Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

TERMÉSZETTUDOMÁNY OK ALAPJAI/2 Rezgéstan, hullámtan BALÁZS ZOLTÁN BMF, KVK, MTI 2009.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "TERMÉSZETTUDOMÁNY OK ALAPJAI/2 Rezgéstan, hullámtan BALÁZS ZOLTÁN BMF, KVK, MTI 2009."— Előadás másolata:

1 TERMÉSZETTUDOMÁNY OK ALAPJAI/2 Rezgéstan, hullámtan BALÁZS ZOLTÁN BMF, KVK, MTI 2009.

2 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A harmonikus rezgőmozgás Rezgésről beszélünk általában akkor, ha valamely mennyiség időnek periodi- kus függvénye. Harmonikus, ha az időnek szinuszos függvénye. Egyenes vonalú rezgés esetén a mozgást leíró függvény: x=A sin(ωt+α)

3 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A harmonikus rezgőmozgás Az x=A sin(ωt+α) függvényben az Az A a maximális egyirányú kitérés az amplitúdó, az (ωt+α) a rezgés fázisa, az ω a rezgés körfrekvenciája, az α a rezgés kezdőfázisa

4 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A harmonikus rezgőmozgás A rezgés további jellemzői: a T a rezgés periódus ideje, T=2π/ω az f a rezgés frekvenciája, f= ω /2π a T és az f közötti kapcsolat: T=1/f az f mértékegysége [f]=1/s=Hz az ω mértékegysége [ω]=rad/s

5 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A harmonikus rezgőmozgás k=D rugóállandóω=(D/m) 1/2

6 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A csillapítatlan harmonikus rezgőmozgás A rezgés kitérés-időfüggvénye: x=A sin(ωt+α) A rezgés sebesség-időfüggvénye: v=A ω cos(ωt+α) A rezgés gyorsulás-időfüggvénye: a=-A ω 2 sin(ωt+α)

7 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A csillapítatlan harmonikus rezgőmozgás A mozgás során külső erők hatása nélkül a rendszer energiája állandó, miközben legalább két energia fajta folyamatos egymásból egymásba alakulása történik. Például helyzeti és mozgási, vagy rugalmas és mozgási energiák. W h +W m =áll, vagy W r +W m =áll

8 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A csillapítatlan harmonikus rezgőmozgás rugalmas rendszer: W r +W m =áll Dx 2 /2+mv 2 /2=áll. Ebből, ha x=A, v=0, akkor DA 2 /2=áll. Ha x=0m, v=vmax, akkor mv max 2 /2=áll. Mert v max =A ω, ezért DA 2 /2=m(A ω) 2 /2

9 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A csillapítatlan harmonikus rezgőmozgás Csillapítatlan harmonikus rezgés

10 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometrikus függvények A trigonometria azokkal az összefüggé- sekkel foglalkozik, amelyek segítségével a a háromszögek ismert elemeiből az isme- retlen elemeket számítással meghatároz- hatjuk. Minden egyenesekkel határolt síkidom háromszögekre és minden háromszög derékszögű háromszögekre bontható, ezért a derékszögű háromszögek vizsgálata meghatározóan fontos.

11 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometrikus függvények (hegyes szögek) Az ábrán látható derékszögű háromszögek oldalainak aránya állandó (hasonló há- romszögek!) a/c=a 1 /c 1 =a 2 /c 2 b/c=b 1 /c 1 =b 2 /c 2 a/b=a 1 /b 1 =a 2 /b 2 b/a=b 1 /a 1 =b 2 /a 2 a/c=a 1 /c 1 =a 2 /c 2 b/c=b 1 /c 1 =b 2 /c 2 a/b=a 1 /b 1 =a 2 /b 2 b/a=b 1 /a 1 =b 2 /a 2

12 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometrikus függvények A háromszögek megfelelő oldalainak aránya csak az α szögtől függ. Ezeket az arányokat szögfüggvényeknek nevezzük. Az egyes arányok külön megnevezést és jelölést kaptak. Ezek: -szinusz: sin α= a/c=(a szöggel szembeni befogó)/átfogó b/c=b 1 /c 1 =b 2 /c 2 a/b=a 1 /b 1 =a 2 /b 2 b/a=b 1 /a 1 =b 2 /a 2 -szinusz: sin α= a/c=(a szöggel szembeni befogó)/átfogó b/c=b 1 /c 1 =b 2 /c 2 a/b=a 1 /b 1 =a 2 /b 2 b/a=b 1 /a 1 =b 2 /a 2

13 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometrikus függvények: -koszinusz: cos α= b/c=(a szög melletti befogó)/átfogó -tangens: tg α= a/b=(a szöggel szembeni befogó)/(a szög melletti befogó) -kotangens: ctg α= b/a=(a szög melletti befogó)/(a szöggel szembeni befogó)

14 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometrikus függvények: A szögeket fokokban és radiánokban (rad) is megadhatjuk. Az SI mértékegységrend-szerben csak a radián használható. Kapcsolatuk: 2π(rad)=360 o Az ábrán látható derékszögű háromszög adatai: a=6m b=2,5m Határozzuk meg az α és a β szögek szögfüggvényeit!

