)- arc sin 0,75 =(π(2k+1)- 0,848)rad A k tetszőleges egész szám! Tehát eredmények a következők: k=0, x01=0,848rad, és x02= π- 0,848=2,2936rad; k=1, x11=0,848+2π=7,1312rad x12=3 π-0,848=8,576rad, stb.

Goniometrikus egyenletek Példák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 és a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a b1./ x= arc cos a+2kπ =arc cos 0,75+2kπ =(0,7227+2k π) rad b2./ x=-arc cos a+2kπ =-arc cos 0,75+2kπ =(-0,7227+ +2k π) rad A k tetszőleges egész szám! Tehát eredmények a következők: k=0, x01=0,7227rad, és x02= - 0,7227rad; k=1, x11=0,7227+2π=7,0rad x12=2π-0,7227=5,56rad, stb.

Goniometrikus egyenletek Példák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 és a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a c1./ x= arc tg a+kπ =arc tg 0,75+kπ =(0,6435+k π) rad A k tetszőleges egész szám! Tehát eredmények a következők: k=0, x01=0,6435rad, k=1, x11=0,6435+π=3,7851rad, stb.

TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI/2 Rezgéstan, hullámtan

Hasonló előadás

Az előadások a következő témára: "TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI/2 Rezgéstan, hullámtan"— Előadás másolata:

Hasonló előadás

Projectumról

Visszajelzés

Bejelentkezés

A társadalmi hálózaton keresztül belépni:

TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI/2 Rezgéstan, hullámtan

Hasonló előadás

Az előadások a következő témára: "TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI/2 Rezgéstan, hullámtan"— Előadás másolata:

Hasonló előadás

Projectumról

Visszajelzés