15 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometrikus függvények: Az ábrán látható derékszögű háromszög adatai: a=6m b=2,5m Határozzuk meg az α és a β szögek szögfüggvényeit! A c oldal a Pitagorasz tétellel számolható A szögfüggvények: sin α=a/c=6/6,5=0,9230 cos α=b/c=2,5/6,5=0,3849 tg α=a/b=6/2,5=2,4 ctg α=b/a=2,5/6=0,4166

16 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A csillapított harmonikus rezgőmozgás A rugalmas erőn kívül még egy csilla- pító erő is hat, például a sebességgel arányos csillapító erő F cs =lv x, ahol l arányossági tényező, ekkor a kitérés-idő függvény a következő: x=Ae -kt sin(ωt+α), ahol k a csillapítási tényező, k=l/(2m)

17 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Szögfüggvények általánosítása: Szögfüggvényeket általánosan a P pont koordinátáival és az egységnyi sugárral a következőképpen értelmezzük: sin α=ordináta/sugár=y/1=y cos α=abszcissza/sugár=x/1=x tg α=ordináta/abszcissza=y/x ctg α=abszcissza/ordináta=x/y Az α szög bármilyen értékű lehet, a koordinátákat és a szögfüggvényeket előjelesen értelmezzük. Az α szög bármilyen értékű lehet, a koordinátákat és a szögfüggvényeket előjelesen értelmezzük.

18 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Szögfüggvények előjele különböző síknegyedekben: Szögfüggvények előjele különböző síknegyedekben:

19 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Szögfüggvények előjele és értékei a különböző síknegyedekben: Szögfüggvények előjele és értékei a különböző síknegyedekben:

20 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Szögfüggvények előjele és értékei a különböző síknegyedekben: Szögfüggvények előjele és értékei a különböző síknegyedekben:

21 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Szögfüggvények előjele és számítása a különböző síknegyedekben: Szögfüggvények előjele és számítása a különböző síknegyedekben:

22 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Szögfüggvények előjele és számítása a különböző síknegyedekben: Szögfüggvények előjele és számítása a különböző síknegyedekben:

23 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A csillapítatlan és a csillapított harmonikus rezgőmozgásA csillapítatlan és a csillapított harmonikus rezgőmozgás: A csillapítatlan és a csillapított harmonikus rezgőmozgás

24 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A csillapítatlan és a csillapított harmonikus rezgőmozgás A csillapítatlan és a csillapított harmonikus rezgőmozgás

25 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A csillapítatlan és a csillapított harmonikus rezgőmozgás: A csillapítatlan és a csillapított harmonikus rezgőmozgás:

26 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A csillapítatlan és a csillapított harmonikus rezgőmozgás: A csillapítatlan és a csillapított harmonikus rezgőmozgás:

27 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Logaritmus: Azt a matematikai műveletet, mellyel egy adott hatványhoz és annak alapjához megkeressük azt a kitevőt, amely éppen a hatványt adja. A műveletet logaritmuskeresésnek nevezzük Azt a matematikai műveletet, mellyel egy adott hatványhoz és annak alapjához megkeressük azt a kitevőt, amely éppen a hatványt adja. A műveletet logaritmuskeresésnek nevezzük Pl.: hányadik hatványra kell emelni 5-öt, hogy 25-öt kapjunk. A fenti művelet jelölése: log 5 25=x A példában x=2, mert 5 2 =25; (5 x =25) A logaritmus mindig hatványkitevőt jelent A példában az 5 a hatványalap, a 25 a hatvány, a 2 a hatványkitevő. Pl.: hányadik hatványra kell emelni 5-öt, hogy 25-öt kapjunk. A fenti művelet jelölése: log 5 25=x A példában x=2, mert 5 2 =25; (5 x =25) A logaritmus mindig hatványkitevőt jelent A példában az 5 a hatványalap, a 25 a hatvány, a 2 a hatványkitevő.

28 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Logaritmus: A művelet általános jelölése: log a b=x, ahol a a hatványalap (vagy logaritmusalap), b a hatvány és x a hatványkitevő. A logaritmusalap bármilyen nullánál nagyobb szám lehet kivéve az 1-et. Tehát a>0 és a≠1. A művelet általános jelölése: log a b=x, ahol a a hatványalap (vagy logaritmusalap), b a hatvány és x a hatványkitevő. A logaritmusalap bármilyen nullánál nagyobb szám lehet kivéve az 1-et. Tehát a>0 és a≠1. Példák: log 2 8=3, mert 2 3 =8 log 4 16=2, mert 4 2 =16 log 27 3=1/3, mert 27 1/3 =3 log 27 3=1/3, mert 27 1/3 =3 log 25 5=1/2, mert 25 1/2 =5 log 25 5=1/2, mert 25 1/2 =5

29 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Logaritmus azonosságai: a./ Egynek bármilyen alapú logaritmusa mindig nulla: log a 1=0, mert a 0 =1 (a≠1) b./ A logaritmus alapjának ugyanolyan alapú logaritmusa mindig 1. log a a=1, mert a 1 =a

30 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Egytagú algebrai kifejezések logaritmusa: a./ szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők logaritmusának összegével: log a (m*n)= log a m+ log a n, m,n>0 b./ hányados logaritmusa egyenlő a számláló és a nevező logaritmusának különbségével: log a (m/n)= log a m- log a n, m,n>0

31 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Egytagú algebrai kifejezések logaritmusa: c./ hatvány logaritmusa egyenlő az alap logaritmusának és a hatványkitevőnek a szorzatával: log a (m n )= n*log a m A hatvány tört is lehet, tehát a fenti szabály gyök esetén is érvényes: log a (m n/k )= n/k*log a m

32 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Logaritmus: A logaritmusalap bármilyen nullánál nagyobb szám lehet, de a gyakorlatban általában csak a 10-es, a 2-es és a e (e=2,7182….) alapú természetes alapú logaritmust használják. Jelölésük: 10-es alapú lg 2-es alapú log 2 e alapú ln

33 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Logaritmus: Példák: a./ lg 8=lg(2*4)=lg2+lg4=0,3010+0,6020= =0,9031 b./ ln0,8=ln(4/5)=ln4-ln5=1,3863-1,6094= =-0,2231

34 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Logaritmus: Példák: c./ ln5 2 =2*ln 5=2*1,6094=3,2188 c./ lg 8 1/2 =(1/2)lg(8)=(1/2)0,9031=0,4515

35 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: Az olyan egyenletet, amelyben az ismeretlen a kitevőben található exponenciális egyenletnek nevezzük. Például: 3 (x+1) -3 x =100 exponenciális egyenlet.

36 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: a./ Ha az exponenciális egyenlet mindkét oldala egytagú kifejezés, akkor vagy logaritmálással, vagy a hatvány és alap egyenlőségéből a kitevők egyenlőségére következtetéssel algebrai egyenletet írunk fel, és azt a kitevőkre megoldjuk. Például: a1./3 x =81 l logaritmálva: x*lg3=lg81 l :lg3 x=lg81:log3=1,9085/0, 4771 x=4

37 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: Például: a2./3 x =81 l 81 felírása hatványként 3 x =3 4 l látható: x=4 esetén áll fenn az egyenlőség x=4 Próba:3 4 =81 81=81

38 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: Például: a3./ Próba:

39 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: Próba: a3./

40 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: b./ Ha az exponenciális egyenlet többtagú kifeje- zés, de átalakításokkal mindkét oldal egytagúra alakítható, akkor vagy logaritmálással, vagy a hatvány és alap egyenlőségéből a kitevők egyenlőségére következtetéssel algebrai egyen- letet írunk fel, és azt a kitevőkre megoldjuk. Például: b1./ 3 x+2 +7*3 x+1 =270 l :a kitevőket felbontjuk: 3 x *3 2 +7*3 x *3 1 =270 l :3 x -kiemelése 3 x (3 2 +7*3 1 )=270 3 x (9+21)=270 l :osztás 30-al 3 x =270/30 =9=3 2 x=2

41 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: b1. folytatás: Próba: 3 x+2 +7*3 x+1 = *3 2+1 = *3 3 = *27= =270

42 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: Például: b2./ 3 x+2 +7*3 x+1 =280 l :a kitevőket felbontjuk: 3 x *3 2 +7*3 x *3 1 =280 l :3 x -kiemelése 3 x (3 2 +7*3 1 )=280 3 x (9+21)=280 l :osztás 30-al 3 x =280/30 l: logaritmálás x*lg3=lg(280/30)=lg280-lg30 x*0,4771=2, =0,9700 x=0,9700/0,4771=2,0331 x=2,0331

43 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: Próba: b2./ 3 x+2 +7*3 x+1 = , *3 2, = , *3 3,0331 =280 83,9997+7*27,9999=280 83, ,9993= ,999=280 A kerekítésektől eltekintve az egyenlőség fennáll

44 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámtan A rezgőmozgás rugalmas közegben térben és időben való továbbterjedését hullámmozgásnak nevezzük. A rugal- mas közeg részecskéi a rezgési ener- giát továbbadják egymásnak. Az áta- dáshoz idő ezért a részecskék időel- tolódással (fáziskéséssel)veszik át az energiát. Hullámtan A rezgőmozgás rugalmas közegben térben és időben való továbbterjedését hullámmozgásnak nevezzük. A rugal- mas közeg részecskéi a rezgési ener- giát továbbadják egymásnak. Az áta- dáshoz idő ezért a részecskék időel- tolódással (fáziskéséssel)veszik át az energiát.

45 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámtan A hullámmozgásban (hullámban) végtelen sok részecske rezgése van jelen, ezért a rezgőmozgás minden jellemzője megtalálható. A rezgés térben és időben tovább- terjed, ezért további jellemzők is megjelennek, ezek a hullámhossz és a hullám terjedési sebessége. Hullámtan A hullámmozgásban (hullámban) végtelen sok részecske rezgése van jelen, ezért a rezgőmozgás minden jellemzője megtalálható. A rezgés térben és időben tovább- terjed, ezért további jellemzők is megjelennek, ezek a hullámhossz és a hullám terjedési sebessége.

46 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámtan A hullámok jellemzői: - a rezgés frekvenciája: rezgő részecskék rezgési frekvenciája jele: f mértékegysége: Hz (1/s) Hullámtan A hullámok jellemzői: - a rezgés frekvenciája: rezgő részecskék rezgési frekvenciája jele: f mértékegysége: Hz (1/s)

47 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámtan A hullámok jellemzői: - a hullám hullámhossza: a hullámban két egymás- hozlegközelebbi azonos rezgésállapotú pont távolsága jele: λ mértékegysége: m Hullámtan A hullámok jellemzői: - a hullám hullámhossza: a hullámban két egymás- hozlegközelebbi azonos rezgésállapotú pont távolsága jele: λ mértékegysége: m

48 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámtan A hullámok jellemzői: - a hullám terjedési sebes- sége: a rezgés egy periódusa alatt a hullám éppen egy hullám- hossznyit halad előre jele: c Hullámtan A hullámok jellemzői: - a hullám terjedési sebes- sége: a rezgés egy periódusa alatt a hullám éppen egy hullám- hossznyit halad előre jele: c mértékegysége: m/s mértékegysége: m/s

49 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámtan A hullám jellemzői közötti kapcsolat: f=c/λ f λ=c Hullámtan A hullám jellemzői közötti kapcsolat: f=c/λ f λ=c

50 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámtan A hullám mozgását a hely és az idő függvényében leíró matematikai kapcsolat: ψ(x;t)= ψ 0 sin[2π(ft-x/λ)] Hullámtan A hullám mozgását a hely és az idő függvényében leíró matematikai kapcsolat: ψ(x;t)= ψ 0 sin[2π(ft-x/λ)]

51 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámtan A hullámoknak a haladási irány és a rezgési irány viszonya alapjánkét típusát különböztetjük meg: - transzverzális: a rezgési és haladási irány egymásra merőleges - longitudinális: a rezgési és haladási irány egy egyenes- be esik Hullámtan A hullámoknak a haladási irány és a rezgési irány viszonya alapjánkét típusát különböztetjük meg: - transzverzális: a rezgési és haladási irány egymásra merőleges - longitudinális: a rezgési és haladási irány egy egyenes- be esik

52 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámtan Transzverzális hullám: Hullámtan Transzverzális hullám: Transzverzális hullám: Transzverzális hullám:

53 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámtan Transzverzális hullám: Hullámtan Transzverzális hullám: Transzverzális hullám: Transzverzális hullám:

54 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámtan Transzverzális hullámok összeadása: Hullámtan Transzverzális hullámok összeadása: Transzverzális hullámok összeadása: Transzverzális hullámok összeadása:

55 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámtan a hullámok jellemző tulajdonságai: - a visszaverődés, - a törés: Hullámtan a hullámok jellemző tulajdonságai: - a visszaverődés, - a törés: a hullámok a hullámok

56 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámtan a hullámok jellemző tulajdonságai: - az interferencia, - az elhajlás, - a polarizáció Hullámtan a hullámok jellemző tulajdonságai: - az interferencia, - az elhajlás, - a polarizáció

57 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámtan a hullámok jellemző tulajdonsá- gai: - interferencia: két azonos jel- lemzőkkel rendelkező hullám találkozásakor, együtthaladá- sakor a két hullámban változó mennyiségek szuperponálódnak. Hullámtan a hullámok jellemző tulajdonsá- gai: - interferencia: két azonos jel- lemzőkkel rendelkező hullám találkozásakor, együtthaladá- sakor a két hullámban változó mennyiségek szuperponálódnak.

58 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámtan A hullámok jellemző tulajdonságai: - észlelhető interferencia: kohe- rencia, két azonos jellemzőkkel rendelkező hullám állandó fázis- különbséggel találkozik. Hullámtan A hullámok jellemző tulajdonságai: - észlelhető interferencia: kohe- rencia, két azonos jellemzőkkel rendelkező hullám állandó fázis- különbséggel találkozik. - észlelhető interferencia: - észlelhető interferencia:

59 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámtan Michelson-féle interferométer: az interferencia felhasználásával távolság mérés Hullámtan Michelson-féle interferométer: az interferencia felhasználásával távolság mérés Michelson-féle interferométer: Michelson-féle interferométer:

60 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámtan Doppler hatás: a hullámforrás és a megfigyelő relatív sebessége be- folyásolja a megfigyelő által ész- lelt frekvenciát. A jelenséget leíró összefüggés: Hullámtan Doppler hatás: a hullámforrás és a megfigyelő relatív sebessége be- folyásolja a megfigyelő által ész- lelt frekvenciát. A jelenséget leíró összefüggés: Ahol v m a megfigyelő v f a forrás sebes- sége a közeghez viszonyítva, f’ az észlelt, f a forrás frekvencia.

61 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámtan Doppler hatás Hullámtan Doppler hatás Doppler hatás Doppler hatás

62 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámtan Doppler hatás Hullámtan Doppler hatás Doppler hatás Doppler hatás

63 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámtan Állóhullámok: Ha egymással szemben haladó, azonos frekvenciájú és azonos amplitúdójú hullámok találkoznak és interferálnak egymással, akkor álló- hullámok keletkeznek. Leggyakrabban a hullámok visszaverődése esetén jön létre (pl. hangszerekben). Hullámtan Állóhullámok: Ha egymással szemben haladó, azonos frekvenciájú és azonos amplitúdójú hullámok találkoznak és interferálnak egymással, akkor álló- hullámok keletkeznek. Leggyakrabban a hullámok visszaverődése esetén jön létre (pl. hangszerekben).

64 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámtan Transzverzális állóhullámok: Hullámtan Transzverzális állóhullámok: Transzverzális állóhullámok: Transzverzális állóhullámok:

65 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámtan Longitudinális állóhullámok: Hullámtan Longitudinális állóhullámok: Longitudinális állóhullámok: Longitudinális állóhullámok:

66 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fénytan A fény elektromágneses hullám. Jellemzői: - terjedéséhez nincs szükség közvetítő közegre - terjedési sebessége vákuumban: c 0 = m/s - transzverzális hullám - közeghatáron részben visszaverődik, részben behatol az új közegbe, és ott változó sebességgel halad tovább. Fénytan A fény elektromágneses hullám. Jellemzői: - terjedéséhez nincs szükség közvetítő közegre - terjedési sebessége vákuumban: c 0 = m/s - transzverzális hullám - közeghatáron részben visszaverődik, részben behatol az új közegbe, és ott változó sebességgel halad tovább.

67 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fénytan A fény elektromágneses hullám. Jellemzői: - a közegeknek optikai sűrűsége van. A sűrűbb közegben a fény terjedési sebessége kisebb. A törés törvénye: sinα/sinβ=c 1 /c 2 Fénytan A fény elektromágneses hullám. Jellemzői: - a közegeknek optikai sűrűsége van. A sűrűbb közegben a fény terjedési sebessége kisebb. A törés törvénye: sinα/sinβ=c 1 /c 2

68 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámoptikai jelenségek: fényvisszaverődés: a sík felületre beeső fénysugár, a beesési merőleges és a visszavert sugár egy síkban vannak. A beesési szög (a beeső fénysugár és a beesési merőleges által bezárt szög) és a visszaverődési szög (a visszaverődő fénysugár és a beesési merőleges által bezárt szög) egyenlő. Hullámoptikai jelenségek: fényvisszaverődés: a sík felületre beeső fénysugár, a beesési merőleges és a visszavert sugár egy síkban vannak. A beesési szög (a beeső fénysugár és a beesési merőleges által bezárt szög) és a visszaverődési szög (a visszaverődő fénysugár és a beesési merőleges által bezárt szög) egyenlő.

69 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámoptikai jelenségek: - fénytörés: érvényes a Snellius-Decartes törvény: sinα/sinβ=c 1 /c 2 =n 21 ahol α a beesési, β a törési szög, c 1, c 2 a két közegbeli fénysebesség, n 21 a második közegnek az elsőre vonatkoztatott törés- mutatója. Az abszolút törésmutató: Hullámoptikai jelenségek: - fénytörés: érvényes a Snellius-Decartes törvény: sinα/sinβ=c 1 /c 2 =n 21 ahol α a beesési, β a törési szög, c 1, c 2 a két közegbeli fénysebesség, n 21 a második közegnek az elsőre vonatkoztatott törés- mutatója. Az abszolút törésmutató: n=c/c 1

70 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hullámoptikai jelenségek: - teljes visszaverődés: a fény optikailag sűrűbb közegből ritkább közegbe megy és a beesési szög nagyobb mint a határszög. Ekkor a fénysugár nem lép ki a sűrűbb közegből, hanem 100%-os visszaverődés jön létre. sinα h /sin90 o =1/n 21 sinα h =1/n 21 ahol α h a határszög. Hullámoptikai jelenségek: - teljes visszaverődés: a fény optikailag sűrűbb közegből ritkább közegbe megy és a beesési szög nagyobb mint a határszög. Ekkor a fénysugár nem lép ki a sűrűbb közegből, hanem 100%-os visszaverődés jön létre. sinα h /sin90 o =1/n 21 sinα h =1/n 21 ahol α h a határszög.

71 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Szinkeverés Szinkeverés Szinkeverés

72 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fénytan Fermat-elv: a fény mindig azon az úton halad, amelynek megtételéhez szükséges idő extrémális. Optikai úthossz: Fénytan Fermat-elv: a fény mindig azon az úton halad, amelynek megtételéhez szükséges idő extrémális. Optikai úthossz:

73 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fermat elv: Az úthosszal megfogalmazva: a fény mindig azon az úton halad, amelyhez tartozó optikai úthossz extrémális. Fermat elv: Az úthosszal megfogalmazva: a fény mindig azon az úton halad, amelyhez tartozó optikai úthossz extrémális. Az optikai úthossz differenciálhányadosa nulla.

74 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Visszaverődés esetén a fény mindvégig azonos közegben halad, sebessége azonos, így a fény útjának minimumát kell keresni. Visszaverődés esetén a fény mindvégig azonos közegben halad, sebessége azonos, így a fény útjának minimumát kell keresni.

75 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Visszaverődés Visszaverődés

76 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fénytörés Fénytörés

77 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fénytörés Fénytörés a felső közegben a fény terjedési sebessége c1, az alsóban c2, és c1>c2. A futási idő: t=(x 2 +e 2 ) 1/2 /c1+((d-x) 2 +y 2 ) 1/2 /c2 Deriválás után: (x/(x 2 +e 2 ) 1/2 c1) =((d-x)/(d-x) 2 +y 2 ) 1/2 c2 sina/c1=sinb/c2 azaz sina/sinb=c1/c2=n 12

78 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fényvisszaverődés, fénytörés: Fényvisszaverődés, fénytörés: Fényvisszaverődés, fénytörés Fényvisszaverődés, fénytörés

79 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fénytan Fénytan

80 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Homorú tükör képalkotása Homorú tükör képalkotása Homorú tükör Homorú tükör

81 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Domború tükör képalkotása Domború tükör képalkotása Domború tükör Domború tükör

82 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Sík tükör képalkotása Sík tükör képalkotása Sík tükör Sík tükör

83 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Plánparalel lemez fényeltolása Plánparalel lemez fényeltolása

84 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fénytani prizma Fénytani prizma

85 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Prizma Prizma Prizma

86 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fénytan Fénytan

87 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fénytan Fénytan

88 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometria a./ szinusz tétel: az általános háromszögben bármely két oldal aránya az oldalakkal szemben lévő szögek szinuszának arányával egyenlő. a:b=sinα:sinβ Trigonometria a./ szinusz tétel: az általános háromszögben bármely két oldal aránya az oldalakkal szemben lévő szögek szinuszának arányával egyenlő. a:b=sinα:sinβ a:c=sinα:sinγ b:c=sin β :sinγ

89 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometria a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az c és b által bezárt szög az α =π/6rad, azaz 30 o, mekkora a c oldal? a/b=sinα/sinβ l vegyük az egyenlet reciprokát Trigonometria a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az c és b által bezárt szög az α =π/6rad, azaz 30 o, mekkora a c oldal? a/b=sinα/sinβ l vegyük az egyenlet reciprokát b/a= sinβ/sin α sinβ=(b/a)*sinα sinβ=(12/10)sin 30 o sinβ=(12/10)sin 30 o sinβ=(1,2)*0,5 sinβ=0,6 β=arc sin0,6 β=36,87 o =0,643rad b/a= sinβ/sin α sinβ=(b/a)*sinα sinβ=(12/10)sin 30 o sinβ=(12/10)sin 30 o sinβ=(1,2)*0,5 sinβ=0,6 β=arc sin0,6 β=36,87 o =0,643rad

90 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometria a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az c és b által bezárt szög az α =π/6rad, azaz 30 o, mekkora a c oldal? Folytatás: β=36,87 o =0,643rad γ=180 o -α-β γ=180 o -30 o -36,87 o γ=113,13 o c/a=sinγ/sinα c=(a*sinγ)/sinα c=(10*sin113,13 o )/sin30 o c=(10*0,9196)/0,5 c=18,39m, Tehát a c oldal 18,39m Trigonometria a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az c és b által bezárt szög az α =π/6rad, azaz 30 o, mekkora a c oldal? Folytatás: β=36,87 o =0,643rad γ=180 o -α-β γ=180 o -30 o -36,87 o γ=113,13 o c/a=sinγ/sinα c=(a*sinγ)/sinα c=(10*sin113,13 o )/sin30 o c=(10*0,9196)/0,5 c=18,39m, Tehát a c oldal 18,39m

91 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometria b./ koszinusz tétel: az általános háromszögben bármely oldalának négyzetét úgy kapjuk, hogy a másik két oldalá- nak négyzetösszegéből kivonjuk ugyanazon oldalak szorzatának és a közbezárt szög koszinu- szának kétszeresét. a 2 =b 2 +c 2 -2*b*c*cosα Trigonometria b./ koszinusz tétel: az általános háromszögben bármely oldalának négyzetét úgy kapjuk, hogy a másik két oldalá- nak négyzetösszegéből kivonjuk ugyanazon oldalak szorzatának és a közbezárt szög koszinu- szának kétszeresét. a 2 =b 2 +c 2 -2*b*c*cosα b 2 =a 2 +c 2 -2*a*c*cosβ c 2 =a 2 +b 2 -2*a*b*cosγ b 2 =a 2 +c 2 -2*a*c*cosβ c 2 =a 2 +b 2 -2*a*b*cosγ

92 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometria a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az a és b által bezárt szög az γ =113,13 o, mekkora a c oldal? c 2 =a 2 +b 2 -2*a*b*cosγ c 2 = *10*12*cos113,13 o c 2 = *(-0,3928) c 2 =244+94,2764 c 2 =338,2764 c=18,39m Trigonometria a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az a és b által bezárt szög az γ =113,13 o, mekkora a c oldal? c 2 =a 2 +b 2 -2*a*b*cosγ c 2 = *10*12*cos113,13 o c 2 = *(-0,3928) c 2 =244+94,2764 c 2 =338,2764 c=18,39m Tehát a c oldal 18,39m Tehát a c oldal 18,39m

93 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek A goniometrikus egyenletek keretében azokkal az összefüggésekkel foglalkozunk, amelyekben az ismeretlenek valamely trigonometrikus függvény argumentumában találhatók. Például: a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a Megoldásoknak (gyökök) nevezzük x azon érté- keit, amelyek kielégítik goniometrikus egyenletet. Goniometrikus egyenletek A goniometrikus egyenletek keretében azokkal az összefüggésekkel foglalkozunk, amelyekben az ismeretlenek valamely trigonometrikus függvény argumentumában találhatók. Például: a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a Megoldásoknak (gyökök) nevezzük x azon érté- keit, amelyek kielégítik goniometrikus egyenletet.

94 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek a./ sin x=a Lehetőségek: a1./ sin x=a Megoldások: a1./1.x= arc sin a+2kπ A mellékelt ábra jobb oldala alapján! a2./ sin x=a Megoldások: a2./1. x= π(2k+1)- arc sin a a mellékelt ábra bal oldala alapján A k tetszőleges egész szám! Goniometrikus egyenletek a./ sin x=a Lehetőségek: a1./ sin x=a Megoldások: a1./1.x= arc sin a+2kπ A mellékelt ábra jobb oldala alapján! a2./ sin x=a Megoldások: a2./1. x= π(2k+1)- arc sin a a mellékelt ábra bal oldala alapján A k tetszőleges egész szám!

95 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek a./ sin x=a Lehetőségek: a3./ sin x=a Megoldások: a3./1.x= arc sin a+2kπ A mellékelt ábra jobb oldala alapján! a4./ sin x=a Megoldások: a4./2 x= π(2k+1)- arc sin a a mellékelt ábra bal oldala alapján! A k tetszőleges egész szám! Goniometrikus egyenletek a./ sin x=a Lehetőségek: a3./ sin x=a Megoldások: a3./1.x= arc sin a+2kπ A mellékelt ábra jobb oldala alapján! a4./ sin x=a Megoldások: a4./2 x= π(2k+1)- arc sin a a mellékelt ábra bal oldala alapján! A k tetszőleges egész szám!

96 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek b./ cos x=a Lehetőségek: b1./ cos x=a Megoldások: b1.x=± arc cos a+2kπ A mellékelt felső ábra alapján! b2./ sin x=a Megoldások: b2 x=± arc cos a+2kπ a mellékelt alsó ábra alapján! A k tetszőleges egész szám! Goniometrikus egyenletek b./ cos x=a Lehetőségek: b1./ cos x=a Megoldások: b1.x=± arc cos a+2kπ A mellékelt felső ábra alapján! b2./ sin x=a Megoldások: b2 x=± arc cos a+2kπ a mellékelt alsó ábra alapján! A k tetszőleges egész szám!

97 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek c./ tg x=a Megoldás: x=arc tg a+kπ A mellékelt ábra alapján! A k tetszőleges egész szám! Goniometrikus egyenletek c./ tg x=a Megoldás: x=arc tg a+kπ A mellékelt ábra alapján! A k tetszőleges egész szám!

98 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek c./ ctg x=a Megoldás: x=arc ctg a+kπ A mellékelt ábra alapján! A k tetszőleges egész szám! Goniometrikus egyenletek c./ ctg x=a Megoldás: x=arc ctg a+kπ A mellékelt ábra alapján! A k tetszőleges egész szám!

99 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek Példák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 és a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a a1./ x= arc sin a+2kπ =arc sin,075+2kπ =(0,848+2k π) rad Goniometrikus egyenletek Példák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 és a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a a1./ x= arc sin a+2kπ =arc sin,075+2kπ =(0,848+2k π) rad a2./ x= π( 2k+1)- arc sin a = π( 2k+1)- arc sin 0,75 =(π(2k+1)- 0,848)rad A k tetszőleges egész szám! a2./ x= π( 2k+1)- arc sin a = π( 2k+1)- arc sin 0,75 =(π(2k+1)- 0,848)rad A k tetszőleges egész szám! Tehát eredmények a következők: k=0, x 01 =0,848rad, és x 02 = π- 0,848=2,2936rad; k=1, x 11 =0,848+2π=7,1312rad x 12 =3 π-0,848=8,576rad, stb. Tehát eredmények a következők: k=0, x 01 =0,848rad, és x 02 = π- 0,848=2,2936rad; k=1, x 11 =0,848+2π=7,1312rad x 12 =3 π-0,848=8,576rad, stb.

100 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek Példák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 és a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a b1./ x= arc cos a+2kπ =arc cos 0,75+2kπ =(0,7227+2k π) rad Goniometrikus egyenletek Példák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 és a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a b1./ x= arc cos a+2kπ =arc cos 0,75+2kπ =(0,7227+2k π) rad b2./ x=-arc cos a+2kπ =-arc cos 0,75+2kπ =(-0,7227+ b2./ x=-arc cos a+2kπ =-arc cos 0,75+2kπ =(-0, k π) rad +2k π) rad A k tetszőleges egész szám! A k tetszőleges egész szám! Tehát eredmények a következők: k=0, x 01 =0,7227rad, és x 02 = - 0,7227rad; k=1, x 11 =0,7227+2π=7,0rad x 12 =2π-0,7227=5,56rad, stb. Tehát eredmények a következők: k=0, x 01 =0,7227rad, és x 02 = - 0,7227rad; k=1, x 11 =0,7227+2π=7,0rad x 12 =2π-0,7227=5,56rad, stb.

101 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek Példák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 és a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a c1./ x= arc tg a+kπ =arc tg 0,75+kπ =(0,6435+k π) rad Goniometrikus egyenletek Példák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 és a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a c1./ x= arc tg a+kπ =arc tg 0,75+kπ =(0,6435+k π) rad A k tetszőleges egész szám! A k tetszőleges egész szám! Tehát eredmények a következők: k=0, x 01 =0,6435rad, k=1, x 11 =0,6435+π=3,7851rad, stb. Tehát eredmények a következők: k=0, x 01 =0,6435rad, k=1, x 11 =0,6435+π=3,7851rad, stb.

102 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

103


Letölteni ppt "TERMÉSZETTUDOMÁNY OK ALAPJAI/2 Rezgéstan, hullámtan BALÁZS ZOLTÁN BMF, KVK, MTI 2009."

Hasonló előadás


Google Hirdetések